山东德州市第十中学等校2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试题（含答案+解析）

这是一份山东德州市第十中学等校2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试题（含答案+解析），文件包含河南省周口市高三年级第二学期四月份联考生物试题pdf、生物学答案2pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 0.2B. 4C. 12D. 6
2.下列计算正确的是( )
A. 8−2=2B. 2×3=6C. 10÷5=2D. 2+5=7
3.四边形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD交于点O，增加下列条件不能使四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AB=CDB. BC=ADC. BC//ADD. OA=OC
4.如图，一根长13cm的儿童牙刷置于底面直径为6cm，高为8cm的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是( )
A. 5≤ℎ≤7B. 2≤ℎ≤4C. 4≤ℎ≤6D. 3≤ℎ≤5
5.如果最简二次根式 a−2与2 7可以进行合并，则a2的值为( )
A. 7B. 16C. 25D. 81
6.如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为( )
A. 5B. 1− 5C. −1+ 5D. −1− 5
7.下列说法中，不正确的是( )
A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 对角线相等的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的矩形是正方形D. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
8.如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的各边中点，顺次连接E、F、G、H，当( )时，四边形EFGH是菱形．
A. AD=BCB. AC⊥BD
C. AC=BDD. AC=BD且AC⊥BD
9.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图，直角三角形的直角边长为a，b，斜边长为c，若a+b=8，每个直角三角形的面积为152，则小正方形的面积为( )
A. 4B. 19C. 34D. 49
10.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE=AF，AC与EF相交于点G.下列结论：①AC垂直平分EF；②BE+DF=EF；③当∠DAF=15∘时，△AEF为等边三角形；④当∠EAF=60∘时，∠AEB=∠AEF.其中正确的结论是( )
A. ①③B. ②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.若式子 3x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围为 .
12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ∘，AC=4，BC=3，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 .
13.如图，已知长方体的长AC=2cm，宽BC=1cm，高AA′=4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，最短路程是 cm.
14.如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD上一点P作EF//BC，GH//AB，且CG=3BG，S▱BEPG=1.5，则S▱AEPH= .
15.如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，D、E分别是边BC、AB上的动点，M、N分别是DE、AE的中点，则MN的最小值是 .
16.如图，平行四边形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止(同时点Q也停止).在运动以后，当t= 时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算：
(1) 24−12 16+ 18÷ 2；
(2) 5+ 3 5− 3− 5− 32.
四、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．连接DE，BF.求证：四边形DEBF是平行四边形．
19.(本小题10分)
如图，一架梯子AC长2.5米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7米．
(1)这个梯子的顶端距地面有多高？
(2)如果梯子的顶端下滑了0.4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
20.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，点E、F分别在AB、CD上，且BE=DF=32
(1)求证：四边形AECF是菱形；
(2)求线段EF的长．
21.(本小题10分)
如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF=AE，连接AF,BF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)已知∠DAB=60 ∘，AF平分∠DAB，若AD=3，求DC的长度．
22.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F.
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若AC=5，AB=12，求菱形ADCF的面积．
23.(本小题15分)
小芳在解决问题：已知a=12+ 3，求2a2−8a+1的值．她是这样分析与解的：
a=12+ 3=2− 32+ 32− 3=2− 3，
∴a=2− 3，
∴a−22=3，a2−4a+4=3，∴a2−4a=−1，
∴2a2−8a+1=2a2−4a+1=2×−1+1=−1.
请你根据小芳的分析过程，解决如下问题：
(1)计算：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 100+ 99.
(2)若a=1 2−1.
①化简a，求4a2−8a−1的值；
②求a3−3a2+a+1的值．
24.(本小题15分)
四边形ABCD为正方形，E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.
(1)如图①，求证：矩形DEFG是正方形；
(2)若AB=2，CE= 2，求CG的长度；
(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30 ∘时，求∠EFC的度数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义解题即可．理解最简二次根式的定义是解题的关键．满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】解：A、 0.2= 55，不是最简二次根式，不符合题意；
B、 4=2，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 12= 22，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 6是最简二次根式，符合题意；
故选：D.
2.【答案】C
【解析】解：选项A：先化简 8=2 2，因此 8− 2=2 2− 2= 2≠2，A错误；
选项B：根据二次根式乘法法则， 2× 3= 2×3= 6≠6，B错误；
选项C：根据二次根式除法法则， 10÷ 5= 10÷5= 2，C正确；
选项D： 2和 5的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，D错误。
3.【答案】B
【解析】解：如图：
A、由AB//CD，AB=CD，能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
B、由AB//CD，AD=BC可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，此四边形可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
C、由AB//CD，BC//AD，能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
D、∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
∵∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB=CD，能判断四边形ABCD是平行四边形，故本选项不符合题意；
故选：B.
4.【答案】D
【解析】本题考查了勾股定理的运用，先根据勾股定理求出AB，再得出h的范围即可．
【详解】解：当牙刷垂直放置时，ℎ=13−8=5cm；
当牙刷如图所示放置时，AC=8cm,BC=6cm，且AC⊥BC，
在Rt△ABC中，
AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∴ℎ=13−10=3，
∴ℎ的取值范围为：3≤ℎ≤5，
故选：D.
5.【答案】D
