2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题五　第三讲　圆锥曲线中的二级结论（含解析）

这是一份2026届高三数学二轮复习讲义：专题突破　专题五　第三讲　圆锥曲线中的二级结论（含解析），共16页。
1.(2023·全国甲卷，文T7)设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2=0，则|PF1|·|PF2|等于( )
A.1B.2C.4D.5
2.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T10)已知O为坐标原点，过抛物线C：y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点M(p，0).若|AF|=|AM|，则( )
A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|
C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM2p，即|AB|>4|OF|，故C正确；
对于D，方法一 易知|OA|=334p，|AM|=54p，|OB|=73p，|BM|=103p，
则cs∠OAM=|OA|2+|AM|2-|OM|22|OA|·|AM|=3316p2+2516p2-p22×334p·54p=21533>0，
cs∠OBM=|OB|2+|BM|2-|OM|22|OB|·|BM|=79p2+109p2-p22×73p·103p=470>0，
所以∠OAM0)，分别令y=0，x=0，得点M(m，0)，N(0，n).
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，
所以x1+x22=m+02，y1+y22=0+n2，即x1+x2=m，y1+y2=n.
因为kAB=kMN，
所以y1-y2x1-x2=0-nm-0=-nm.
将A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程，得x126+y123=1，x226+y223=1，相减得(x1+x2)(x1-x2)6+(y1+y2)(y1-y2)3=0，
由题意知x1+x2≠0，x1≠x2，
所以y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-12，
即nm·-nm=-12，
整理得m2=2n2.①
又|MN|=23，
所以由勾股定理，得m2+n2=12，②
由①②并结合m>0，n>0，
得m=22，n=2，
所以直线l的方程为x22+y2=1，
即x+2y-22=0.
考点一 焦半径与焦点弦
例1 (1)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为θ的直线l交双曲线C的右支于A，B两点，其中点A在第一象限，且cs θ=14.若|AB|=|AF1|，则双曲线C的离心率为( )
A.4B.15C.32D.2
答案 D
解析 |AF2|=b2a-ccsθ，|BF2|=b2a+ccsθ，
|AB|=|AF2|+|BF2|=|AF1|=2a+|AF2|⇒|BF2|=2a⇒b2a+14c=2a⇒2e2-e-6=(2e+3)(e-2)=0⇒e=2(负值舍去).
(2)已知椭圆方程为x24+y2=1，AB为椭圆过右焦点F的弦，则|AF|+2|FB|的最小值为 .
答案 3+224
解析 由焦半径公式可得1|AF|+1|BF|=4，
∴|AF|+2|FB|
=14(|AF|+2|FB|)1|AF|+1|BF|
=|AF|4|BF|+|BF|2|AF|+34≥3+224，
当且仅当|AF|4|BF|=|BF|2|AF|时取等号，
又1|AF|+1|BF|=4，
得|AF|=2+14，|BF|=2+28，
∴|AF|+2|FB|的最小值为3+224.
[规律方法] (1)椭圆
①通径：2b2a.
②椭圆上点到焦点的距离：[a-c，a+c].
③焦半径：(ⅰ)坐标式：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；(ⅱ)角度式：长焦半径|AF1|=b2a-ccsα=ep1-ecsα，短焦半径|BF1|=b2a+ccsα=ep1+ecsα，1AF1|+1BF1|=2ep.其中α为焦半径所在直线与焦点所在轴所成的较小的角，p为焦点到对应准线的距离b2c.
④焦点弦弦长公式：|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep1-e2cs2α.
(2)双曲线
①通径：2b2a.
②双曲线上点到焦点的距离：[c-a，+∞).
③焦半径：(ⅰ)坐标式： |PF1|=|a+ex0|，|PF2|=|a-ex0|；(ⅱ)角度式：若直线与双曲线交于一支(如图1)，则|AF1|=ep1+ecsα，|BF1|=ep1-ecsα，1AF1|+1BF1|=2ep.
若直线与双曲线交于两支(如图2)，则|AF1|=epecsα+1，|BF1|=epecsα-1，1AF1|-1BF1|=2ep.
图1 图2
④焦点弦弦长公式：若直线与双曲线交于一支，则|AB|=|AF1|+|BF1|=2ep1-e2cs2α.
若直线与双曲线交于两支，则|AB|=||AF1|-|BF1||=2epe2cs2α-1.
(3)抛物线
①通径：2p.
②焦半径：(ⅰ)坐标式：|AF|=x0+p2；(ⅱ)角度式：|AF|=ep1-ecsα=p1-csα，|BF|=ep1+ecsα=p1+csα，1|AF|+1|BF|=2ep=2p.
③抛物线焦点弦弦长公式：
|AB|=|AF|+|BF|=2ep1-e2cs2α=2psin2α.
(4)焦点弦定理
已知焦点在 x轴上的椭圆或双曲线或抛物线，经过其焦点F的直线交曲线于 A，B两点，直线AB的倾斜角为α，AF=λFB，则曲线的离心率e满足等式|ecs α|=λ-1λ+1.
跟踪演练1 已知椭圆C：x24+y22=1的左焦点为F，过F的直线l交椭圆C于A，B两点，若|AF|=3，则|AB|= .
答案 185
解析 设|AF|>|BF|，∠AFO=α，则由焦半径公式，|AF|=b2a-ccsα=22-2csα=3，
解得cs α=223，
由焦点弦公式|AB|=2ab2a2-c2cs2α=185.
