2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第07讲抛物线及其性质(高效培优讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第07讲抛物线及其性质(高效培优讲义)(学生版+解析)，共10页。试卷主要包含了抛物线的定义及其应用，抛物线的标准方程，抛物线的焦点坐标及准线方程，抛物线的轨迹方程，焦半径问题，焦点弦问题，抛物线的实际应用等内容，欢迎下载使用。
考情探究 TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc17850" PAGEREF _Tc17850 \h 2
知识梳理 \l "_Tc6437" PAGEREF _Tc6437 \h 3
探究核心考点 \l "_Tc21616" PAGEREF _Tc21616 \h 5
\l "_Tc11478" 考点一 抛物线的定义及其应用 PAGEREF _Tc11478 \h 5
\l "_Tc17411" 考点二 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 PAGEREF _Tc17411 \h 5
\l "_Tc8145" 考点三 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc8145 \h 6
\l "_Tc24853" 考点四 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc24853 \h 7
\l "_Tc13618" 考点五 抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc13618 \h 8
\l "_Tc28495" 考点六 焦半径问题 PAGEREF _Tc28495 \h 8
\l "_Tc25359" 考点七 焦点弦问题 PAGEREF _Tc25359 \h 9
\l "_Tc4407" 考点八 抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc4407 \h 11
\l "_Tc23417" 考点九 抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc23417 \h 12
三阶突破训练 \l "_Tc27575" PAGEREF _Tc27575 \h 14
基础过关 \l "_Tc26211" PAGEREF _Tc26211 \h 14
能力提升 \l "_Tc19164" PAGEREF _Tc19164 \h 16
真题感知 \l "_Tc23525" PAGEREF _Tc23525 \h 17
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】近5年抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值从4分到12分不等。考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概念、运算能力及知识综合应用能力的重视。
【备考策略】备考时需扎实掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、焦半径等）。针对 “焦点准线求解”“直线与抛物线弦长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “定义法”“代数法（韦达定理）” 在抛物线问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识迁移能力，尤其要关注抛物线与其他圆锥曲线、函数、不等式的综合题型。
【命题预测】预计未来抛物线命题在题型和分值上会保持多样性，考查重点仍会围绕抛物线的定义、焦点准线、弦长及综合应用展开。命题将进一步强化综合性与创新性，可能在抛物线与导数、向量、实际应用场景的融合上有所突破，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。
1.抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作 .点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的 .
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2.抛物线的标准方程与几何性质

考点一 抛物线的定义及其应用
典例1．（2025·四川达州·模拟预测）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 .
典例2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练1．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 .
跟踪训练2．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A．B．3C．D．4
考点二 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
典例1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
典例2．【多选】（2025·福建莆田·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（ ）
A．满足的点恰有两个
B．满足面积为的点恰有三个
C．的最小值为3
D．的最小值为
跟踪训练1．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 .
跟踪训练2．（2025高三·广东深圳）已知是抛物线上一点，则的最小值为 ．
跟踪训练3．（2025高三·全国）已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 .
跟踪训练4．（2025高三·山东）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
跟踪训练5．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
跟踪训练6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
跟踪训练7．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 .
跟踪训练8．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．36
考点三 抛物线的标准方程
典例1．（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
跟踪训练1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025高三·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）．
A．B．C．D．
跟踪训练3．（2025·浙江·模拟预测）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
考点四 抛物线的焦点坐标及准线方程
典例1．（25-26高三·云南昭通）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
典例2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知抛物线的准线平分圆，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（ ）
A．B．6C．D．
跟踪训练2．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（ ）
A．B．
C．准线为D．
考点五 抛物线的轨迹方程
典例1．（2025·上海普陀·模拟预测）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
典例2．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
跟踪训练1．（2025高三·湖南·期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
跟踪训练2．（2025·山西·模拟预测）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为.
(1)求的标准方程.
(2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程.
跟踪训练3．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
考点六 焦半径问题
典例1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18B．9C．4D．2
典例2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．3
跟踪训练1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
考点七 焦点弦问题
典例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
典例2．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．三点共线（其中为坐标原点）
D．
跟踪训练1．【多选】（2025·河北·模拟预测）已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．当与轴垂直时，
B．是钝角
C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则
D．延长与准线交于，则
跟踪训练2．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是4B．
C．直线平行于轴D．的面积的最大值为
跟踪训练3．【多选】（2025·河北邢台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ）
A．B．
C．D．若，且，则的取值范围为
跟踪训练4．【多选】（2025·新疆喀什·模拟预测）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ）
A．的方程为B．
C．以为直径的圆与相交D．为钝角三角形
跟踪训练5．【多选】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ）
A．若直线BD的斜率为1，则B．以BD为直径的圆与y轴相切
C．D．B，O，G三点共线
跟踪训练6．【多选】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．四边形 面积的最小值为
跟踪训练7．【多选】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为4
C．若，则
D．的最小值为4
跟踪训练8．【多选】（2025·山东·模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．平分
B．
C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点
D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为
考点八 抛物线中三角形，四边形的面积问题
典例1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
典例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
跟踪训练2．（2025·河北邢台·模拟预测）已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（ ）
A．B．5C．2D．
跟踪训练3．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
跟踪训练4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
考点九 抛物线的实际应用
典例1．（2025·海南海口·模拟预测）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．2
典例2．（2025高三·全国）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50mB．C．55mD．
跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
跟踪训练2．（2025·山西晋城·模拟预测）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
跟踪训练3．（2025·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
跟踪训练4．（2025·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
1．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2025·山东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．C．6D．4
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
7．（2025·四川·模拟预测）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
8．（2025·云南·模拟预测）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（ ）
A．2B．C．D．8
9．（2025·甘肃白银·模拟预测）若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
10．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（ ）
A．4B．C．6D．5
11．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
1．（2025·浙江·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
3．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1B．9C．1或9D．9或18
6．（2025高三·广东·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
7．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年全国一卷，第10题，6分
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
无
2025年全国二卷，第6题，5分
抛物线的焦半径公式
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2025年天津卷，第9题，5分
抛物线定义的理解
根据抛物线方程求焦点或准线
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2024年北京卷，第11题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2024年天津卷，第12题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线
求点到直线的距离
由标准方程确定圆心和半径
2024年新课标II卷，第10题，6分
直线与抛物线交点相关问题 切线长
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2023年新课标I卷，第22题，12分
求平面轨迹方程
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
由导数求函数的最值（不含参）
基本（均值）不等式的应用
2023年新课标Ⅱ卷，第10题，5分
求直线与抛物线的交点坐标 与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
无
2023年全国乙卷（文数），第13题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线 根据抛物线上的点求标准方程
无
2023年北京卷，第6题，4分
抛物线定义的理解
无
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图象
顶点

