2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03平面向量中的隐圆问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03平面向量中的隐圆问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了模长是定值构造圆，两向量垂直构造圆，数量积为定值构造圆，平方和为定值构造圆，关于某向量的一元二次方程构造圆等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc30802" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc30802 \h 2
\l "_Tc1895" 题型一：模长为定值 PAGEREF _Tc1895 \h 2
\l "_Tc3418" 题型二：两向量垂直或数量积为0 PAGEREF _Tc3418 \h 2
\l "_Tc30110" 题型三：数量积为定值 PAGEREF _Tc30110 \h 3
\l "_Tc21354" 题型四：平方和为定值 PAGEREF _Tc21354 \h 3
\l "_Tc10087" 题型五：关于某一向量的一元二次方程 PAGEREF _Tc10087 \h 4
\l "_Tc4031" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc4031 \h 4
\l "_Tc25723" 巩固过关 PAGEREF _Tc25723 \h 4
\l "_Tc19693" 创新提升 PAGEREF _Tc19693 \h 5
一、模长是定值构造圆
记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆.有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式
二、两向量垂直构造圆
圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．
三、数量积为定值构造圆
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
四、平方和为定值构造圆
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
五、关于某向量的一元二次方程构造圆
利用坐标法即可得到圆的方程
题型一：模长为定值
典例1-1．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 .
典例1-2．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ．
变式1-1．平面内非零向量，，，有，，且，则的最大值为 ．
变式1-2．已知向量，满足，，则的最大值为 .
题型二：两向量垂直或数量积为0
典例2-1．已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
典例2-2．已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是 ．
变式2-1．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
变式2-2．已知平面向量，若，且.若向量，且，则 ；若向量满足，则的取值范围是 .
题型三：数量积为定值
典例3-1．若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
变式3-1．已知向量满足，，则的最大值为 ．
变式3-2．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 .
题型四：平方和为定值
典例4-1．已知是单位向量，满足，则的最大值为 ．
典例4-2．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
变式4-1．已知平面向量、满足，，设，则 .
变式4-2．正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为 .
题型五：关于某一向量的一元二次方程
典例5-1．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
典例5-2．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．1B．C．D．
变式5-1．已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
变式5-2．已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为 ．
巩固过关
1．已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
2．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
4．已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．（多选）已知平面上的向量、、满足，，，，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影的数量为3
B．的最小值是
C．
D．若，则最大值为
6．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
7．设向量，，满足，，，则的最大值等于 .
8．已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足时，均能使成立，则的最小值是 .
创新提升
1．已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是
3．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为 ．
