重难点培优06 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优06 利用二级结论秒杀圆锥曲线选填题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共17页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 8
\l "_Tc16555" 题型一 通径公式（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 8
\l "_Tc7141" 题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 9
\l "_Tc26803" 题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 9
\l "_Tc13512" 题型四 中点弦公式（点差法）（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 10
\l "_Tc3897" 题型五 离心率秒杀公式（★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 11
\l "_Tc326" 题型六 椭圆的焦半径秒杀公式（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 12
\l "_Tc11957" 题型七 双曲线的焦半径秒杀公式（★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 13
\l "_Tc17557" 题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式（★★★★★） PAGEREF _Tc17557 \h 13
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 14
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 14
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 17
一、通径
1、通径的定义
（1）焦点弦
过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于两点，则称线段为圆锥曲线的焦点弦.
（2）通径
与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.
2、通径的性质
【性质1】椭圆和双曲线通径的端点坐标为，抛物线通径的端点坐标为.
【性质2】椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
性质1、性质2的证明：
①如图1，不妨设过右焦点，且在第一象限，把，代入椭圆方程，得到，，，进一步可得通径长.若过左焦点，同理可得通径的端点坐标为.
②对于双曲线，证明过程同椭圆.
③对于抛物线，如图2，把，带入抛物线方程得到，，通径.
二、焦点三角形
1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
证明：设
．
2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
三、中点弦问题（点差法）秒杀公式
1、若椭圆与直线交于两点，为中点，且与斜率存在时，则；（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
若过椭圆的中心，为椭圆上异于任意一点，（焦点在x轴上时），当焦点在轴上时，
下述证明均选择焦点在轴上的椭圆来证明，其他情况形式类似．
直径问题证明：设，，因为过原点，由对称性可知，点，所以．又因为点，在椭圆上，所以有．
两式相减得，所以．
中点弦问题证明：设，，则椭圆两式相减得
．
2、双曲线中焦点在轴上为，焦点在轴上为，
3、设直线与抛物线相交所得的弦的中点坐标为，则
四、离心率秒杀公式
1、椭圆
（1）已知椭圆方程为,两焦点分别为,
设焦点三角形,,则椭圆的离心率
（2）以椭圆两焦点及椭圆上任一点(除长轴两端点外) 为顶点 , 则
（3）点是椭圆的焦点,过的弦与椭圆焦点所在轴的夹角为为直线的斜率,且.,则
当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
2、双曲线
（1）已知双曲线方程为两焦点分别为,设焦点三角形,则
（2）以双曲线的两个焦点及双曲线上任意一点除实轴上两个端点外)为顶点的,则离心率
（3）点是双曲线焦点,过弦与双曲线焦点所在轴夹角为为直线斜率,,则,当曲线焦点在轴上时,
注:或者而不是或
（4）已知双曲线方程为的右焦点为，过点且与渐近线垂直的直线分别交两条渐近线于两点.
情形1.如图1.若,则

图1 图2
如图2.若，则
五、椭圆、双曲线中的焦点弦、焦半径公式
1、椭圆的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】椭圆的左、右焦点分别为、，点为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】椭圆的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设，则椭圆的焦半径，若延长交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦.
【焦半径形式3（过右焦点）】：过椭圆的右焦点的直线交椭圆于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:
①焦半径的表示
坐标形态:,
角参形态:,；
②过焦点弦长
；当且仅当时,,此时称为“通径”
③焦半径之比
.
2、双曲线的焦半径和焦点弦公式
【焦半径形式1】双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径和可按下面的公式计算：
（1）；（2）（记忆：左加右减）
【焦半径形式2】双曲线的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设，则双曲线的焦半径，若直线交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）
【焦半径形式3（过右焦点）】双曲线焦半径：过双曲线的右焦点的直线交双曲线的右支于,(其中在轴上方),记直线的倾斜角为(即为直线与轴正方向所成的角),有以下性质:
①焦半径的表示
坐标形态:,；
角参形态:,
②焦点弦长的表示
角参形态:；当且仅当时,,此时称“通径”
③焦半径之比
六、抛物线中的焦点弦、焦半径公式
1、抛物线中焦半径焦点弦三角形面积秒杀公式
已知倾斜角为直线的经过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则
①.
②.
③,.
2、过焦点的直线与抛物线相交坐标之间的关系秒杀公式
①抛物线 的焦点为F，是过的直线与抛物线的两个交点，求证：.
②一般地，如果直线恒过定点与抛物线交于两点，那么
.
③若恒过定点.
3、抛物线中以焦半径焦点弦为直径的圆相切问题
设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①以弦AB为直径的圆与准线相切．
②以AF或BF为直径的圆与y轴相切.


题型一 通径公式
【技巧通法·提分快招】
1．已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点， 则线段长度的最小值为 .
2．若圆与抛物线相交于A，B两点，且弦AB过抛物线的焦点F，则 .
3．已知抛物线和椭圆相交于两点，且抛物线的焦点也是椭圆的焦点，若直线过点，则椭圆的离心率是 ．
4．已知F为双曲线的右焦点，A为C的左顶点，B为C上的点，且垂直于x轴，若C的离心率为5，则的斜率为 ．
5．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点为双曲线的右支上一点．若线段的中点，则双曲线的两条渐近线的夹角（锐角）的正切值为 ．
6．已知椭圆的右焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于，两点，为坐标原点，若，则 .