(0,0)
轴
对称轴y=0

焦点
准线
离心率

e=1
开口
开口向右
开口向左

开口向下
焦半径
范围

x≤0
y≥0
y≤0
第07讲 抛物线及其性质
目录
考情探究 TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc17850" PAGEREF _Tc17850 \h 2
知识梳理 \l "_Tc6437" PAGEREF _Tc6437 \h 3
探究核心考点 \l "_Tc21616" PAGEREF _Tc21616 \h 5
\l "_Tc11478" 考点一 抛物线的定义及其应用 PAGEREF _Tc11478 \h 5
\l "_Tc17411" 考点二 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 PAGEREF _Tc17411 \h 7
\l "_Tc8145" 考点三 抛物线的标准方程 PAGEREF _Tc8145 \h 14
\l "_Tc24853" 考点四 抛物线的焦点坐标及准线方程 PAGEREF _Tc24853 \h 17
\l "_Tc13618" 考点五 抛物线的轨迹方程 PAGEREF _Tc13618 \h 18
\l "_Tc28495" 考点六 焦半径问题 PAGEREF _Tc28495 \h 22
\l "_Tc25359" 考点七 焦点弦问题 PAGEREF _Tc25359 \h 24
\l "_Tc4407" 考点八 抛物线中三角形，四边形的面积问题 PAGEREF _Tc4407 \h 36
\l "_Tc23417" 考点九 抛物线的实际应用 PAGEREF _Tc23417 \h 42
三阶突破训练 \l "_Tc27575" PAGEREF _Tc27575 \h 47
基础过关 \l "_Tc26211" PAGEREF _Tc26211 \h 47
能力提升 \l "_Tc19164" PAGEREF _Tc19164 \h 53
真题感知 \l "_Tc23525" PAGEREF _Tc23525 \h 58
一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】近5年抛物线命题聚焦于抛物线的定义、焦点与准线的求解、焦半径公式、直线与抛物线相交的弦长及轨迹方程等考点，题型涵盖选择题、填空题、解答题，分值从4分到12分不等。考查形式上，既存在对抛物线定义、焦点准线等单一知识点的直接考查，也常与双曲线离心率、圆的方程、导数、基本不等式等知识综合，且“根据抛物线方程求焦点或准线”为高频考查点，体现出对抛物线核心概念、运算能力及知识综合应用能力的重视。
【备考策略】备考时需扎实掌握抛物线的定义、标准方程、几何性质（焦点、准线、焦半径等）。针对 “焦点准线求解”“直线与抛物线弦长” 等高频考点开展专项训练，同时注重综合题的练习，总结 “定义法”“代数法（韦达定理）” 在抛物线问题中的应用技巧，提升运算准确性和知识迁移能力，尤其要关注抛物线与其他圆锥曲线、函数、不等式的综合题型。
【命题预测】预计未来抛物线命题在题型和分值上会保持多样性，考查重点仍会围绕抛物线的定义、焦点准线、弦长及综合应用展开。命题将进一步强化综合性与创新性，可能在抛物线与导数、向量、实际应用场景的融合上有所突破，以此检验学生的数学建模和综合分析能力。
1.抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2.抛物线的标准方程与几何性质

考点一 抛物线的定义及其应用
典例1．（2025·四川达州·模拟预测）已知A为抛物线（）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则C的焦点坐标为 .
【答案】
【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.
【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义知，又，
，所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为：.
典例2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等边三角形的一个顶点位于抛物线的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】假设边长，然后利用抛物线定义计算即可.
【详解】由题可知：焦点，准线方程为，假设等边三角形的边长为，
所以或，
则.
故选：D
跟踪训练1．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的顶点为，焦点为.点在上，点与点关于轴对称.若平分，则点的横坐标为 .
【答案】2
【分析】根据条件推得，利用抛物线的定义可得点在准线上，求得点的横坐标，再利用对称性即得答案.
【详解】
如图，因为，
所以，故
于是点在准线上，
由，关于轴对称，得.
故答案为：2.
跟踪训练2．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在该抛物线上，点C在y轴上，若，，则（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】A
【分析】根据抛物线方程，求出准线方程，根据抛物线上的点到焦点距离求出点的横坐标，在根据相似三角形求出边长的比值即可.
【详解】
如图所示，设，由，，
由可知准线方程为，
根据抛物线定义可得，，故，，
过A，B分别作y轴的垂线垂足为，过B作的垂线，垂足为E，
明显，所以，
故选：A．
考点二 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值
典例1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值.
【详解】方法一：设点，直线，
动点到点的距离比到直线的距离小2，
，化简得，
即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线．
方法二：设点，直线，
动点到点的距离比到直线的距离小
动点到点的距离等于到直线的距离，
点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，
即抛物线方程为．
如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得，
则，当三点共线时，
取得最小值，最小值为．
故选：C．
典例2．【多选】（2025·福建莆田·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点，为上的动点，则（ ）
A．满足的点恰有两个
B．满足面积为的点恰有三个
C．的最小值为3
D．的最小值为
【答案】BCD
【分析】对于选项A：依据线段垂直平分线上的性质得到的点在AF垂直平分线上，得到满足条件的只有一个.
对于选项B：由三角形面积公式得出.结合图形特点，判断有三个这样的点.
对于选项C：根据三角形两边之和大于第三边，.算出，得到最小值判断.
对于选项D：过作轴平行线，利用抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，.算出，得到最小值判断.
【详解】满足的点位于线段的垂直平分线上，其直线方程为，与仅有一个交点，故A错误；
设到直线的距离为，，则，所以在直线或轴上，这样的点有三个，故B正确；
如图1，点在抛物线外，，故的最小值为，故C正确；
如图2，过作轴平行线，与准线交于点，与抛物线交于点，根据抛物线定义，，此时有最小值，故D正确．
故选：BCD．
跟踪训练1．（2025·上海青浦·模拟预测）已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为 .
【答案】
【分析】因为点在圆外，与两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点坐标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解.
【详解】设抛物线上的点坐标为，
圆的圆心为，半径.
点到圆心的距离.
令，则，对其求最小值，
根据二次函数性质，当时，最小为.
则与两点间最短距离为.