4．已知，为单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
重难点专训03 平面向量中的隐圆问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc28271" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc28271 \h 1
\l "_Tc30802" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc30802 \h 2
\l "_Tc1895" 题型一：模长为定值 PAGEREF _Tc1895 \h 2
\l "_Tc3418" 题型二：两向量垂直或数量积为0 PAGEREF _Tc3418 \h 5
\l "_Tc30110" 题型三：数量积为定值 PAGEREF _Tc30110 \h 8
\l "_Tc21354" 题型四：平方和为定值 PAGEREF _Tc21354 \h 9
\l "_Tc10087" 题型五：关于某一向量的一元二次方程 PAGEREF _Tc10087 \h 12
\l "_Tc4031" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc4031 \h 15
\l "_Tc25723" 巩固过关 PAGEREF _Tc25723 \h 15
\l "_Tc19693" 创新提升 PAGEREF _Tc19693 \h 22
一、模长是定值构造圆
记A，B，C为定点，若出现，，，都可以得出隐圆.有时也会出现这种形式，我们可以设，，，也能转化成上面第三种形式
二、两向量垂直构造圆
圆的直径所对的圆周角为直角，因此当两个向量相互垂直时，可以选择一个共同的起点，则该起点在以两个向量的终点构成的线段为直径的圆上．
三、数量积为定值构造圆
定理：平面内，若为定点，且,则的轨迹是以中点为圆心为半径的圆
证明：由，根据极化恒等式可知，，所以，的轨迹是以为圆心为半径的圆．
四、平方和为定值构造圆
定理：若为定点，满足,则的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆。
证明：，所以，即的轨迹是以中点为圆心，为半径的圆．
五、关于某向量的一元二次方程构造圆
利用坐标法即可得到圆的方程
题型一：模长为定值
典例1-1．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则最小值为 .
【答案】
【详解】如图，，设，则向量满足，设，所以点为以为圆心，以为半径的圆上的一点，
所以，同理，
取点，则，又因，
所以，
所以，即，
所以，
由三角形的三边关系知.
故填：.
【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量模的几何意义，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造相似三角形等知识，属于难题．
典例1-2．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】
作图，，则，，
因为，所以起点在原点，终点在以B为圆心，1为半径的圆上；
同理，，所以起点在原点，终点在以C为圆心，1为半径的圆上，
所以的最小值则为，
因为，，当，，三点共线时，，所以.
故答案为：.
变式1-1．平面内非零向量，，，有，，且，则的最大值为 ．
【答案】7
【详解】
平面内非零向量，，，有，，.
故可建立如图所示的坐标系，则，，设，
因为，
∴，
对应点在以为圆心，为半径的圆上的点，
因为，
故的最大值为:，
故答案为:.
变式1-2．已知向量，满足，，则的最大值为 .
【答案】5
【详解】令，
，，
，
，
令，
设，则，，
令，易知：在上，即递增，
所以在取得最大值，.
故答案为：5.
题型二：两向量垂直或数量积为0
典例2-1．已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为，
则，，
由得，得，
则点在以为直径的圆上，
因为均为单位向量，且夹角为，不妨设，，
则，，所以以为直径的圆的圆心，半径为，
又，所以，
即的最大值为.
故选：D
典例2-2．已知平面向量满足：与的夹角为，记是的最大值，则的最小值是 ．
【答案】
【详解】如图，
设为AB中点，令，
则 ①，
因为，
故有，
②，
由①②得，从而，
因为，所以，即点C在以AB为直径的圆E上.
，
，
当且仅当时，即时等号成立.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：在平面上分别作出向量对应的有向线段，利用极化恒等式得出，联立方程后可得，是解题的关键，再将向量模用表示出来，即可利用函数单调性求最值.
变式2-1．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】如图，设，，，，
则，，
因为，故，故，
所以在以为直径的圆上，故的最大值为圆的直径，
故选：C.
变式2-2．已知平面向量，若，且.若向量，且，则 ；若向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为，且，
所以不妨在直角坐标系中，设.
（1），
所以，解得：；
（2）设，则
因为，所以，
即表示以为圆心，为半径的圆，并且圆经过原点
而表示圆上的点到原点的距离，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：；.
【点睛】向量类问题的常用处理方法——向量坐标化，利用坐标运算比较简单．能够用“向量坐标化”处理的题目：①题目直接以坐标形式呈现；②题目中有明显的垂直关系，可以建系；③题目中有向量的夹角，为特殊角，可以建系.
题型三：数量积为定值
典例3-1．若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】由题知，
以为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图，