【解析】解：∵由题意可知 a−2与2 7是同类二次根式，
∴a−2=7，
解得：a=9，
∴a2=92=81，
故选：D.
同类二次根式的定义：化简为最简二次根式后，被开方数是相同的，由此得到a−2=7，求解即可．
本题考查了乘方，同类二次根式的定义，正确理解题意，得到a−2=7是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：1− 12+(3−1)2=1− 5，
故选：B.
7.【答案】B
【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
B、对角线相等且平分的四边形是矩形，故错误；
C、对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确．
故选：B.
根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定，对选项逐一进行判断即可．
本题主要考查了正方形、平行四边形、矩形、菱形的判定方法．解决此题的关键是熟练掌握运用这些判定．
8.【答案】C
【解析】利用三角形中位线定理，将四边形EFGH的边长与原四边形ABCD的对角线AC和BD的长度建立联系，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可解答．
【详解】解：如图，连接AC，BD，
∵点E，F，G，H分别是四边形ABCD的各边中点，
∴EF=12AC，HG=12AC，
∴EF=HG，
同理可得，EH=FG=12BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
当EF=EH时，平行四边形EFGH是菱形，
∴12AC=12BD，即AC=BD，
故选：C.
9.【答案】A
【解析】本题考查了勾股定理的应用，完全平方公式，熟记勾股定理是解题的关键．根据三角形的面积公式可得ab的值，结合已知的a+b的值，利用完全平方公式可求得a2+b2，根据勾股定理求得c2，最后根据小正方形的面积=大正方形的面积(即c2)−4个直角三角形的面积之和，计算即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的直角边长为a，b，每个直角三角形的面积为152，
∴12ab=152，ab=15，
∴a2+b2=a+b2−2ab=82−2×15=34，
∵a2+b2=c2，
∴c2=34，
∴小正方形的面积为c2−4×152=34−30=4.
故选：A.
10.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的应用，等边三角形的性质的运用，直解三角形的性质，解答本题时运用勾股定理的性质解题时关键．
①通过条件可以得出△ABE≌△ADF，从而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性质就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF；
②设BC=x，CE=y，由勾股定理就可以得出EF与x、y的关系，表示出BE与EF，即可判断BE+DF与EF关系不确定；
③当∠DAF=15∘时，可计算出∠EAF=60∘，即可判断△EAF为等边三角形；
④当∠EAF=60∘时，△AEF为等边三角形，可得∠EAF=∠AEF=60∘，再得∠EAG=30∘，根据正方形的性质和直角三角形的性质可得出AEB=90∘−∠BAE=75∘，即可判断∠AEB≠∠AEF.
【解答】
解：①四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90∘.
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AE=AFAB=AD，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=CD，
∴BC−BE=CD−DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF.(故①正确).
②设BC=a，CE=y，
∴BE+DF=2(a−y)，EF= 2y，
∴BE+DF与EF关系不确定，只有当y=(2− 2)a时成立，(故②错误).
③当∠DAF=15∘时，
∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴∠DAF=∠BAE=15∘，
∴∠EAF=90∘−2×15∘=60∘，
又∵AE=AF，
∴△AEF为等边三角形．(故③正确).
④当∠EAF=60∘时，△AEF为等边三角形，
∴∠EAF=∠AEF=60∘，
∵AC垂直平分EF，
∴AC平分角∠EAF，
∴∠EAG=30∘，
在正方形ABCD中，AC平分∠BAD，
∴∠BAC=45∘，
∴∠BAE=∠BAC−∠EAG=45∘−30∘=15∘，
∴∠AEB=90∘−∠BAE=75∘，
∴∠AEB≠∠AEF(故④错误).
综上所述，正确的有①③，
故选A.
11.【答案】x≥23
【解析】解：∵式子 3x−2在实数范围内有意义，
∴3x−2≥0，
解得：x≥23.
故答案为：x≥23.
根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
12.【答案】6
【解析】此题考查了勾股定理、圆面积公式等知识．根据勾股定理求出AB长，两个小半圆面积和直角三角形的面积之和减去大半圆面积即可求出答案．
【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90 ∘，AC=4，BC=3，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∴图中阴影部分的面积为=12π×AC22+12π×BC22+12×AC⋅BC−12π×AB22
=12π×22+12π×322+12×3×4−12π×522
=6
故答案为：6
13.【答案】5
【解析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：
(1)沿AA′，A′C′，C′B′，B′B，AC，CB剪开，得图1：
则AB′2=AB2+BB′2=(2+1)2+42=25；
(2)沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图2：
则AB′2=AC2+B′C2=22+(4+1)2=4+25=29；
(3)沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图3：
则AB′2=AD2+B′D2=12+(4+2)2=1+36=37；
综上所述，最短路径应为(1)所示，所以AB′2=25，即AB′=5cm，
故答案为：5.
14.【答案】4.5
【解析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案．
【详解】解：∵EF//BC，GH//AB，
∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形，
∴S△PEB=S△BGP，
同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB，
∴S△ABD−S△PEB−S△PHD=S△CDB−S△BGP−S△DFP，
即S四边形AEPH=S四边形PFCG.
∵CG=3BG，S▱BEPG=1.5，
∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=3×1.5=4.5；
故答案为：4.5.
15.【答案】125
【解析】解：连接AD，
∵M、N分别是DE、AE的中点，
∴MN是△AED的中位线，
∴MN=12AD(三角形的中位线等于第三边的一半)，
当CD最小时，MN最小，
当AD⊥BC时，AD最小，
∵AB=8，BC=10，AC=6，62+82=102，
∴AB2+AC2=BC2(勾股定理的逆定理)，
∴∠BAC=90∘，
当AD⊥BC时，S△ABC=12AB⋅AC=12BC⋅AD，
∴12×6×8=12×10×AD，
解得：AD=245，
∴MN的最小值为125，
故答案为：125.
连接AD，根据三角形中位线的性质定理得出MN=12AD，由勾股定理逆定理求出∠BAC=90∘，再根据三角形等面积法求出AD，即可得出结果．
本题考查三角形中位线定理，勾股定理捏定理，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解题关键．
16.【答案】4.8s或8s或9.6s
【解析】解：设经过t秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，
∴DP=BQ，
分为以下情况：①点Q的运动路线是C−B，方程为12−4t=12−t，
此时方程t=0，此时不符合题意；
②点Q的运动路线是C−B−C，方程为4t−12=12−t，
解得：t=4.8；
③点Q的运动路线是C−B−C−B，方程为12−(4t−24)=12−t，
解得：t=8；
④点Q的运动路线是C−B−C−B−C，方程为4t−36=12−t，
解得：t=9.6；
综上所述，t=4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，
故答案为：4.8s或8s或9.6s.
根据平行四边形的判定可得当DP=BQ时，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形，然后分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可．
此题考查了平行四边形的判定．求出符合条件的所有情况是解此题的关键，注意分类讨论思想的应用．
17.【答案】【小题1】
解：原式=2 6−12× 66+ 9
=2 6−2 6+3
=3；
【小题2】
解：原式=5−3−5+3−2 15
=2−8−2 15
=2−8+2 15
=2 15−6.