故答案为：.
跟踪训练2．（2025高三·广东深圳）已知是抛物线上一点，则的最小值为 ．
【答案】/
【分析】过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，根据点到直线距离公式及抛物线的定义得，，则进而求解．
【详解】由题可知，过抛物线上的动点作直线的垂线交直线于，过点作轴的垂线交轴于，交准线于点，为抛物线焦点，
由，得，所以，则，如图所示，
则，动点到轴的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，有最小值，
所以，（为点到直线的距离），
因为到直线的距离为，
所以要求的最值为，
故答案为：．

跟踪训练3．（2025高三·全国）已知点在抛物线上，则抛物线上的点到其焦点距离的最小值为 .
【答案】/0.0625
【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果.
【详解】因为点在抛物线上，所以，故抛物线的标准方程为，
由抛物线的定义知，抛物线上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离，
因为抛物线准线方程为,所以抛物线上点到焦点距离等于,
因为,所以，
故抛物线上的点到其焦点距离的最小值为.
故答案为：
跟踪训练4．（2025高三·山东）已知抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，点，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】设，则由两点间距离公式及抛物线定义可得关于y的表达式，后由基本不等式可得答案.
【详解】设，由抛物线方程，得焦点，准线，
点为准线与轴的交点，作于点，
则．，
则
，当且仅当，即时取等号.则的最大值为.
故答案为：.
跟踪训练5．（2025·湖南郴州·模拟预测）已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值.
【详解】把代入，得，
所以点在抛物线里面，
圆的圆心记为，
因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点，
过点作抛物线准线的垂线垂足为，
则根据抛物线的定义得，
所以的最小值等于求的最小值，
当三点共线时最小，最小值为，
故的最小值为，
故选：B
跟踪训练6．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，M为C上的动点，N为直线上的动点，设点M到y轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由抛物线的定义可知点到焦点的距离等于到准线的距离，进行转化，当三点共线时，可求得最小值.
【详解】
因为抛物线，过F点作垂直直线l于点，过M作准线的垂线交准线于点，如图所示，则，，
则，
当点与点重合，点为线段与抛物线的交点时，等号成立.
故选：A．
跟踪训练7．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知为抛物线上的动点，，为两个定点，若周长的最小值为18，则的值为 .
【答案】6
【分析】分析抛物线的焦点和准线，确定点为焦点，利用抛物线定义，将转化为到准线的距离，分析的最小值，结合的定值，得到周长的最小值表达式，即可得解.
【详解】根据题意，则，所以抛物线的焦点坐标为，即定点，准线为，如图所示.
故的周长为，其中为定值，又根据抛物线的定义，
所以当三点共线时取得最小值，
此时，解得.
故答案为：6.

跟踪训练8．（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点为上的不同两点，若线段的中点到轴的距离为2，则的最大值为（ ）
A．3B．6C．9D．36
【答案】C
【分析】首先根据中点求出点的横坐标的关系，然后利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，可将的表达式写出来，最后根据基本不等式的性质可求出 最大值.
【详解】因为点在抛物线上，
所以设，可得，，
因为线段的中点到轴的距离为2，
所以.
因为焦点，准线方程为，所以
由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得
，所以
因为的横坐标均大于0，所以，
所以的最大值为4.
所以当时，即时，取最大值为9.
故选：C.
考点三 抛物线的标准方程
典例1．（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程.
【详解】不妨设点为抛物线上一点，
由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以，
化简得出，即抛物线的方程为.
故选：B.
典例2．（2025·北京海淀·模拟预测）点到抛物线的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】将转化为，分类讨论和两种情况，利用抛物线性质，列出关于a的方程求解即可.
【详解】将转化为,
当时，抛物线开口向上，准线方程，
点到准线的距离为，解得，
所以抛物线方程为，即；
当时，抛物线开口向下，准线方程，
点到准线的距离为，解得或（舍去），
所以抛物线方程为，即.
所以抛物线的方程为或
故选：D.
跟踪训练1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线的一个交点为，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由焦点坐标写出抛物线方程，再求出坐标，进而得直线方程.
【详解】由题设，得，则，故抛物线，
将代入，得，得，∴
∴,
所以直线的方程为，即.
故选：B.
跟踪训练2．（2025高三·河南南阳·期中）已知O为坐标原点，F为抛物线的焦点，点在C上，且，则C的方程为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据抛物线的定义得，结合得，将代入抛物线的方程即可解得的值，进而得C的方程.
【详解】
由抛物线的定义，得，
又，，则，即，
因此，由点在C上，得，结合，解得，
所以C的方程为．
故选：B．
跟踪训练3．（2025·浙江·模拟预测）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，结合已知条件，求得，即可求得抛物线方程.
【详解】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：

