专题13 隐圆、阿氏圆、蒙日圆与阿基米德三角形题型方法（考点专练)-2026年高考数学二轮复习培优讲义（含答案）

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高考中核心考向：隐圆、阿氏圆的轨迹方程求解与最值问题仍为高频考点，占分约 5-10 分，多以选择题、填空题形式出现。
基础知识必备：隐圆：掌握定义法（距离定值、垂直关系、平方和定值）、斜率 / 向量关系推导圆方程的核心条件。 阿氏圆：理解 “平面内到两定点距离比为定值 λ（λ≠1）” 的定义，熟练推导轨迹方程，牢记圆心、半径公式。 蒙日圆：明确椭圆 / 双曲线中 “互相垂直切线交点的轨迹” 性质，掌握与圆锥曲线的结合要点。 阿基米德三角形：熟悉抛物线切线构成的三角形性质，以及与焦点、准线的关联。 辅助知识：坐标系建立与坐标转化、两点间距离公式、点到直线距离公式、圆的性质（圆心、半径、位置关系）、圆锥曲线基础定义。
2026高考预测：融合趋势：跨模块综合加强，如阿氏圆与圆锥曲线（椭圆、抛物线）、立体几何的交汇，隐圆与向量、斜率条件的结合。 能力侧重：侧重 “条件转化” 能力，如将斜率乘积、向量数量积转化为圆的方程，将最值问题转化为 “圆心到定点距离 ± 半径”。 拓展方向：蒙日圆、阿基米德三角形的应用概率上升，可能出现结合光学性质、切线性质的创新题型。


重难知识汇总：隐圆构建： 定义法：距离定值（圆的基本定义）、PA⊥PB（以 AB 为直径）、PA²+PB²=k（以 AB 中点为圆心）。 条件转化：斜率乘积为 - 1（垂直）、向量数量积 / 模长关系代数化。 阿氏圆核心： 轨迹方程推导：设动点坐标，代入距离比条件平方化简。 核心参数：圆心在两定点连线上，半径 r=|λ・AB|/|λ²-1|。 最值求解：转化为 “圆上点到定点距离”，利用圆心到定点距离与半径和差计算。 综合应用： 蒙日圆与椭圆：互相垂直切线交点轨迹，圆心为椭圆中心，半径与椭圆参数相关。 阿基米德三角形：抛物线弦与切线构成的三角形，焦点相关性质、面积公式。 立体几何交汇：空间动点轨迹转化为平面内圆，通过截面圆要素（圆心、半径）求解。
常用技巧方法：轨迹方程求解：设动点坐标，代入条件（距离比、斜率、向量），配方整理为圆的标准方程。 最值问题技巧： 平面内：转化为 “圆心到目标点 / 直线的距离 ± 半径”。 综合题：利用圆锥曲线定义转化（如抛物线 “到准线距离 = 到焦点距离”），结合 “三点共线取最值”。 跨模块转化： 立体几何→平面：确定动点所在平面，将空间距离条件转化为平面内圆的条件。 圆锥曲线→圆：利用蒙日圆、阿氏圆性质，将曲线问题转化为圆的位置关系问题
易错避坑提效：1.忽略特殊点：如 PA⊥PB 时，需剔除 A、B 两点（斜率不存在或无意义）；2.轨迹方程需排除不符合条件的点（如直线交点轨迹中的重合点）。3. 方程化简错误：阿氏圆推导中距离比平方后化简易出错，需注意展开后的移项、合并同类项步骤。 4.最值转化失误：混淆 “圆心到定点距离 ± 半径” 的适用场景（最大值用 “+”，最小值用 “-”）。 5.立体几何转化偏差：空间轨迹转化为平面圆时，误判截面圆的圆心（如未找中点、垂足）或半径。 6.蒙日圆应用误区：忽略 “互相垂直切线” 的前提，误将普通切线交点归为蒙日圆上的点。
题型一 定义法构建隐形圆
方法点拨：识别圆的定义条件：距离定值对应圆的基本定义，PA⊥PB 对应以 AB 为直径的圆，PA²+PB²=k 对应以 AB 中点为圆心的圆。 建立坐标系转化：设动点坐标，代入条件化简得到圆的标准方程（圆心 + 半径）。 结合圆的性质求解：最值问题转化为 “圆心到目标的距离 ± 半径”。
【典例01】（24-25高三上·江苏南京·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点、的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，.点满足，设点所构成的曲线为，下列结论不正确的是（ ）
A．的方程为
B．在上存在点，使得到点的距离为3
C．在上存在点，使得
D．上的点到直线的最小距离为1
【典例02】（25-26高三上·安徽·月考）阿波罗尼奥斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠.阿波罗尼奥斯发现:平面内到两个定点A，B的距离之比为定值且的点的轨迹是圆，此圆被称为点和相关的阿波罗尼斯圆.现已知点和相关的阿波罗尼斯圆为圆，其中点，且点P在该圆上，点Q在圆上，则的最小值为（ ）
A．16B．8C．12D．6
【变式01】（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯发现：已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．后来人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，也叫阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，直线，直线，P为，的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的比值为定值（）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【变式03】（24-25高三下·河南信阳·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯在对圆锥曲线的研究过程中，还进一步研究了圆锥曲线的光学性质，例如抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．如图所示，两条平行于轴的入射光线，分别经抛物线上的A，B两点反射后，两条反射光线，又沿平行于轴的方向射出，则两条反射光线，之间的距离为（ ）

