专题25 二面角的常见求法+讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有两类方法：其一是找出二面角的平面角进行求解；其二是间接法：射影法，空间向量法等. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.

题型一：定义法
由二面角的定义，设法从棱上某一点O出发在两个半平面内都找到垂直于棱的射线OA和OB，则∠AOB就是二面角的平面角.
例1如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为22．
设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A−BD−C的正弦值．
【思路点拨】
由题意得到△DAB≅△DBC,过点A作AH⊥DB，则CH⊥DB，由二面角的定义得∠AHC为所求二面角的平面角，再计算二面角的余弦值从而得到所求的值。
练1如图，三棱锥A−BCD中，△ABC为等边三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC．当AD与平面BCD所成角为45°时，求二面角C−AD−B的余弦值．
【思路点拨】
由AD与平面BCD所成角确定正三角形ABC边长与CD长的关系，再作二面角C−AD−B的平面角，借助余弦定理计算即可.
题型二：垂面法

垂面法：作一个与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。用垂面法寻找面的垂线，切入点就是寻找面的垂面，然后由面面垂直得到线面垂直，垂面法是我们解决有关求点到平面的距离、直线和平面所成的角与二面角的重要方法之一。
例2如果二面角α−l−β的平面角是锐角，空间一点P到平面α、β和棱l的距离分别为22、4和42，则二面角α−l−β的大小为_______________.
【思路点拨】
本题可借助已知条件构造出经过PA,PB的平面，再证明该平面与二面角的面的交线所成角即为二面角的平面角,分点P在二面角α−l−β的内部和外部，利用二面角的定义求解.
练2.已知PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，且α∩β=l，若AB=2，∠APB=60°，则P到l上任一点距离最小值是 ．
【思路点拨】
过A作AC⊥l，交l于点C，连结BC、PC，得：BC⊥l，PC⊥l，由∠PAC=∠PBC=90°，P、B、C、A四点共圆，可得∠ACB=120°，由正弦定理能求出P到棱l的最小距离PC．
题型三：射影法

在没有给出棱的二面角问题中，可以根据题设条件先分别求出该二面角的一个面的面积及其射影的面积，再借助该面的面积与其射影的面积之间的关系S'=Scsθ（即面积射影定理），从而求出了所求二面角的余弦，避免了寻找二面角的平面角的麻烦，简化了问题的解答过程从而使问题简捷获解。
例3棱长为a正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AA1,AB,AD的中点，求平面EFG与平面BCC1B1所成的二面角的余弦值.
【思路点拨】
利用图形在底面的射影图形的面积之间的关系（即面积射影定理）进行分析求解.
练3正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成夹角的余弦值.
【思路点拨】
此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.
题型四：三垂线法

在二面角α−l−β中，若A∈α,B∈β且AB⊥β，则过点B作BO⊥l,由三垂线定理可证AO⊥l，即∠AOB就是二面角的平面角.
例4如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点.若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE=2EA，且二面角E−BC−D的大小为45°，求三棱锥A−BCD的体积.
【思路点拨】
过点E找出面BCD的垂线，就可以利用三垂线法找出二面角的平面角.
练4如图,直棱柱ABC−A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点，
AA1=AC=CB=22AB，求二面角D−A1C−E的正弦值．
【思路点拨】
可以证明DE⊥平面A1DC，因而过D作DF⊥A1C于F,再证明EF⊥A1C，
那么∠DFE为二面角D−A1C−E的平面角.
题型五：补形法

当一个几何体不规则时，可以适当补几何体使得新的几何体是特殊几何体时，往往就容易解决问题了
例5如图,在三棱锥A−BCD中,侧面ABD,ACD是全等的直角三角形,AD是公共的斜边,且AD=3,BD=CD=1,另一个侧面ABC是正三角形.
求二面角B−AC−D的余弦值.
【思路点拨】
分析已知得到A,B,C,D是正方体的其中四个顶点，所以以B为原点建立空间直角坐标系,通过长度找到A点坐标,求出平面BAC和平面ACD的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,即二面角B−AC−D的大小的余弦值的绝对值,求出其角即可.
练5在三棱锥S−ABC中，底面△ABC为等腰直角三角形，
∠SAB=∠SCB=∠ABC=90°.若AB=2,SC=22，求平面与平面夹角的余弦值.
【思路点拨】
三棱锥S−ABC中不易找到两两垂直的三直线，我们设法补成特殊几何体，就容易建立空间直角坐标系解决问题了.
题型六：补角法