由抛物线定义可知，解得，
故抛物线方程为：.
故选：C.
考点四 抛物线的焦点坐标及准线方程
典例1．（25-26高三·云南昭通）抛物线方程为，则此抛物线的准线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得.
【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为.
故选：D．
典例2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知抛物线的准线平分圆，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【分析】求出抛物线的准线方程，利用准线过圆心求出值.
【详解】抛物线的准线方程为，
依题意，直线经过圆的圆心，则，
所以.
故选：B
跟踪训练1．（2025·山东泰安·模拟预测）已知等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线的准线交于A，B两点，，则C的实轴长为（ ）
A．B．6C．D．
【答案】C
【分析】设出双曲线方程（引入参数），将抛物线准线方程代入可表示出，由此即可列方程求解参数，进而得解.
【详解】由题意，设等轴双曲线C的方程为：，而抛物线的准线的准线为，
将代入得，，由题意，
所以，解得，所以C的实轴长为.
故选：C.
跟踪训练2．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，若，则（ ）
A．B．
C．准线为D．
【答案】D
【分析】由已知根据抛物线方程即可判断，；设，由得，根据抛物线的定义即可求解.
【详解】抛物线，即，所以，故错误；
因为焦点为，准线为，故错误；
设，则，
由题意，且，故，
解得（舍）或，
故，故正确.
故选：.
考点五 抛物线的轨迹方程
典例1．（2025·上海普陀·模拟预测）已知点，直线，若动点到的距离等于，则点的轨迹是（ ）
A．椭圆B．双曲线
C．抛物线D．直线
【答案】C
【分析】由抛物线的定义求解即可.
【详解】由抛物线的定义（平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线）可知，点的轨迹是抛物线.
故选：C
典例2．（2025·湖南·模拟预测）已知点满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解.
【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离，
又，所以点到点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为，
设，则，
当且仅当时，等号成立，
故选：C.
跟踪训练1．（2025高三·湖南·期末）已知圆C经过点，且与直线相切，则其圆心到直线距离的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【分析】利用已知可推出圆心C的轨迹为抛物线，利用抛物线的几何性质求解即可.
【详解】解：依题意，设圆C的圆心，动点C到点P的距离等于到直线的距离，
根据抛物线的定义可得圆心C的轨迹方程为，
设圆心C到直线距离为d，，
当时，，
故选：D．
跟踪训练2．（2025·山西·模拟预测）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为.
(1)求的标准方程.
(2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】(1) 设，根据圆与y轴相切，可得，化简即可；
(2) 由题意可知：直线的斜率存在且不为0，设直线：，，与抛物线联立，得韦达定理，设直线的倾斜角为，分别表示出和，求出的表达式，设，则 ，利用导数求最值即可求解.
【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为，
根据圆与y轴相切，可得，
化简得 ，
所以C的方程为.
（2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0，
设直线：，，
联立，
所以，
设直线的倾斜角为，则
所以，
所以 ，
，
设，则 ，
所以，
当在上单调递增，当在上单调递减，
所以当时，即时，面积最小，此时，
故直线的方程为： ，即 或.

跟踪训练3．（2025·甘肃·模拟预测）已知点，直线，动点到点的距离与它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线.
(1)指出曲线是什么曲线，并求曲线的标准方程.
(2)过点的动直线交曲线于两点，且点在第一象限，.
①求的面积的最小值.
②是否存在垂直于轴的定直线被以为直径的圆所截得的弦长为定值？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，说明理由.
【答案】(1)，曲线是抛物线
(2)①32；②存在，
【分析】（1）根据抛物线的定义得，然后根据焦点坐标求出抛物线方程即可；
（2）①设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理，求出弦长，进一步求出面积表达式，根据二次函数的性质求得最值即可；
②过点作，垂足为，设圆与直线的一个交点为，连接，根据垂径定理得，则当时，，求得弦长为定值.
【详解】（1）由题意，点到定点的距离与它到定直线的距离相等，
由抛物线的定义知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，
即曲线是抛物线.由题意知，抛物线开口向右，且，所以 ，
所以抛物线的标准方程为.
（2）①设.
由题意知，直线的倾斜角不为0，设直线的方程为.
由消去，化简得 .
，则，
所以 .
因为，
当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是32.
②假设存在直线满足题意.设以为直径的圆为圆，则 .
如图，过点作，垂足为.
设圆与直线的一个交点为，连接，则.
又，所以
当时，，
此时直线被以为直径的圆截得的弦长为定值.
因此存在直线满足题意
考点六 焦半径问题
典例1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18B．9C．4D．2
【答案】D
【分析】由抛物线的焦半径公式，可直接得到答案.
【详解】由抛物线定义得，
又，解得．
故选：D
典例2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知点在曲线上，，其中点的坐标为，则（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】C
【分析】根据题意可知为抛物线的焦点，再由焦半径等于，列等式即可得到的值，进而确定曲线方程，再讲点的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值.
【详解】因为，所以为抛物线的焦点，且，则，得，
则抛物线方程为.点在曲线上，所以，则.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）设抛物线的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若，则（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义得，由余弦定理可得，则，在中，由勾股定理即可求解.
【详解】由题意可知：抛物线的焦点，准线为，且，
因为，
所以由余弦定理得，
即；
由，所以，；
设为准线与轴的交点，，
则，则.
故选：C.
跟踪训练2．（2025·江西·模拟预测）已知抛物线：（）的焦点为，过点且垂直于轴的直线与交于两点，，点在上，则（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】由已知先求出点的坐标，由即可求得，利用抛物线的定义即可求解.
【详解】由题意有：当时，，所以，
所以，解得，又因为，所以.
故选：B.
考点七 焦点弦问题
典例1．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线C：（）的焦点为，点是C上一点，点是其准线上一点，若，，，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】过作垂直于的准线，垂足为，过作轴，垂足为D.通过，得到，进而求得，即可求解.
【详解】如图，
过作垂直于的准线，垂足为，
由抛物线的定义可知，，,所以，
所以.
设，则.所以.
因为轴，所以，过作轴，垂足为.
因为，又，
解得：，，
又，
所以.所以，解得.
故选：B.
典例2．【多选】（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线，准线为，过焦点的直线交抛物线于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，则（ ）
A．
B．若，则直线的斜率为
C．三点共线（其中为坐标原点）
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线的定义可得，，再利用角的关系即可得出；根据定义可得，即可得出角，进而得出直线的斜率为；设，则，证明即可；由题可得，结合焦半径公式即可证明.
【详解】
连接，根据抛物线定义可知，所以，
又由于轴，所以，
所以，同理可证，
所以，
即，故正确；
过作于，设，则，，
所以，
所以，由对称性可知直线的斜率为，故B错误；
设，则，
由于，由于三点共线，
则，
又由于，则，由于，
则，所以，，
所以，
即，所以三点共线，故C正确；
由于，则，即，所以，
所以，故D正确．
故选：ACD．
跟踪训练1．【多选】（2025·河北·模拟预测）已知为平面直角坐标系的原点，抛物线的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．当与轴垂直时，
B．是钝角
C．设点的横坐标为，点的横坐标为，则
D．延长与准线交于，则
【答案】BCD
【分析】利用抛物线的定义可得方程可判断A，利用韦达定理可判断C，结合数量积小于0可判断B，利用求直线与准线的交点坐标可判断D．
【详解】由抛物线的焦点到准线距离为2可得：，
过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点，当与轴垂直时，
由焦点坐标为，把代入抛物线方程得，
此时，所以，故A错误；
当斜率存在时，设过抛物线的焦点的直线方程为，与抛物线，
联立消得：，
又设交点，则，当直线斜率不存在时，，
而，故C正确，
再由，
又因为点不在直线上，所以是钝角，故B正确；
由直线方程为：，与准线的交点纵坐标为：，
又因为，所以纵坐标为：，
又因为，所以纵坐标为：，
即,故D正确；
故选：BCD.
跟踪训练2．【多选】（2025·山西·模拟预测）已知抛物线，焦点为，过的直线交于点，，其中在第一象限，在第四象限，为坐标原点，连接交抛物线的准线于点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是4B．
C．直线平行于轴D．的面积的最大值为
【答案】AC
【分析】设过的直线为，联立直线与抛物线方程，列出韦达定理，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，设点坐标为，推导出，即可判断C，由面积公式，再构造函数，利用导数求出面积最小值，即可判断D.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
设过的直线为，
将其与抛物线联立可得，消去整理得，
所以，，
对于A：，当且仅当时取等号，即的最小值是，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：设点坐标为，则，
因为，故，故直线平行于轴，故C正确；
对于D：，
设函数，，
则，所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的最小值为，即的面积的最小值为，故D错误，
故选：AC．
跟踪训练3．【多选】（2025·河北邢台·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点作斜率为的直线与相交于两点，为弦的中点，于点，为与的交点，则（ ）
A．B．
C．D．若，且，则的取值范围为
【答案】ABD
【分析】对A，由抛物线的定义，可得，得；对B，证明，可得，得解；对C，在中，可证结合抛物线定义得，得解；对D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，由抛物线定义结合相似三角形可得，进而求出得范围，得解.
【详解】如图，作于点于点．