【解析】1.
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
先计算二次根式除法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案；
2.
先根据乘法公式去括号，然后计算加减法即可得到答案．
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=OD，AO=OC，
又∵E，F分别为OA，OC的中点，
∴EO=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形.
【解析】本题考查了平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质.欲证明四边形BFDE是平行四边形只要证明OE=OF，OD=OB即可.
19.【答案】【小题1】
根据题意可得：AC=2.5米，BC=0.7米，∠ABC=90∘，
∴AB= AC2−BC2= 2.52−0.72=2.4米，即梯子的顶端距地面有2.4米；
【小题2】
根据题意可得：A`C`=2.5米，A`B=2.4−0.4=2米，
∴BC`= 2.52−22=1.5米，则CC`=1.5−0.7=0.8米，即梯子的底端在水平方向滑动0.8米．

【解析】1.
根据Rt△ABC的勾股定理求出AB的长度，从而得出答案；
2. 根据题意得出A`C`和A`B的长度，然后根据勾股定理求出BC`的长度，从而得出答案．
20.【答案】【小题1】
证明：∵在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，
∴CD=AB=4，AD=BD=2，CD//AB，∠D=∠B=90 ∘，
∵BE=DF=32，
∴CF=AE=4−32=52，
∴AF=CE= 22+322=52，
∴AF=CF=CE=AE=52，
∴四边形AECF是菱形；
【小题2】
解：过F作FH⊥AB于H，
则四边形AHFD是矩形，
∴AH=DF=32，FH=AD=2，
∴EH=52−32=1，
∴EF= FH2+HE2= 22+12= 5

