2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点18排列组合模型与应用(培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学二轮复习高效培优讲义(全国通用)重难点18排列组合模型与应用(培优专项训练)(学生版+解析)，共12页。

考向01四大基础模型1：人坐座位
1．（2022·湖北·模拟预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160B．20220C．20280D．20340
2．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三下·海南·月考）甲､乙､丙等7名同学参加演讲比赛，决出特等奖1名､一等奖1名､二等奖2名､三等奖3名.比赛结束后，甲说：“我和乙均获三等奖，”乙说：“我获三等奖，”丙说：“我和乙至少有1人获三等奖，”已知这3人中仅有1人说谎，则这7人获奖情况的种数为（ ）
A．60B．90C．120D．180
4．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（ ）
A．16种B．20种C．24种D．28种
考向02 四大基础模型2：球放盒子
5．（25-26高三下·重庆·开学考试）将一些相同的小球放入一排盒子中，每个盒子中至多放一个小球.若要放三个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为x，若要放四个小球且装有小球的盒子互不相邻的方案数为y，若，则这一排盒子的总个数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
6．（25-26高二上·河南驻马店·月考）某城市举办国际马拉松比赛，在某路段设三个服务点，某高校包括甲与乙在内的5名同学到三个服务点做志愿者，每名同学只去一个服务点，每个服务点至少1人，则甲与乙不去同一个服务点的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．（2025·云南昆明·模拟预测）将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ）
A．540B．504C．408D．390
8．（24-25高二下·安徽蚌埠·期中）将20个大小，材质均相同的小球分别编号为1，2，3，…，20，将这20个小球随机分装到甲，乙两个盒子中，每个盒子装10个小球，设甲盒中小球的最小编号为a，最大编号为b，乙盒中小球的最小编号为c，最大编号为d，则“”的概率为（ ）
A．B．C．D．
考向03 四大基础模型3：书架插书
9．（2024·河北·模拟预测）某电视台曾在某时间段连续播放5个不同的商业广告，现在要在该时间段新增播一个商业广告与两个不同的公益宣传广告，且要求两个公益宣传广告既不能连续播放也不能在首尾播放，则在不改变原有5个不同的商业广告的相对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有（ ）
A．60种B．120种C．144种D．300种
10．（24-25湖南长沙·模拟预测）国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（ ）
A．84B．120C．504D．720
11．（2024·云南·二模）某学校组织学生到敬老院慰问演出，原先准备的节目单上共有5个节目(3个歌唱节目和2个舞蹈节目).根据实际需要，决定将原先准备的节目单上的5个节目的相对顺序保持不变，再在节目单上插入2个朗诵节目，并且朗诵节目在节目单上既不排第一，也不排最后，则不同的插入方法一共有（ ）
A．18种B．20种C．30种D．34种
12．（23-24高二下·广西河池·月考）桨校组织部分班级参观博物馆，现已安排了5个班级参观，并且已经确定了5个班级的参观顺序，参观前临时增加了2个班级参观博物馆，现将增加的2个班级插入5个班级之间，要求原5个班级顺序不变，插入的班级即不排在首位，也不排在末位，则不同的插入方法数为（ ）
A．12B．18C．20D．60
考向04 四大基础模型4：数字化法
13．（24-25高二下·四川眉山·期末）在风水学中，单数被视为阳数，象征着积极向上和吉祥，而双数被视为阴数，寓意不佳．在实际应用中，家庭中常见的楼梯台数通常是9级，而公共建筑中则多为11级．今李白在教学楼一二楼之间的楼梯（共11个台阶）上行走，他每次迈步有两种方式：每步登上1个台阶或2个台阶．那么李白从楼梯底部登上第11个台阶的迈步方法有______种．
14．（24-25高三山东临沂模拟预测）某人要经过一段有14级台阶的楼梯，他每次迈步时都是一步迈两级或三级台阶，那么他的走法有______种．
15．（24-25河南许昌·模拟预测）欲登上7阶楼梯，某人可以每步跨上两阶楼梯，也可以每步跨上一阶楼梯，则共有_____种上楼梯的方法.