对于A，由抛物线的定义得，，所以，
所以是以为斜边的直角三角形，即，故A正确；
对于B，由，，得，所以，
因为，所以，又，
所以，所以，所以，故B正确；
对于C，在中，由，可知，所以，
所以，所以，故C错误；
对于D，设直线交准线于点，直线的倾斜角为，，
则，则，由，可得，
所以，因为是关于的减函数，
又，所以，所以，
又．所以的取值范围是，故D正确．
故选：ABD．
跟踪训练4．【多选】（2025·新疆喀什·模拟预测）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点（在第四象限），为的准线，则（ ）
A．的方程为B．
C．以为直径的圆与相交D．为钝角三角形
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出焦点坐标，进而求得抛物线方程，再与直线方程联立求出点的坐标，结合抛物线定义及数量积的坐标表示逐项判断得解.
【详解】由直线过点，得抛物线的焦点，方程为，
对于A，抛物线的准线的方程为，A正确；
由消去并整理得，解得，
对于B，点，，B错误；
对于C，，线段中点到准线的距离，
因此以为直径的圆与相切，C错误；
对于D，，则是钝角，D正确.
故选：AD.
跟踪训练5．【多选】（2025·广东广州·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，O为坐标原点，过F的直线与C交于B，D两点，过B，D作l的垂线，垂足分别为E，G，则（ ）
A．若直线BD的斜率为1，则B．以BD为直径的圆与y轴相切
C．D．B，O，G三点共线
【答案】ACD
【分析】对于A，联立直线方程与抛物线方程，结合焦点弦长公式以及韦达定理即可判断；对于B，由抛物线的性质即可判断；对于C，结合内错角相等即可得证；对于D，设直线OB与准线l交于，只需说明重合即可.
【详解】抛物线的焦点，准线，点，设，
对于A，直线，由，
消去y得，所以，所以，故A正确：
对于B，，线段BD中点横坐标，
弦BD中点到准线的距离为，因此以BF为直径的圆与准线相切，故B错误；
对于C，由，得，同理，
则，故C正确．
对于D，设直线，联立，得，则，
直线，直线OB与准线l交于，
联立，解得，
又，所以，即H与G重合，所以B，O，G三点共线．故D正确．
故选：ACD
跟踪训练6．【多选】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知 是抛物线的焦点，， 是经过点的弦且，的斜率为，且，， 两点在 轴上方，则下列结论中成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．
D．四边形 面积的最小值为
【答案】AC
【分析】将直线方程与抛物线方程联立，根据直线方程的点斜式，求出直线、的方程，利用弦长公式求出、，可判断A；根据抛物线定义可表示、，利用根于系数的关系求出求出值，可判断B；利用向量的数量积，利用根与系数的关系求,可判断C；四边形 面积利用基本不等式可判断D.
【详解】
设 ，，的方程为，
由 可得，
则 ，
所以，
同理可得，
则有，所以A正确；
若，由，
得，
即，
解得 ，故B错误；
与 无关，同理,
故，故C正确；
因为，所以四边形 的面积