考点二 焦点三角形
例2 (2023·全国甲卷)设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29+y26=1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2=35，则|OP|等于( )
A.135B.302C.145D.352
答案 B
解析 方法一 设∠F1PF2=2θ，0b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM等于( )
A.b2a2B.-b2a2C.-1D.e2-1
答案 BD
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则Mx1+x22，y1+y22，
kOM=y1+y2x1+x2，kAB=y1-y2x1-x2，kAB·kOM=y12-y22x12-x22，
∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得
x12a2+y12b2=1，x22a2+y22b2=1，
两式相减得x12-x22a2+y12-y22b2=0，
整理得y12-y22x12-x22=-b2a2，
∴kAB·kOM=-b2a2=e2-1.
[规律方法] 双曲线中的垂径定理：已知A，B是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)上任意两点，且弦AB不平行于x轴和y轴，弦AB不过坐标原点O，M为线段AB的中点，则有kAB·kOM=b2a2=e2-1.
跟踪演练3 (多选)(2025·泸州模拟)已知双曲线C：x2a2-y2b2=1a>0，b>0的左、右焦点分别是F1，F2，其中F1F2=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是( )
A.弦AB的最小值为2b2a
B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a
C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则kOM·k=b2a2
D.若直线AB的斜率为3，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
答案 ABC
解析 对于A，弦AB的最小值为通径2b2a，故A正确；
对于B，由双曲线的定义得AF1-AF2=2a，
BF1-BF2=2a，
所以AF1=AF2+2a，BF1=BF2+2a，
AF1+BF1=AF2+2a+BF2+2a=|AB|+4a，
则△F1AB的周长=AF1+BF1+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确；
对于C，根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=b2a2，故C正确；
对于D，
若直线AB的斜率为3，所以bab>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作倾斜角为π6的直线与椭圆相交于A，B两点，若AF2=2F2B，则椭圆C的离心率e为( )
A.239B.13C.34D.45
答案 A
解析 由题意得|AF2|=2|F2B|，则b2a1-ecsθ=2·b2a1+ecsθ⇒ecs θ=13⇒e=239.
5.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点(点A在第一象限)，若BA=4BF，则△AOB的面积为( )
A.833B.433C.823D.423
答案 B
解析 设直线l的倾斜角为θ(00)，
过点P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，
设P(x0，y0)，则|PA|=bx0+ay0c，
|PB|=bx0-ay0c，
|PA|·|PB|=bx0+ay0c·bx0-ay0c
=b2x02-a2y02c2，
又点P(x0，y0)在双曲线上，
所以x02a2-y02b2=1，b2x02-a2y02=a2b2，
即|PA|·|PB|=a2b2c2，C正确；
对于D，双曲线x2-y2=2的渐近线方程为
x+y=0和x-y=0，
直线x+y=0与x-y=0相互垂直，
又PA⊥OA，PB⊥OB，
所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为|PA|·|PB|=a2b2c2=1，D错误.
8.已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点，若直线AB过抛物线的焦点F且倾斜角为θ，则下列命题正确的是( )
A.x1x2=p24
B.|AB|=x1+x2+p=2psin2θ
C.1|AF|+1|BF|=2p
D.y1y2=-2x1x2
答案 ABC
解析 对于选项A，D，设直线AB的方程为x=my+p2，代入y2=2px，
可得y2-2pmy-p2=0，Δ>0，
所以y1y2=-p2，
x1x2=y12y224p2=p24，选项A正确，选项D错误；
对于选项B，因为AB是过抛物线y2=2px的焦点的弦，
所以由抛物线定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p，
由选项A知，y1y2=-p2，y1+y2=2pm，
所以y12+y22=(y1+y2)2-2y1y2=4p2m2+2p2.
即y12+y22=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2，
解得x1+x2=2pm2+p，
当θ=π2时，m=0，所以|AB|=2p，
当θ≠π2时，m=1tanθ，
所以|AB|=2ptan2θ+2p=2p1tan2θ+1 =2pcs2θsin2θ+1=2psin2θ，
当θ=π2时，sin θ=1也适合上式，所以|AB|=x1+x2+p=2psin2θ，选项B正确；
对于选项C，不妨设θ∈0，π2，点A在x轴上方，设A'，B'分别是A，B在准线上的射影，C是A在x轴上的射影，K是准线与x轴的交点，如图，
|AF|=|AA'|=|CK|=p+|CF|=p+|AF|cs θ，
所以|AF|=p1-csθ，同理可得|BF|=p1+csθ，
所以1|AF|+1|BF|=2p，
同理可证θ∈π2，π时，等式也成立，选项C正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知椭圆C：x24+y22=1的左焦点为F，过F且倾斜角为45°的直线l交椭圆C于A，B两点，则|AB|= ；若|AF|>|BF|，则|AF|∶|BF|= .
答案 83 3∶1
解析 如图，设∠AFO=α，
则α=45°，由焦点弦公式，
|AB|=2ab2a2-c2cs2α
=2×2×24-2×cs245°=83.
由焦半径公式，
|AF|=b2a-ccsα=22-2cs45°=2，
|BF|=22+2cs45°=23，所以|AF|∶|BF|=3∶1.
10.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，与过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线相交于A，B两点.若AF=3FB，则k= .
答案 2
解析 设直线的倾斜角为α，α∈0，π2，
则|ecs α|=λ-1λ+1，即32csα=3-13+1，
即cs α=33(负值舍去)，
则sin α=63，所以k=tan α=2.