16．（23-24高三上·河南南阳·期末）某楼梯共有个台阶，小明在上楼梯的时候每步可以上个或者个台阶，则小明不同的上楼方法共有_____________种．（用数字作答）
考向05 特殊元素特殊位置1：相邻捆绑型
1．（21-22高二下·湖南·月考）甲、乙、丙等6人排成一排，则甲和乙相邻且他们都和丙不相邻的排法共有（ ）
A．144种B．72种C．36种D．246种
2．（24-25福建·模拟预测）用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（24-25河南 模拟预测）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一步或最后一步，程序实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有
A．种B．种C．种D．种
4．（2024高三·全国·专题练习）三个男生三个女生站成一排，已知其中女生甲不在两端，则有且只有两个女生相邻的概率是（ ）
A．B．C．D．
考向06 特殊元素特殊位置2：不相邻插空型
5．（21-22高三上·上海嘉定·月考）中园古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学.某校国学社团开展“六艺”讲座活动，每周安排一次讲座，共讲六次.讲座次序要求“射”不在第一次，“数”和“乐”两次不相邻，则“六艺”讲座不同的次序共有（ ）
A．408种B．240种C．1092种.D．120种
6．（2024高三·全国·专题练习）某班级星期一上午要排5节课，语文、数学、英语、音乐、体育各1节，考虑到学生学习的效果，第一节不排数学，语文和英语相邻，且音乐和体育不相邻，则不同的排课方式有
A．14种B．16种 C．20种 D．30种
7．（25-26高三下·河南驻马店·开学考试）中国古代中的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”．某校国学社团准备开展关于“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”的讲座活动各一场，讲座场次要求“礼”不在第一场也不在最后一场，“射”和“御”的场次不相邻，则不同的排法共有（ ）．
A．408种B．336种C．240种D．120种
8．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）某学术会议有个相邻座位（编号至），安排来自所不同大学的位教授入座，每校人（甲校、乙校、丙校），要求甲校的必须坐在乙校的的左侧且相邻；丙校的与两人座位不相邻，则符合条件的安排方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
考向07 特殊元素特殊位置3：染色回避型
9．（2025高三·全国·专题练习）如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（ ）种不同的种植方法．
A．36B．60C．84D．120
10．（2024高三·全国·专题练习）对如图所示的5个格子进行染色，每个格子均可从红、绿、黄三种颜色中选一种，则没有相邻红格的概率为______．
11．（2025高三·全国·专题练习）给图中六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色且相邻的区域不同色．若有4种不同的颜色可供选择，则共有______种不同的染色方案．
12．（2025高三·全国·专题练习）用六种不同的颜色给如图所示的几何体的各个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，则不同的染色方法种数为______．
考向08 相同元素技巧1：空位模型
1．（2025·贵州黔南·三模）有个空置车位排成一排，每个车位只能停放一辆车，现将3辆不同的车停放在车位上，若3辆车互不相邻与恰有2辆车相邻的停车方法数相等，则___________（用数字作答）.
2．（2020·浙江·模拟预测）现有一排10个位置的空停车场，甲、乙、丙三辆不同的车去停放，要求每辆车左右两边都有空车位且甲车在乙、丙两车之间的停放方式共有_________种.
3．（2022·浙江·模拟预测）某大学一寝室4人参加疫情防控讲座，4人就坐在一排有13个空位的座位上，根据防疫要求，任意两人之间需间隔1米以上（两个空位），则不同的就坐方法有_______种.
4．（2022·浙江绍兴·模拟预测）某科室有4名人员，两男两女，参加会议时一排有5个位置，从左到右排，则两女员工不相邻（中间隔空位也叫不相邻），且左侧的男员工前面一定有女员工的排法有_______种（结果用数字表示）．
考向09 相同元素技巧2：移动走路口模型
5．（25-26高三辽宁肾炎模拟预测）在黑猫警长的森林街区行动中，黑猫警长从起点S沿最短路径前往终点T抓捕逃犯；白鸽侦探从T出发，沿最短路径前往S支援.两人随机选择路径，且速度完全相同.其中，，，，是森林道路网络中位于一条对角线上的5个交汇点.（ ）
A．黑猫警长从S到T的最短路径方法有100种
B．黑猫警长从S必须经过到达T的方法有36种
C．黑猫警长与白鸽侦探在处相遇的概率为
D．黑猫警长与白鸽侦探相遇的概率为
6．（22-23高三上·上海浦东新·月考）夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师家在处，学校在处，段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23B．24C．25D．26
7．（22-23高二下·广东广州·期中）如图，小明从街道的处出发，选择最短路径到达处参加志愿者活动，在小明从处到达处的过程中，途经处的路线有（ ）条
A．5B．6C．10D．18
8．（23-24高二上·辽宁沈阳·月考）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．18B．24C．30D．32
考向10 相同元素技巧3：相同球放盒子模型
9.（2024高三·全国·专题练习）有张卡片分别写有数字，从中任取张，可排出不同的四位数个数为
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】分析：根据题意，分四种情况讨论：①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2；③若取出的四张卡片为2张1和2张2；④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，分别求出每种情况下可以排出四位数的个数，由分类计数原理计算可得结论.