当二面角的平面角为钝角，可以求其补角，再利用定义法或三垂线法来找求二面角.
例6在三棱锥S−ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=22，M为AB的中点．求二面角S−CM−B的的正切值.
【思路点拨】
取CM的中点N，连接DN、SN，分析可知二面角S−CM−A的平面角为∠SND，通过解△SDN可求得∠SND的大小，进而可求出二面角S−CM−B的大小.
练6如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，D为AB的中点，若AB=2，AA1=3．
求二面角A1−BC1−C的余弦值．
【思路点拨】
转化为求其补角，利用三垂线法作出二面角的平面角从而求解．显然二面角A1−BC1−C的大小与二面角A1−BC1−B1的大小互补．
题型七：空间向量法

若求一个二面角不容易使用定义法和三垂线法，又容易建立适当的空间直角坐标系，则写出相应点的空间直角坐标然后求出两个平面的法向量，再利用csθ=a∙bab即可得出结论.
例7已知正方形的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，以EF为棱将正方形ABCD折成如图所示的60°的二面角，点M在线段AB上.直线DE与平面EMC所成的角为60°，则面MCE与面CEF夹角余弦值为 ．
【思路点拨】
由面面垂直判定证面ABFE⊥面ADE，结合翻折后的线线、线面及面面关系，取AE的中点H为坐标原点，构建空间直角坐标系，并应用向量法求面面角的余弦值．
例8如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD,
△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=66DO．求二面角B−PC−E的余弦值．
【思路点拨】
二面角B−PC−E的平面角不易找出，又容易找到两两垂直的三直线OA,ON,OD时，一般建立空间直角坐标系来求解.
练7如图，PO是三棱锥P−ABC的高，PA=PB，AB⊥AC，E是PB的中点，∠ABO=∠CBO=30°，PO=3，PA=5．求二面角C−AE−B的正弦值.
【思路点拨】
因为AB⊥AC，因而以AB，AC分别为轴，轴，就可以建立适当的空间直角坐标系了.

1.已知点A、B分别在二面角α−l−β的两个面α、β上,AC⊥l，BD⊥l，C、D为垂足，AC=BD=CD，若AB与l成60°角，则二面角α−l−β为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
2.二面角α−l−β的棱上有两个点A、B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱l，若AB=4，AC=6，BD=8，CD=217，则平面α与平面β的夹角为 ．
3.已知正四面体ABCD的棱长为1，点M是棱CD的中点，则二面角M−AB−D的余弦值为 ．
4.在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，现将△ACD沿对角线AC向上翻折，得到空间四边形ABCD，若BD=62，则二面角D−AC−B的大小的余弦值为 ．
5.如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF//AD，AD=4,AB=BC=EF=2，ED= 10,FB=2 3，M为AD的中点．
(1)证明：BM//平面CDE；
(2)求二面角F−BM−E的正弦值．
6.在三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，AB⊥AA1，∠A1AC=2π3，点M为棱CC1的中点，AA1=AC=2AB=2.
求平面B1BCC1与平面A1ACC1所成的二面角的正弦值.
7.如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=5 3，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E，F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC=4 3．
(1)证明：EF⊥PD；
(2)求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AB=3，AD=2，PA=2，PD=22，∠PAB=60∘．
(1)证明AD⊥平面PAB；
(2)求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
(3)求二面角P−BD−A的正切值．
9.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，
AD⊥平面PCD，平面ADP⊥平面APC，PC=PD=2，AD=4，M为PA的中点．
(1)求证：PC⊥PD；(2)求二面角C−MD−P的正切值．
10.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD//BC，AB=AD=12BC=2，沿对角线BD将△ABD折至△A'BD的位置，记二面角A'−BD−C的平面角为θ．
(1)当θ=90∘时，求证：平面A'CD⊥平面A'BD;
(2)若E为BC的中点，当θ=120∘时，求二面角A'−DE−B的正切值．