，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故D错误．
故选：AC.
跟踪训练7．【多选】（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，A，B是抛物线上两动点，且的最小值为1，M是线段AB的中点，是平面内一定点，则（ ）
A．
B．若，则M到x轴距离为4
C．若，则
D．的最小值为4
【答案】ACD
【分析】根据的最小值即为，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵坐标，结合焦半径公式判断C；判断P点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断D.
【详解】解：抛物线上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1，
则有，解得，A正确；
抛物线的方程为，焦点，准线，设，，
对于B，点，由抛物线的定义知，，
有，所以M到x轴距离，B不正确；
对于C，，，
由得：，即，
又，即，则，解得，，
于是得，C正确；
对于D，抛物线中，当时，，
因此点在抛物线上方，
过点P作于，交抛物线于点Q，连接，
过A作于，连AF，AP，，如图，
显然，
当且仅当点A与Q重合时取等号，
所以，D正确．
故选：ACD.
跟踪训练8．【多选】（2025·山东·模拟预测）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．平分
B．
C．直线，直线与抛物线的准线相交于同一点
D．点是轴上一动点，当最小时，点的坐标为
【答案】ACD
【分析】由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴，结合点坐标可求出点的坐标，对于A，求出，再结合抛物线的光学性质分析判断，对于B，根据的坐标求解判断，对于C，分别求出直线，直线与抛物线的准线的交点判断，对于D，求出点关于轴的对称点，则，当直线与轴的并点为时，最小，从而可求出点的坐标.
【详解】如图，由抛物线，得其焦点为，准线方程为.
由抛物线的光学性质得轴，直线过点轴.
因为，所以，即，代入，得，则，
所以直线的斜率，故直线的方程为，即.
由，解得，或，所以.
对于A，，故，所以.
又因为轴，轴，所以，故，
所以，即平分，故A正确.
对于B，因为，所以，故B错误.
对于C，因为，所以直线的方程为，由得直线与抛物线的准线的交点为，
又轴，，所以直线与抛物线的准线的交点为，即点，
则直线，直线与抛物线的准线相交于同一点，故C正确.
对于D，点关于轴的对称点为，所以，
当最小时，点在直线上，
因为，所以直线为，即，
当时，，所以点的坐标为.故D正确.
故选：ACD.
考点八 抛物线中三角形，四边形的面积问题
典例1．（2025·安徽蚌埠·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的点，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】由抛物线的定义得出的坐标，即可求出面积.
【详解】根据题意，可知，
因为，所以由抛物线的定义可得点的横坐标为，故，
所以的面积为，
故选：B.
典例2．（2025·四川绵阳·模拟预测）如图，过点的直线交抛物线C：于A，B两点，点A在M，B之间，点N与点M关于原点对称，连接BN并延长交抛物线C于E，记直线AN的斜率为，直线ME的斜率为，当时，的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】A
【分析】联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理可解
【详解】由题意可得直线AB的斜率存在且不为零，设：，：，，，，
联立得，
所以，即，，，
联立得，
，，，
所以，则，
故，．
又，所以，解得，
则，，
故，
点N到直线AB的距离，
故．
故选：A
跟踪训练1．（2025·云南·模拟预测）设O为坐标原点，直线与抛物线交于A，B两点，与C的准线交于点M．若，点F为C的焦点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，由此即可得解.
【详解】
如图，分别过点作抛物线准线的垂线，垂足分别为，
则，，
抛物线的焦点，
直线过定点，
因为，，
所以，
所以.
故选：B.
跟踪训练2．（2025·河北邢台·模拟预测）已知抛物线：，过作两条斜率存在的直线分别与有一个公共点，公共点分别为，，则的面积为（ ）
A．B．5C．2D．
【答案】A
【分析】设，，由导数的几何意义求出点处的切线方程，同理可得处的切线方程，即可求出直线的方程，与联立，求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】设，，由，得，所以，
所以在点处的切线方程为，即，
又因为点在上，所以，
所以得到点处的切线方程为，即，
又因为点处的切线过点，故，
所以，同理可得，
所以直线的方程为.
联立整理得，所以，，
所以，
点到直线的距离为，
所以.
故选：A.
跟踪训练3．（2025·甘肃白银·模拟预测）如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
【答案】D
【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积.
【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，
因为四边形为梯形，且，
设，则，
所以，所以，
作轴于点，则，
因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，
故，
所以，
所以四边形的面积为.
故选：D.
跟踪训练4．（2025·河北沧州·模拟预测）已知倾斜角为的直线经过抛物线的焦点，且与交于不同的两点，过分别作直线的垂线，垂足分别为，若梯形的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得到直线的方程，与抛物线联立方程，设，结合韦达定理表示出和，进而表示出梯形面积，即可求出结果.
【详解】依题意，抛物线焦点为，
则直线的方程为，
设，
联立，整理得，
则恒成立，
所以，
则，
所以梯形的面积
，
解得.

故选：C
考点九 抛物线的实际应用
典例1．（2025·海南海口·模拟预测）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25B．0.5C．1D．2
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线标准方程，根据图形可得抛物线上一点坐标，代入可得p，然后可得.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由图可得点在抛物线上，即
，解得，
故轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为.
故选：A.
典例2．（2025高三·全国）如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P到江面的距离为100m，且，则顶端到桥面的距离为（ ）

A．50mB．C．55mD．
【答案】A
【分析】以为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为，表达出点坐标，设，其中为点到桥面的距离，将坐标代入抛物线方程，求出，得到答案.
【详解】以为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知，
设抛物线方程为，其中为点到桥面的距离，
则,解得．

故选：A
跟踪训练1．（2025·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）

A．3mB．4mC．5mD．6m
【答案】B
【分析】建立适当的平面直角坐标系，设出抛物线方程，将点的坐标代入抛物线方程可求得参数，进一步即可得解.
【详解】以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为x轴，垂直于轴，且方向向上，建立平面直角坐标系．