详解：根据题意，分四种情况讨论：
①取出四张卡片中没有重复数字，即取出四张卡片中的数字为1,2,3,4；
此时有种顺序，可以排出24个四位数.
②取出四张卡片中4有2个重复数字，则2个重复的数字为1或2，
若重复的数字为1，在2,3,4中取出2个，有种取法，安排在四个位置中，
有种情况，剩余位置安排数字1，可以排出个四位数
同理，若重复的数字为2，也可以排出36个重复数字；
③若取出的四张卡片为2张1和2张2，在4个位置安排两个1，有种情况，
剩余位置安排两个2，则可以排出个四位数；
④取出四张卡片中有3个重复数字，则重复数字为1，在2,3,4中取出1个卡片，
有种取法，安排在四个位置中，有种情况，剩余位置安排1，
可以排出个四位数，则一共有个四位数，故选C.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
10．（22-23高三·江苏·课后作业）将7个相同的小球放入4个不同的盒子中，则每一个盒子至少有1个小球的放法有_____种．
11．（2024高三·浙江·专题练习）将9个相同的球放到3个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，且每个盒子中球的个数互不相同，则不同的分配方法共有________种.
12．（2025高三·全国·专题练习）有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少于编号数，则有多少种不同的放法?
考向11 多重限制模型1：公交车与电梯型
1．（23-24高三·浙江模拟预测）有一座6层大楼，3人从大楼第一层进入电梯，假设每个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这3人离开电梯的层数之和为10的概率是（ ）
A．B．C．D．
2．（2020·四川达州·三模）有3人同时从底楼进入同一电梯，他们各自随机在第2至第7楼的任一楼走出电梯．如果电梯正常运行，那么恰有两人在第4楼走出电梯的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（20-21高三上·黑龙江大庆·开学考试）电梯有位乘客，在层楼房的每一层停留，如果有两位乘客从同一层出去，另两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，则不同的下楼方法的种类数是（ ）
A．B．C．D．
4．（24-25高三·陕西汉中·专题练习）一辆公交车上有位乘客，沿途个车站，则乘客下车的可能方式共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
考向12 多重限制模型2：排课表限制型
5．（21-22高二下·山西太原·期中）某校高二年级一班星期一上午有4节课，现从语文、数学、英语、物理、历史和体育这6门学科中任选4门排在上午的课表中，若前2节只能排语文、数学和英语，数学课不能排在第4节，体育只能排在第4节，则不同的排法种数为（ ）
A．18B．48C．50D．54
6．（2024高三·全国·专题练习）某学校实行新课程改革，即除语、数、外三科为必考科目外，还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业，按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选，为该生安排课表（上午四节、下午四节，每门课每天至少一节），已知该生某天最后两节为自习课，且数学不排下午第一节，语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则该生该天课表有（ ）.
A．444种B．1776种C．1440种D．1560种
7．（23-24高三上·重庆沙坪坝·月考）教务处准备给高三某班的学生排周六的课表，上午五节课，下午三节课．若准备英语、物理、化学、地理各排一节课，数学、语文各排两节课连堂，且数学不排上午的第一节课，则不同的排课方式有（ ）
A．216种B．384种C．408种D．432种
8．（2024高三·全国·专题练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（ ）
A．48种B．72种C．96种D．144种
考向13 多重限制模型3：节假日值班型
9．（2025高三·全国·专题练习）某单位安排甲、乙、丙、丁4人在国庆7天假期值班，要求每天只有1人值班，甲连续值班3天，乙连续值班2天，丙、丁各值班1天，则不同的值班安排方法种数为（ ）
A．28B．24C．20D．16
10．（23-24高二下·广西河池·月考）某单位安排甲、乙、丙、丁等7人轮值一周，每天一个人值班，每个人只值一天班，其中甲排在周五值班，乙值周六或周日，丙丁值日不相邻，则不同的轮值方法数是（ ）
A．128B．148C．168D．188
11．（2021·湖南长沙·模拟预测）某单位在春节七天的假期间要安排值班表，该单位有值班领导3人，值班员工4人，要求每位值班领导至少值两天班，每位值班员工至少值一天班，每天要安排一位值班领导和一位值班员工一起值班，且一人值多天班时要相邻的安排方案有（ ）
A．249种B．498种C．1052种D．8640种
12．（2025高三·全国·专题练习）现某路口对一周内过往人员进行健康码检查安排7名工作人员进行值班，每人值班1天，每天1人，其中甲乙两人需要安排在相邻两天，且甲不排在周三，则不同的安排方法有
A．1440种B．1400种C．1320种D．1200种
考向14 多重限制模型4：波浪数型