A．B．1C．D．2
题型二 斜率 / 向量关系推导隐形圆
方法点拨：斜率关系转化：斜率乘积为 - 1 等价于垂直，直接对应直径所对圆周角模型。 向量条件代数化：设坐标将数量积、模长关系转化为方程，配方整理为圆的方程。 注意特殊点剔除：如 PA⊥PB 时，需剔除 A、B 两点（无斜率或无意义情况）。
【典例01】（24-25高三上·云南昆明·期中）阿波罗尼斯，古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆．已知在平面直角坐标系中，，动点满足，记动点的轨迹为.对任意实数，直线：与曲线恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【典例02】（24-25高三下·安徽·开学考试）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（ ）
A．B．C．D．
【变式01】（24-25高三上·广东·月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（24-25高三下·云南保山·期末）(多选题)平面内到两个定点的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）
A．点的轨迹的方程是
B．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是
C．直线与点的轨迹相离
D．已知点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为，则四边形面积的最小值是4
【变式03】（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为（ ）

A．B．C．D．
题型三 阿氏圆基本模型
方法点拨：直接法求轨迹：设 P (x,y)，代入距离比条件，平方后化简为圆的标准方程。 记住核心参数：圆心在 AB 所在直线上，圆心坐标为 ，半径 r=|λ・AB|/|λ² - 1|。 最值求解技巧：转化为 “圆上点到定点的距离”，利用圆心到定点距离与半径的和差计算。
【典例01】（24-25高三上·山东烟台·期末）(多选题)阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两个定点的距离之比为常数，且，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点到点与点的距离之比为，则（ ）
A．点的轨迹方程为
B．点到直线距离的最小值为
C．点到圆上的点的最大距离为
D．若到直线的距离为的点至少有3个，则
【典例02】（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，下列结论正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A且斜率为的直线被圆C截得的弦长为
C．圆C与圆有两条公切线
D．过点A作直线，若圆C上恰有三个点到直线的距离为，该直线斜率为
【变式01】（2025·辽宁·模拟预测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷．平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．点为圆上一动点，为圆上一动点，点，则的最小值为 ．
【变式02】（24-25高三下·辽宁本溪·开学考试）在平面上给定相异两点，设点在同一平面上且满足，当且时，点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆.现有双曲线分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线虚轴的上，下端点，动点满足面积的最大值为4.点在双曲线上，且关于原点对称，是双曲线上一点，直线和的斜率满足，则双曲线方程是 ；
【变式03】（2024·西藏拉萨·一模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（且）的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知动点在边长为6的正方形内（包含边界）运动，且满足，则动点的轨迹长度为 .
题型四 阿氏圆、蒙日圆等与圆锥曲线综合
方法点拨：拆分复合条件：先分别求出阿氏圆和圆锥曲线的核心要素（圆心、半径、焦点、准线）。 利用圆锥曲线定义转化：如抛物线中 “Q 到准线距离 =|QF|”，将所求式子转化为 “|PQ|+|QF|”。 共线最值原理：当 P、Q、F 三点共线时取最值，结合阿氏圆半径计算。
【典例01】（2025·辽宁沈阳·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（ ）