设抛物线的方程为．
易知抛物线过点，则，得，
所以，所以．
故选：B．
跟踪训练2．（2025·山西晋城·模拟预测）吉林雾淞大桥，位于吉林市松花江上，连接雾淞高架桥，西起松江东路，东至滨江东路．雾淞大桥是吉林市第一座自锚式混凝土悬索桥，两主塔左、右两边悬索的形状均为抛物线（设该抛物线的焦点到准线的距离为米）的一部分，左：右两边的悬索各连接着29根吊索，且同一边的相邻两根吊索之间的距离均为米（将每根吊索视为线段）．已知最中间的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为米，则最靠近前主塔的吊索的长度（即图中点到桥面的距离）为（ ）
A．米B．米
C．米D．米
【答案】A
【分析】建立坐标系，求出点B横坐标，代入抛物线即可求解.
【详解】以为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系（横坐标与纵坐标的单位均为米），
依题意可得抛物线的方程为．
因为同一边的悬索连接着29根吊索，且相邻两根吊索之间的距离均为米，则点的横坐标为，
则，所以点到桥面的距离为米．
故选：A.
跟踪训练3．（2025·河南·模拟预测）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图建立平面直角坐标系，设碗体的抛物线方程为（），将点代入求出，即可得到抛物线方程，设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，则两抛物线在第一象限的交点为，代入方程计算可得.
【详解】以碗体的最低点为原点，向上方向为轴，建立直角坐标系，如图所示．

设碗体的抛物线方程为（），将点代入，得，
解得，则，
设盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为，
则两抛物线在第一象限的交点为，代入到，解得，解得．
故选：C
跟踪训练4．（2025·湖北·模拟预测）随着科技的进步，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用.下图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为（ ）（结果精确到0.01）
A．4.96B．5.06C．4.26D．3.68
【答案】A
【分析】先设抛物线的方程，根据题意知抛物线经过点，把点代入抛物线方程即可求出.根据竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为，即可求出答案.
【详解】如图，
设该抛物线的方程为，易知抛物线经过点，
所以，解得，故该抛物线的顶点到焦点的距离为，
故竖直悬挂的闪光灯距离水面的距离为：米.
故选：A
1．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点到的距离与点到轴的距离的差为2，则的轨迹方程是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】设出点M的坐标，利用已知条件列出方程化简即得.
【详解】设，依题意得，
动点到的距离比点到轴的距离的大2，
则，即，
所以的轨迹方程是或，
故选：C
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线的方程为，则“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】结合抛物线定义和方程依次分析题设的充分性和必要性即可得解.
【详解】若抛物线经过点，，
所以抛物线方程为，则抛物线的焦点坐标为，故充分性不成立；
若抛物线的焦点为，则，
所以抛物线方程为，则，即抛物线不经过点，
所以必要性不成立，
故“抛物线经过点”是“抛物线的焦点为”的既不充分也不必要条件．
故选：D
3．（2025·山东·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，准线为l，与y轴平行的直线与l和抛物线E分别交于A，B两点，且，则（ ）
A．B．C．6D．4
【答案】D
【分析】由抛物线定义结合得到为等边三角形，进而得到，求出，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为，所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D.
4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两条渐近线分别交于点、，若为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】取、，分析可知直线的倾斜角为，结合斜率公式可求出的值，再利用双曲线的离心率公式可求出该双曲线的离心率的值.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，
双曲线的两条渐近线方程为，
不妨取、，为等腰直角三角形，
由对称性可知，直线的倾斜角为，则，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
5．（2025·江苏南通·模拟预测）已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出，得到，由抛物线焦半径公式得到，进而求出，代入双曲线方程，得到，求出渐近线方程.
【详解】由题意得，的一个顶点坐标为，
故，
由于为与的交点，，故，解得，
将代入中得，
将，代入中得，
又，故，
所以的渐近线方程为.
故选；B
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知，，P为抛物线上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】根据图象的平移和抛物线的几何性质，得到曲线的焦点坐标为，准线方程为，过点作，根据抛物线的定义，得到，结合，即可求解.
【详解】由抛物线，即，
又由抛物线表示开口向上，且焦点为，准线方程为，
将抛物线向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即可得到，
所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
因为点是抛物线上任意点，则点到焦点的距离等于点到的距离，
如图所示，过点作，可得，
所以，当且仅当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：C.
7．（2025·四川·模拟预测）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，则（ ）
A．10B．8C．6D．4
【答案】D
【分析】由点在抛物线上求参数值，再由抛物线的定义求焦半径.
【详解】由题意，得，解得，则.
故选：D
8．（2025·云南·模拟预测）抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A，B两点，若的周长为8，则（ ）
A．2B．C．D．8
【答案】B
【分析】设在轴上方，根据双曲线和抛物线的定义表示出，结合题意可得，求解即可.
【详解】由题知，双曲线的渐近线为，
抛物线的焦点，准线方程为．
由，得A，B两点坐标为，，
所以．
因为的周长为8，所以，解得，故A，C，D错误.
故选：B.
9．（2025·甘肃白银·模拟预测）若抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标，然后得到双曲线中的值，再结合双曲线的方程求出值，最后根据双曲线的渐近线方程得出结果.
【详解】由题知，抛物线的焦点为，
因为抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，
所以，解得，
因为，所以.
所以双曲线的渐近线方程为．
故选：B.
10．（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于，两点，若的一个方向向量为，则（ ）
A．4B．C．6D．5
【答案】D
【分析】由直线的方向向量得出直线方程，代入抛物线方程得出，根据抛物线焦半径公式即可求解．
【详解】由题得，所以直线的方程为，
代入，得，
设，则，
，
则，
故选：D．
11．（2025·广西·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，与轴平行的直线与l和抛物线C分别交于两点，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．6D．4
【答案】D
【分析】由直线AF的倾斜角为得到得到为等边三角形，进而得到，由，得到答案.
【详解】由抛物线定义可知，
因为直线AF的倾斜角为，轴，
，
所以为等边三角形，
故，，
所以，
其中准线l与轴交点为，则，故，
所以.