则，，
由题意设，
则，
，
，
，
，
可得.
故选：D
变式3-1．已知向量满足，，则的最大值为 ．
【答案】/
【详解】

设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），
因，则设，
由可得：
即，整理得：，∴点C在以为圆心，1为半径的圆上，
则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，∵圆心到点A的距离为，∴的最大值为.
故答案为：.
变式3-2．设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】单位向量满足，则，
由，得，
则，当且仅当同向时取等号，
因此，解得.
所以的取值范围是.
故答案为：
题型四：平方和为定值
典例4-1．已知是单位向量，满足，则的最大值为 ．
【答案】
【详解】依题意，可为与x轴、y轴同向的单位向量，设
化简得：
运用辅助角公式得：
，
即得：，
故；
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定长度夹角的向量，可以建立坐标系，借助坐标运算求解，四个向量都是单位向量，其终点都在单位圆上，故可以将向量用圆的参数方程表示出来，将整个向量题转化为已知一个条件三角的值，求另一个三角函数的值.
典例4-2．在平面直角坐标系中，已知点，，圆，若圆上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】先求出动点M的轨迹是圆D,再根据圆D和圆C相交或相切，得到a的取值范围.
【详解】设，则，
所以，
所以点M的轨迹是一个圆D,
由题得圆C和圆D相交或相切，
所以，
所以.
故选：B
【点睛】本题主要考查动点的轨迹方程的求法，考查两圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
变式4-1．已知平面向量、满足，，设，则 .
【答案】
【详解】因为且，所以；
又因为，所以；
由，所以；
根据可知：，
左端取等号时：三点共线且在线段外且靠近点；右端取等号时，三点共线且在线段外且靠近点，
所以，所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的三角不等式的运用，难度较难.向量的三角不等式形式：已知向量，则，取左端等号时与反向，取右端等号时与同向.
变式4-2．正方形与点在同一平面内，已知该正方形的边长为1，且，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
设点，则由，
得，
整理得，
即点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，
圆心M到点D的距离为，所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.

题型五：关于某一向量的一元二次方程
典例5-1．已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】设，，，
则由与的夹角为得，，得，
由，知，
得，即，
因此，表示圆上的点到射线上的点的距离，
故其最小值为圆心到射线的距离减去半径1，即.

故选：A
典例5-2．已知是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】C
【详解】如图，设，，，．
由得，即，
所以点在以为圆心，1为半径的圆上，
过点作的垂线，垂足为，又，,则
所以的最小值为．
故选：C．
变式5-1．已知平面单位向量，的夹角为60°，向量满足，若对任意的，记的最小值为M，则M的最大值为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由推出，所以，如图，终点的轨迹是以为半径的圆，设，，，，所以表示的距离，显然当时最小，M的最大值为圆心到的距离加半径，即，
故选：A

【点睛】本题考查平面向量数量积的运算律，考查模的定义，解题关键是利用平面向量数量积的运算律得出终点的轨迹是圆，从而问题转化为点到直线的距离，圆上的点到直线距离的最大值问题．
变式5-2．已知、、是平面向量，是单位向量． 若，， 则的最大值为 ．
【答案】
【详解】因为，则，即，
因为，即，
作，，，，则，
，则，
固定点，则为的中点，则点在以线段为直径的圆上，
点在以点为圆心，为半径的圆上，如下图所示：
，
设，则，
因为，，
故
，
当时，等号成立，即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：
（1）求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用，勿忘记开方；
（2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；
（3）一些常见的等式应熟记：如，等.
巩固过关
1．已知，是两个单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．2C．D．1
【答案】C
【详解】由得：，即，
设，
则，
则点C在以AB为直径的圆O上运动，