题型二 双曲线焦点到渐近线的距离为
1．（25-26高三上·广西桂林·开学考试）已知双曲线：的右焦点为，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则（ ）
A．1B．C．D．2
2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知双曲线：（，）的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三上·贵州贵阳·开学考试）已知双曲线：的焦点到其渐近线的距离为，则的离心率是（ ）
A．B．
C．D．

题型三 椭圆、双曲线焦点三角形面积公式
【技巧通法·提分快招】
1．已知是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，且，则的面积是 .
2．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上．若，则的面积为 ．
3．双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
4．设，为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且满足，则的面积是

题型四 中点弦公式（点差法）
1．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．已知曲线，直线与曲线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·内蒙古包头·二模）直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．（25-26高三上·广东·月考）过抛物线的焦点的直线与该抛物线交于两点，若线段的中点的纵坐标为1，则（ ）
A．12B．C．D．
5．已知椭圆，过点的直线l与C交于两点，若的中点坐标为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知双曲线与直线相交于A，B两点，其中中点的横坐标为，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．

题型五 离心率秒杀公式
1．已知、是双曲线的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则E的离心率为（ ）
A. B. C. D.2
2.（23-24高三下·四川成都·开学考试）已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当的范围为时，双曲线C离心率的范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的右焦点为F且斜率为的直线交C于A、B两点，若，则C的离心率为
A．B．C．D．
4．已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
A．1B．C．D．2
5.（23-24高三下·山西长治·模拟）已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为,，P为C上一点，且，，则C的离心率等于（ ）
A．B．C．D．
6．若是双曲线的右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于两点（为垂足，在线段上），且满足，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线（，）的右焦点为，经过点作直线与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点，直线与双曲线的另一条渐近线相交于点，若 ，则双曲线的离心率 .

题型六 椭圆的焦半径秒杀公式
1．如图，把椭圆，的长轴分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于，，，，，，七个点，F是椭圆的一个焦点，则（ ）
A．25B．26C．27D．28
2．抛物线有一性质：“过抛物线的焦点为的弦满足．”那么类比抛物线，对于椭圆，若存在实数，使得成立，则实数（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左焦点为，离心率为．倾斜角为的直线与交于两点，并且满足，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知椭圆的左、右焦点分别为、，若椭圆上恰好有个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知椭圆C的离心率，左右焦点分别为，P为椭圆C上一动点，则的取值范围为 .
6．已知椭圆方程为：，为椭圆过右焦点的弦，则的最小值为 ．

题型七 双曲线的焦半径秒杀公式
1．过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．
2．过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则 .
4．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为 ；连接，过点作交双曲线于点，若，则 .
5．（24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .

题型八 抛物线的焦半径、焦点弦秒杀公式
1．（多选题）已知过抛物线焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是（ ）.
A．B．C．D．
2．（2024·上海虹口·二模）过抛物线焦点的弦的中点横坐标为，则弦的长度为 .
3．（24-25高三上·广东·期末）已知是抛物线上的一个点，是抛物线的焦点，为坐标原点，若，则 .
4．过抛物线的焦点F的直线l交该抛物线于A，B两点，点A在第一象限，若，则直线l的斜率为 ．
5．已知抛物线Γ：的焦点为F，过点F的直线l与Γ交于A，B两点．若且，则Γ的准线方程为 ．
6．已知抛物线的准线与以为直径两端点的圆相切，过抛物线的焦点的动直线与抛物线交于A，B两点，则的最小值为 .

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·四川自贡·三模）双曲线的离心率为，则该双曲线的焦点到它的渐近线距离为（ ）
A．1B．2C．D．3
2．（2025·北京通州·一模）已知点F为抛物线的焦点，过点F且倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，则等于（ ）
A．16B．6C．D．4
3．已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（ ）
A．B．2C．D．4
4．已知椭圆（）的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为．是上一点，且．若的面积为，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
6．已知圆与抛物线交于，两点，与抛物线的准线交于，两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A．B．C．D．
7．（23-24高三下·安徽·开学考试）已知抛物线的准线为，点在抛物线上，且线段的中点为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
9．已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过且垂直于轴的直线与在第一象限交于点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
10．（24-25高三上·山西·期末）已知椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于A，B两点，且满足，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
11．已知是双曲线：（，）的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则（ ）
A．1B．C．D．3
12．（2024·广东佛山·模拟预测）设为抛物线的焦点，点在上，且在第一象限，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
13．（24-25高三上·山西晋城·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，为的右支上一点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
14．椭圆C：左右焦点分别为，，P为C上除左右端点外一点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
15．过椭圆的一个焦点作弦，若，，则的数值为（ ）
A．B．C．D．与弦斜率有关
16．（2025·河北·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，弦的垂直平分线交轴于点，若，则该双曲线的离心率（ ）
A．B．C．2D．3
17．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上第一象限的一点，的内心为，若，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
18．已知为双曲线：的一个焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
19．双曲线 的右焦点到渐近线距离为 .
20．已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ．
21．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线与椭圆的一个交点为，且线段的中点为抛物线的焦点，则椭圆的标准方程为 ．
22．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则的值为 .
23．已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是
24．过椭圆的右焦点作相互垂直的弦．若四边形的面积的取值范围为，则 ．
25．（24-25高三上·湖北武汉·期中）设，是双曲线：（，）的左、右焦点，点是右支上一点，若的内切圆的圆心为，半径为，且，使得，则的离心率为 ．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知点P是双曲线左支上除顶点外的一点，，分别是双曲线的左、右焦点，，，双曲线离心率为e，则（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三上·山东青岛·期末）直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过作直线交抛物线于两点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．已知双曲线的右焦点为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若直线与双曲线的另一条渐近线交于点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．（24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．
7．（2024·甘肃张掖·一模）已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为 .
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上运动，直线，与椭圆的另一个交点分别为，，且当时，，则 ，若，，则的最小值为 ．
椭圆和双曲线的通径长为，抛物线的通径长为.
1、椭圆焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）
2、双曲线中焦点三角形的面积为（为焦距对应的张角）