故选：D.
1．（2025·浙江·模拟预测）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，为抛物线上任意一点（不与重合），为的中点，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，可得，，分、，结合基本不等式求解即可.
【详解】由题意可知，
设，
所以，
所以，
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
即；
综上，或.
故选：B.
2．（2025·福建漳州·模拟预测）已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】利用抛物线定义与三角形两边之和大于第三边计算即可得.
【详解】过点作抛物线的准线于点，
由抛物线定义可得，
则，
当且仅当、、三点共线，抛物线的准线，
即时，有最小值.
故选：B.
3．（2025·全国·模拟预测）已知点为抛物线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由圆的方程求出圆心的坐标和半径，由切线性质可得，由此可得，，设，根据两点距离公式结合二次函数性质求的最小值，由此可得结论.
【详解】圆的圆心的坐标为，半径为，
因为，为圆的切线，切点分别为，
所以，，，，
所以，
所以，，
设，则，
当时，，此时最大，
又，函数在上单调递增，
所以当时，即时，最大，
此时最大，最小，
则．
故选：D．

4．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解.
【详解】如图，设，设，则，
所以，
又MP，MQ均与圆C相切，所以，
则，
所以
，
又在单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：B.
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点A，B在上，直线AF与抛物线交于M，N，到准线的距离为3，M，O，B三点共线，若，则（ ）
A．1B．9C．1或9D．9或18
【答案】C
【分析】由题意根据抛物线的定义得到，根据的位置分两种情况分别求得的坐标即可得结果.
【详解】

分别过点M，N作，垂足为，则
由抛物线的定义，得
由，得，
则，
由图1，，，
∵M，O，B三点共线，∴
,
.
由图2，，
，
,
，
∵M，O，B三点共线，∴
综上，或9.
故选：C.
6．（2025高三·广东·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可知：，
因为，且，可知为锐角，
则，
设，则，
则，整理可得，解得或（舍去），
所以的横坐标为.
故选：C.
1．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，
所以到准线的距离为，
又到直线的距离为，
所以，故.
故选：D.
2．（2025·全国二卷·高考真题）设抛物线的焦点为点A在C上，过A作的准线的垂线，垂足为B，若直线BF的方程为，则（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】先由直线求出焦点和即抛物线的方程，进而依次得抛物线的准线方程和点B，从而可依次求出和，再由焦半径公式即可得解.
【详解】对，令，则，
所以，即抛物线，故抛物线的准线方程为，
故，则，代入抛物线得.
所以.
故选：C
3．（2025·全国一卷·高考真题）（多选）已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
【答案】ABD
【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解.
【详解】A选项，抛物线的准线为，
的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径，
故准线和相切，A选项正确；
B选项，三点共线时，即，则的纵坐标，
由，得到，故，
此时切线长，B选项正确；
C选项，当时，，此时，故或，
当时，，，，
不满足；
当时，，，，
不满足；
于是不成立，C选项错误；
D选项，方法一：利用抛物线定义转化
根据抛物线的定义，，这里，
于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题，
，中点，中垂线的斜率为，
于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得，
，即的中垂线和抛物线有两个交点，
即存在两个点，使得，D选项正确.
方法二：（设点直接求解）
设，由可得，又，又，
根据两点间的距离公式，，整理得，
，则关于的方程有两个解，
即存在两个这样的点，D选项正确.
故选：ABD
5．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为 ．
【答案】
【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.
【详解】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.
故答案为：.
6．（2024·上海·高考真题）已知抛物线上有一点到准线的距离为9，那么点到轴的距离为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义知，将其再代入抛物线方程即可.
【详解】由知抛物线的准线方程为，设点，由题意得，解得，
代入抛物线方程，得，解得，
则点到轴的距离为．
故答案为：．
7．（2023·上海·高考真题）曲线，第一象限内点A在Γ上，A的纵坐标是a．
(1)若A到准线距离为3，求a；
(2)若a＝4，B在x轴上，AB中点在上，求点B坐标和坐标原点O到AB距离；
(3)直线，令P是第一象限Γ上异于A的一点，直线PA交l于Q，H是P在l上的投影，若点A满足“对于任意P都有”，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）代入求出，利用抛物线定义即可求出值；
（2）代入值求出，设，则得到的中点坐标，再代入抛物线方程则得值，则得到直线的方程，利用点到直线的距离即可；
（3）设，写出直线的方程，求出点坐标，则，分和讨论即可.
【详解】（1）令，解得，即，而抛物线的准线方程为，
根据抛物线的定义有，解得，因为为第一象限的点，则.
（2）由代入抛物线方程有，解得，则，
设，则的中点为,
代入抛物线方程有，解得，
直线的斜率为，其方程为，即,
坐标原点到的距离为.
（3）设，根据，
则，则直线方程为，
化简得，
令，则，又，，
化简得 ①对任意的 恒成立.
则, 结合，，
当时，，则，则①也成立.
综上所述:.

【点睛】关键点睛：本题第三问的关键是设，从而写出直线的方程，再得到，再转化为恒成立问题，分类讨论即可.
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年全国一卷，第10题，6分
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
无
2025年全国二卷，第6题，5分
抛物线的焦半径公式
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2025年天津卷，第9题，5分
抛物线定义的理解
根据抛物线方程求焦点或准线
求双曲线的离心率或离心率的取值范围
2024年北京卷，第11题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2024年天津卷，第12题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线
求点到直线的距离
由标准方程确定圆心和半径
2024年新课标II卷，第10题，6分
直线与抛物线交点相关问题 切线长
根据抛物线方程求焦点或准线
无
2023年新课标I卷，第22题，12分
求平面轨迹方程
求直线与抛物线相交所得弦的弦长
由导数求函数的最值（不含参）
基本（均值）不等式的应用
2023年新课标Ⅱ卷，第10题，5分
求直线与抛物线的交点坐标 与抛物线焦点弦有关的几何性质
抛物线定义的理解
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
无
2023年全国乙卷（文数），第13题，5分
根据抛物线方程求焦点或准线 根据抛物线上的点求标准方程
无
2023年北京卷，第6题，4分
抛物线定义的理解
无
标准
方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图象
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0