13．（2025高三·全国·专题练习）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为
A．20B．18C．16D．11
14．（2024高三·全国·专题练习）形如这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为
A．B．C．D．
15．（2025高三·黑龙江模拟预测）若一个四位数的各位数字相加和为，则称该数为“完美四位数”，如数字“”．试问用数字组成的无重复数字且大于的“完美四位数”有个
A．B．C．D．
16．（2025高三·全国·专题练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为（ ）（用数字作答）
A．20B．25C．30D．40
冲刺练
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（25-26高三·重庆·课后作业）某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（ ）
A．420B．600C．840D．960
2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在某道选词填空题中，有3个空格，4个备选单词。每个空格只能填入一个备选单词，且每个空格都有一个唯一的正确答案（这3个正确答案是4个备选单词中的3个，剩余1个备选单词是多余的）。若随机选择3个备选单词分别填入3个空格，则3个空格全部选错的概率是（ ）
A．B．C．D．
3．（25-26高三下·重庆·月考）如图所示，对两行三列共6个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求有公共边的两个格子不能都染红色，满足要求的染色方法共有（ ）
A．20种B．19种C．18种D．17种
4．（25-26高三全国·模拟预测）我们称各个数位上的数字之和为6的三位数为“吉祥数”，例如105和123，则所有的“吉祥数”共有（ ）
A．22个B．21个C．20个D．19个
5．（25-26高二上·安徽淮北·期末）中国空间技术的突破和空间站的建设，吸引了众多太空爱好者.在“天宫课堂”第三课中就有人提问：如何能成为一名航天员?如何才能加入探索太空的队伍中?已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.现对这五项测试排序，要求前庭功能不排在第一项，超重耐力不排在最后一项，失重飞行不排在第三项，则选拔测试的安排方案有（ ）
A．28种B．36种C．48种D．64种
6．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（ ）
A．7或B．5或C．3或D．1或
7．（25-26高三上·四川成都·月考）某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（ ）种不同的走法．
A．1049B．1144C．1431D．1705
8．（2026·湖北荆州·一模）科技公司为破解某密码锁的密码，采用技术手段测得其密码键盘1、2、4、6这4个数字键磨损较大，于是判断密码由这4个数字组成，且每个数字至少出现1次.通过密码锁生产厂家了解得知，该密码是6位数，且连续输入错误5次就会被永久锁定.若以上判断和信息均正确且再无其他线索，科技公司随机尝试5次不同的密码，能成功破解该密码的概率为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．（25-26高二上·江西九江·期末）现用数字1，2，3，4填如图所示的四宫格，每格均填1个数字，则下列结论正确的是（ ）
A．若数字可以重复使用，则共有256种填法
B．若4个数字均使用，则共有18种填法
C．若4个数字均使用且第2行的数字之和大于第1行的数字之和，则共有8种填法
D．若数字可以重复使用且相邻的两个格子不能填相同的数字，则共有84种填法
10．（25-26高二下·重庆·月考）某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（ ）
A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种
B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种
C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种
D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种
11．（24-25高三下·山西·月考）空间个点满足任意三点不共线，任意四点不共面，将所有的点两两相连，并用红、蓝两种颜色将所有相连得到的线段染色（一条线段只染一种颜色）．对于由上述线段构成的所有三角形和三棱锥，下列说法中正确的有（ ）
A．若，则可能存在任意2条没有公共点的棱不是同一种颜色的三棱锥
B．若，则一定存在3条边是同一种颜色的三角形
C．若，则可能存在任意三角形的3条边不是同一种颜色的情况
D．若，则一定存在至少有4条棱是同一种颜色的三棱锥
三、填空题
12．（25-26高三下·四川广安·月考）某劳动课上，王老师安排甲、乙、丙、丁、戊五名学生到三个不同的教室打扫卫生，每个教室至少安排一名学生，且甲乙两名学生安排在同一教室打扫，丙丁两名学生不安排在同一教室打扫，则不同的安排方法数是 _______ .（用数字作答）
13．（2026·河南·模拟预测）已知数列共有项，.若，且，则这样的数列的个数为__________.