A．B．C．D．
【典例02】（2024·云南大理·一模）法国数学家加斯帕尔蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为圆，过上的动点作的两条互相垂直的切线，分别与交于两点，直线交于两点，则（ ）
A．椭圆的蒙日圆方程为
B．面积的最大值为7
C．的最小值为
D．若动点在上，将直线的斜率分别记为，则
【变式01】（24-25高三上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（2025·河南信阳·一模）(多选题)阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他曾经定义了抛物线阿基米德三角形：抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为抛物线阿基米德三角形.设抛物线上两个不同点A，B横坐标分别为，，以A，B为切点的切线交于P点.关于阿基米德三角形PAB的说法正确的有（ ）
A．若过抛物线的焦点，则点一定在抛物线的准线上
B．若为正三角形，则其面积为
C．若，则的面积的最小值为
D．一般情况下，的面积
【变式03】（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C的方程为
B．的最大值为
C．M为直线上一动点，则的最小值为
D．若O为坐标原点，则的最大值为
题型五 隐形圆 / 阿氏圆与立体几何交汇
方法点拨：空间到平面转化：确定动点所在的平面，将空间距离条件转化为平面内的轨迹条件（如圆）。 找截面圆关键要素：通过面面垂直、线面垂直关系确定截面圆的圆心（如中点、垂足）和半径。 平面内求解后回归空间：将空间最值转化为平面内 “圆上点到定点距离” 的最值。
【典例01】（2025·四川眉山·三模）(多选题)某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为，下列结论正确的有（ ）
A．平面
B．该石凳的体积为
C．，，，四点共面
D．点到平面的距离为
【典例02】（2025·黑龙江·二模）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，点，若点是满足的阿氏圆上的任意一点，点为上一动点，则的最小值为 .
【变式01】（2025·四川宜宾·三模）(多选题)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（ ）
A．该石凳的表面积为
B．该石凳的体积为
C．直线与的夹角为
D．平面
【变式02】（24-25高三上·江苏泰州·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点的距离之比为常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体中，，点在棱上，，动点满足，若点在平面内运动，则点对应的轨迹的面积是 ；为的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
【变式03】（24-25高三下·重庆·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点距离之比是常数的点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，该圆简称为阿氏圆.根据以上信息，解决下面的问题：在棱长为3的正方体中，点P是正方体的表面（包括边界）上的动点.
（1）若动点P满足，则点P所形成的阿氏圆的半径为 ；
（2）若E是靠近D的三等分点，且满足，则三棱锥体积的最大值是 .
（限时训练：15分钟）
1．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知，，直线：，直线：，若为，的交点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2. （24-25高三上·北京·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线的方程为
②曲线上存在点，使得到点距离为6；
③曲线上存在点，使得到直线的距离为；
④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8．
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．（25-26高三上·广东深圳·期中）(多选题)古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，，点P满足，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是（ ）
A．圆C的方程是
B．过点A向圆C引切线，两条切线的夹角为
C．若x，y满足圆C的方程，则的最大值是
D．过直线上的一点P向圆C引切线，则四边形的面积的最小值为
4．（2025·海南·模拟预测）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：过椭圆外一点作椭圆的两条互相垂直的切线，那么这一点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆为圆，若圆不透明，则一束光线从点出发，经轴反射到圆上的最大路程是（ ）
A．2B．4C．5D．8
5. （24-25高三上·安徽·月考）(多选题)若动点满足且其中点是不重合的两个定点，则点的轨迹是一个圆，该轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆已知点，，动点满足，点的轨迹为圆，则（ ）
A．圆的方程为
B．若圆与线段交于点，则
C．若点与点不共线，则面积的最大值为
D．若点与点不共线，的周长的取值范围是
6. （24-25高三下·江苏南京·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥，过点及线段的中点的某平面截圆锥，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率为

7. （24-25高三上·云南·月考）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．已知点到的距离是点到的距离的3倍．记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设曲线与轴的负半轴交于点为坐标原点，若点不在轴上，直线分别与直线交于两点，探究以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
8. （2025·河南新乡·模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，他的主要一生研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线轨迹的建模》此书最突出的成果是研究出阿波罗尼斯圆上动点与相关定点的距离比值问题，即定义：已知动点与两个定点Q，P的距离之比为一个不等于1的正常数，则动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，且圆心在直线上，已知动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，其方程是，定点分别为椭圆的右顶点与右焦点，且椭圆的离心率，
(1)求椭圆的两条准线距离；
(2)如图所示，过右焦点作一条斜率为正数的直线l与椭圆相交于B，D（点在轴的上方），点是椭圆上相异于B，D的两点，平分，TF平分，
①求的取值范围；
②若点S，F，T是另一个阿波罗尼斯圆上的三点，且外接圆的面积为，试求直线l方程，
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题型一 定义法构建隐形圆（）
题型二 斜率 / 向量关系推导隐形圆（）
题型三 阿氏圆基本模型（）
题型四 阿氏圆、蒙日圆等与圆锥曲线综合（）
题型五 隐形圆 / 阿氏圆与立体几何交汇（）
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