【解析】1.
根据菱形的性质得到CD=AB=4，AD=BD=2，CD//AB，∠D=∠B=90 ∘，求得CF=AE=4−32=52，根据勾股定理得到AF=CE= 22+322=52，于是得到结论；
2.
过F作FH⊥AB于H，得到四边形AHFD是矩形，根据矩形的性质得到AH=DF=32，FH=AD=2，根据勾股定理即可得到结论．
21.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴DC//AB，DC=AB，
∵CF=AE，
∴DF=BE且DF//BE
∴四边形BFDE是平行四边形，
又∵DE⊥AB，
∴四边形BFDE是矩形；
【小题2】
解：∵∠DAB=60 ∘，DE⊥AB，
∴∠ADE=30 ∘，
∵AD=3，
∴AE=12AD=32，
∴DE= AD2−AE2=32 3，
∵四边形BFDE是矩形
∴BF=DE=32 3，BF⊥AB，
∵AF是∠DAB的平分线，∠DAB=60 ∘，
∴∠FAB=12∠DAB=30 ∘，且BF⊥AB，
∴AF=2BF=3 3，
∴AB= AF2−BF2=92，
∴CD=AB=92.

【解析】1.
先证四边形BFDE是平行四边形，再结合DE⊥AB证明为矩形；
2.
根据含30度角的直角三角形的性质求出AE，再用勾股定理求出DE，结合矩形的性质可得BF=DE，BF⊥AB，再解Rt△ABF求出AB即可．
22.【答案】【小题1】
证明：∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AF//BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∠AFE=∠DBE∠DEB=∠AEFAE=DE，
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB
∵D是BC的中点
∴BD=CD=AF
又∵AF//BC
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90∘，D是BC的中点
∴AD=CD=12BC
∴平行四边形ADCF是菱形；
【小题2】
解：∵D是BC的中点
∴S菱形ADCF=2S△ADC=S△ABC=12AB⋅AC=12×5×12=30.

【解析】1.
可先证得ΔAEF≅ΔDEB，可求得AF=DB，可证得四边形ADCF为平行四边形，再利用直角三角形的性质可求得AD=CD，可证得结论；
2.
根据条件可证得S菱形ADCF=SΔABC，结合条件可求得答案．
23.【答案】【小题1】
解：1 2+1+1 3+ 2+1 4+ 3+⋯+1 100+ 99
= 2−1+ 3− 2+ 4− 3+…+ 100− 99
=−1+ 100
=−1+10
=9；
【小题2】
解：①a=1 2−1= 2+1( 2−1)( 2+1)= 2+12−1= 2+1，
∴a= 2+1，
∴(a−1)2=( 2)2=2，
∴a2−2a+1=2，
∴a2−2a=1，
∴4a2−8a−1
=4(a2−2a)−1
=4×1−1
=4−1
=3；
②由①知a2−2a=1，
∴a3−3a2+a+1
=a(a2−2a)−(a2−2a)−a+1
=a×1−1−a+1
=a−1−a+1
=0.

【解析】1.
根据平方差公式可以求出所求式子的值；
2.
①根据平方差公式可以化简a，然后即将a变形，即可得到a2−2a的值，再整体代入化简后的式子计算即可；
②根据①中a2−2a的值，将所求式子变形，再整体代入计算即可．
24.【答案】【小题1】
证明：如图，作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCA=∠BCA=45∘，
∴EQ=EP，∠QEF+∠FEC=45∘，∠PEC=45∘，
∴∠PED+∠FEC=45∘，
∴∠QEF=∠PED，
在Rt△EQF和Rt△EPD中，
∠QEF=∠PED,EQ=EP,∠EQF=∠EPD,
∴Rt△EQF≌Rt△EPDASA，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形；
【小题2】
解：如下图，在Rt△ABC中，AB=BC=2，
∴AC= AB2+BC2=2 2，
∵EC= 2，
∴AE=CE，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DE=CE= 2，
∴DF=2，
∴点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，如下图，
∴CG2+DG2=CD2，
即2CG2=22，
解得CG= 2；
【小题3】
①当DE与AD的夹角为30∘时，点F在BC边上，∠ADE=30∘，
则∠CDE=90∘−30∘=60∘，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理，
得∠EFC=360∘−90∘−90∘−60∘=120∘，
②当DE与DC的夹角为30∘时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30∘，如下图所示，
∵∠HCF=∠DEF=90∘，∠CHF=∠EHD，
∴∠EFC=∠CDE=30∘，
综上所述，∠EFC的度数为120∘或30∘.

【解析】1.
本题主要考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．
作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF=ED，即可证明矩形DEFG是正方形；
2.
先计算正方形对角线长度AC=2 2，根据CE= 2可得AE=CE= 2，结合矩形DEFG是正方形可得，点F与点C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，从而求出CG的长度；
3.
分类讨论线段DE与正方形ABCD的边的夹角：①当DE与AD的夹角为30 ∘时，点F在BC边上，∠ADE=30 ∘；②当DE与DC的夹角为30 ∘时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30 ∘.