由图知：当DC⊥AB时，|DC|≥|DC′|，
设，
则，
所以当时，|DC|取最大值，
故选：C．
【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及三角函数求最值问题，属中档题．
2．已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由，为单位向量，且，则，解得，
设的夹角为，则，解得，
不妨设，，，
由，则，整理可得，易知圆心，半径为，
设，由，则，
易知当直线与圆相切时，取得最值，
可得，整理可得，解得，
所以的最大值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于向量运算的坐标表示，根据题意建立合理的坐标系，设出向量的坐标，整理未知向量终点的轨迹方程，利用解析几何的解题思想，将向量问题等价转化为直线与圆的位置关系问题.
3．已知平面向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】
建立平面直角坐标系，设，由，不妨设，
又，不妨设在直线上，又可得，即，
则，设，则，则，即，则在以为圆心，1为半径的圆上；
又，则的最小值等价于的最小值，即以为圆心，1为半径的圆上一点
到直线上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即，则的最小值是.
故选：D.
【点睛】本题关键点在于建立坐标系后设，由得出在直线上，再由得在以为圆心，1为半径的圆上，进而转化为圆上点到直线上点距离的最小值求解即可.
4．已知向量，且，则与夹角的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
已知向量，，
即,即，
建立如图所示平面直角坐标系，
设，，，，
则，，，
又，则，即N的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
由图可知，当与圆相切时，最大，此时，
则的最大值为，即与夹角的最大值为.
故选：
【点睛】关键点点睛：本题考查了平面向量数量积的运算，关键通过数形结合的方法建立坐标系解决问题.
5．（多选）已知平面上的向量、、满足，，，，则下列命题正确的是（ ）
A．在上的投影的数量为3
B．的最小值是
C．
D．若，则最大值为
【答案】BC
【详解】解：建立平面直角坐标系，如下图所示，则，设，
则，
整理得的终点C的轨迹方程为，
对于A，在上的投影的数量为，故A不正确；
对于B，的最小值是，故B正确；
对于C，，所以，故C正确；
对于D，，因为，所以，与联立解得，所以最大值为，故D不正确，
故选：BC.
6．已知是平面向量，且是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【详解】由，
设，以为原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的坐标系，
由，得点在以为圆心，以1为半径的圆上，
又非零向量与的夹角为，设的起点为原点，则的终点在不含端点的两条射线上，设，

则的最小值为
，
表示点到和的距离之和的最小值的倍，
则最小值为，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：设，以为原点，的方向为轴正方向，建立坐标系，由得点在以为圆心，以1为半径的圆上，由已知得的终点在不含端点的两条射线上，设，本题关键点是将所求的最小值转化为点到和的距离之和的最小值的倍减去1.
7．设向量，，满足，，，则的最大值等于 .
【答案】2
【详解】由题设，，而，则，
令，，，则，，
又，如下图示：

所以，，则，
故，，，共圆，
而，即，
故外接圆直径，
对于，当为直径时最大，即.
故答案为：.
8．已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
【答案】/
【详解】由，得，
建立如图所示的平面直角坐标系，则，
设 ，由，
得 ，
所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上.
所以
故答案为：
9．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量在满足时，均能使成立，则的最小值是 .
【答案】
【详解】根据题意设，，；
，
又，
即；
它表示圆心在，半径为的圆；
则圆心到点的距离为，
的最大值为；
要使成立，则的最小值是.
故答案为：
创新提升
1．已知平面向量满足，且对任意的实数，均有．则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】建立平面直角坐标系，如图所示，记，
因为，所以点，
作，设其坐标为，
因为，
所以点在以点为圆心，1为半径的圆上，即，
因为对任意的实数，均有，所以，
整理得，
由于上式对任意的实数的一元二次不等式恒成立，
则有，即，故，
设，又设，
则，整理得：，
所以可知点在直线上，
又因为点在以点为圆心，1为半径的圆上，且，
所以可以把看成两动点和的距离，
而圆心到直线的距离，
所以，即的最小值为3．

故选：B．
2．已知平面向量满足，，且，若向量，的夹角为60°，则的最大值是
【答案】
【详解】设，，，由，，且，可得，，因为向量，的夹角为60°，即，所以点C在优弧上运动，故的最大值是的外接圆的直径，可算得，由正弦定理，直径．故的最大值是
故答案为：
3．已知向量满足，与的夹角为，，则的最小值为 ．
【答案】
【详解】∵，与的夹角为，∴不妨设，，
设，则，整理得，∴在以为圆心，为半径的圆上，
表示点到定点的距离，
由得的最小值是（是线段与圆的交点时最小值）．
故答案为：．
【点睛】本题考查向量的数量积与模，解题关键是引入坐标，把已知条件转化为点在圆上，问题转化为求圆上的点到定点距离的最小值．由几何意义易求解．
4．已知，为单位向量，且．若向量满足，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】解：因为，为单位向量，且，
所以，不妨设，
则，，
所以，即，
所以向量的坐标形成的轨迹为以为圆心，半径为的圆，
所以， 的最大值为.
故答案为：