14．（2026·安徽滁州·一模）将一个正n边形顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个不同的三角形区域，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则____________，____________．
结束
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速度提升 技巧掌握 手感养成
重难考向聚焦
锁定目标 精准打击：快速指明将要攻克的核心靶点，明确主攻方向
重难考向保分攻略
授予利器 瓦解难点：总结瓦解此重难考向的核心方法论与实战技巧，精选同源试题巩固内化
重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：近三年高考对排列组合的考察，定位在中等偏难的选填5分小题，有时候嵌在概率大题中作为基础计算来考察，也是必拿分题型．对于排列组合考察，有限制条件的排列与组合，特别是特殊元素特殊位置排列，相邻问题不想理问题这类限制条件的排列是近三年的考察基础和考察核心。
预测2026年：预测2026年高考， 排列组合从以下几个点复习备考训练考察：
1.真实情境，以社区服务、选课走班、赛事安排、交通路径、数字编码等生活化 或项目式情境包装，重点考考察对规则的阅读以及转化翻译成数学模型的能力。
2.多重限制题型的考察常态化。一道题会叠加2–3 个条件，如：甲不在首尾， 乙丙相邻 ， 丁戊不相邻等等，考分类与分步知识的处理。
3.与概率深度绑定，在小题中是纯计数。在解答题大题中涉及到用排列组合计算，或者求古典概型概率。
人坐座位模型：
特征：1.一人一位；2、有顺序；3、座位可能空；4、人是否都来坐，来的是谁；5、必要时，座位拆迁，剩余座位随人排列。
主要典型题：1.捆绑法;2.插空法；3.染色。
出现两个实践重叠，必要时候，可以使用容斥原理来等价处理：
容斥原理
YXZ
H※
H※
H※
H
H※※
H※
H※
H※
※
H※
H※
※※
H
技巧：先分组再排列（尽量遵循这个，否则容易出现重复）
先分组后排列模型：又称“球放盒子”x
基础型：幂指数型
如四个不同的球放三个不同的盒子，有多少种方法？
书架插书法：（1）书架上原有书的顺序不变；（2）新书要一本一本插；
也可以把有顺序得“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）
“书架插书”模型
书架插书法：
、书架上原有书的顺序不变；
（2）、新书要一本一本插；
（3）、也可以把有顺序的“书”最后放，先放没顺序得，但是得从“总座位”中选（百分比法）
数字化法：
标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”
相同元素无排列（只选不排）；
2.部分相同元素，只对“相同元素”不排
技巧思维：1.特殊元素优先排；2.特殊位置优先占；3.正面复杂，则间接法：正难则反；
相邻在一起“捆绑法”，要注意“捆绑”得内部有小排列
不相邻的，插空法，一般情况下，插空的最后插入间隔空隙中；
转换视角：座位可以“暴力拆迁掉”，人“自带”椅子（座位）。
相邻和不相邻排列：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”。插空的元素，一般最后排。
染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：
1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤
2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化。也就是说尽量先从某个“相邻三角形”开始。
比如，以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构
这类题，就是简单的数字化法，大多可以及简洁的解决问题。但是要注意，一般空位，当做相同字母或者数字来处理。
“走路空”模型，一般情况下，可以借助“数字化法”，把路口转化为相同数字来进行排列。
比如，向右，定为数字1，向上，定为数字2，
如下图，从A到B，只向右和向上，那么向右2步，向上3步，可以理解为数字1,1,2,2,2五个数字全排列，那么只选不排，相当于五个位置，先放三个2，共有种放法，
相同元素模型：
数字化. 2.挡板法
1.元素相同，方法是：
（1）、讨论法（通法，必须学会的方法）；
（2）、隔板法（巧法）
2.特色：先分组后排列，相同元素分组永远是1-------重要之极的“认知”
3.坑：注意，如果出现相同元素的分组，分组时出现组数相同，则依旧是相同元素，只选不排。
公交车与下电梯模型，实质就是“球放盒子”扩展应用。要分组讨论“谁和谁一起”，有没有“空盒子”。
排课表，是属于多重限制条件下的“特殊元素优先排”模型，综合运用：
元素相邻的排列问题——“捆邦法”；
元素相间的排列问题——“插空法”；
元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；
(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.
多重限制条件，是排列组合各种方法的综合运用
1.直接法:把符合条件的排列数直接列式计算;
2.优先法:优先安排特殊元素或特殊位置;
3.捆绑法:把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列;
4.插空法:对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中;
5.定序问题除法处理:对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列;
6.间接法:正难则反、等价转化的方法.
甲
乙
不同的值班安排方法种数
1，2，3
4，5
5，6
6，7
2，3，4
5，6
6，7
3，4，5
1，2
6，7
4，5，6
1，2
2，3
5，6，7
1，2
2，3
3，4
“波浪数”主要方法是分类讨论。不重复不遗漏。