第三章　§3.6　同构问题-2027年高考数学大一轮复习课件（讲义含答案）

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把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等式问题.
含有地位同等的两个变量x1，x2或x，y或a，b的等式或不等式，如果进行整理(即同构)后，等式或不等式两边具有结构的一致性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性解决.
跟踪训练1　若00，则不等式可化为f(x-1)≥f(ex).
例2　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.(4)e-x-2x-ln x=0；
解　由e-x-2x-ln x=0可得e-x=2x+ln x，进一步变形为-x+e-x=ln x+eln x.设f(t)=t+et，则方程可化为f(-x)=f(ln x).
例2　对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数.(5)x2ex+ln x=0.
利用恒等式x=ln ex和x=eln x，通过幂转指或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由构造的函数的单调性进行研究.
跟踪训练2　(1)(多选)若ea+a>b+ln b(a，b为变量)成立，则下列选项正确的是A.a>ln bB.abD.eab+ln b，可得ea+a>eln b+ln b，令f(x)=ex+x，则f(a)>f(ln b)，因为f(x)在R上是增函数，所以a>ln b，即ea>b.方法二　由ea+a>b+ln b，可得ea+ln ea>b+ln b，令g(x)=x+ln x，则g(ea)>g(b)，因为g(x)在(0，+∞)上是增函数，所以ea>b，即a>ln b.
解析　由恒等式x=ln ex可得ax=ln eax，所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为ln eax+eax>ln(bx)+bx，构造函数f(x)=ln x+x，可得f(eax)>f(bx).同理，由恒等式x=eln x可得bx=eln(bx)，所以ax+eax>ln(bx)+bx可变形为ax+eax>ln(bx)+eln(bx)，构造函数f(x)=x+ex，可得f(ax)>f(ln(bx)).
例3　(1)已知函数f(x)=xex-a(x+ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是　　 　　. 
(2)设实数k>0，对于任意的x>1，不等式kekx≥ln x恒成立，则k的最小值为　 　. 
(2)方法一　由f(x)≥1得aex-1-ln x+ln a≥1，即eln a+x-1+ln a+x-1≥ln x+x，而ln x+x=eln x+ln x，∴eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x.令h(x)=ex+x，则h'(x)=ex+1>0，∴h(x)在R上单调递增.由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x，
解析　由g'(x)1，则g(x)在(1，+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(1)=-1，∴a≥-1.
二、多项选择题3.(2025·邯郸模拟)已知a>0，b∈R，e是自然对数的底数，若b+eb=a+ln a，则a-b的值可以是A.-1　　　B.1　　　C.2　　　D.3
解析　设函数f(x)=x+ex，则f(x)在R上是增函数，所以b+eb-(a+ln a)=b+eb-(ln a+eln a)=f(b)-f(ln a)=0，所以b=ln a，即a=eb，所以a-b=eb-b，令g(x)=ex-x，则g'(x)=ex-1，当x0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(0)=1，从而a-b≥1，结合选项，可得B，C，D符合题意.
4.e是自然对数的底数，m∈R，n>0，已知mem+ln n>nln n+m，则下列结论一定正确的是A.若m>0，则m-n>0B.若m>0，n>1，则em-n>0C.若m0，∴h(x)在R上单调递增.由eln a+x-1+ln a+x-1≥eln x+ln x，可得h(ln a+x-1)≥h(ln x)，
解　∴f(x)≥1恒成立；当0