山东省德州市德城区三校联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份山东省德州市德城区三校联考2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题（解析版），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．不是最简二次根式，不符合题意；
B．不是最简二次根式，不符合题意；
C．不是最简二次根式，不符合题意；
D．是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A. 1，，B. 1，1，2
C. 2，3，4D. ，，
【答案】A
【解析】A、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、不能构成三角形，故本选项不符合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
3. 下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A. 与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；
B. ，故选项错误，不符合题意；
C. ，故选项错误，不符合题意；
D. ，故选项正确，符合题意；
故选：D．
4. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A．∵，，
∴一组对边平行，另一组对边不平行，
∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意；
B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意；
C．由图中数据可得一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D．由图中数据只能得到一组对边相等，且这组对边平行，能判断四边形是平行四边形，故D符合题意．
故选：D．
5. 某城市中有如图所示的公路，它们互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，的长为，则两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
，
，
是公路的中点，
即两点间的距离为
故选：A．
6. 如图，将一块边长为正方形纸片的顶点折叠至边上的点，使，折痕为，则的长为（ ）
A. 12B. 13C. D.
【答案】B
【解析】过点作于点，
由折叠得到，
，
又，
，
，
，
则，，，
，
．
故选：B．
7. 如图，的边在数轴上，数轴，，点所表示的数为，点所表示的数为1，以点为圆心，以长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，
点对应的数为，点表示的数是，
故选：C．
8. 下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）
A. 长方形的宽一定，其长与面积
B. 正方形的周长与面积
C. 等腰三角形的底边长与面积
D. 圆的周长与半径
【答案】C
【解析】A.面积=长宽，因此当长方形的宽一定时，其长与面积满足函数关系；
B.正方形的面积=边长2=(周长4)2，一个周长对应一个面积值，因此正方形的周长与面积满足函数关系；
C.三角形的面积=底高，高不能确定，共有三个变量，因此，等腰三角形的底边长与面积不满足函数关系；
D. 一个周长对应一个面积值，因此圆的面积和周长的关系满足函数关系．故选C.
9. 如图，在的网格中，，为两个格点（格点为小正方形的顶点），再选一个格点，使为直角，则满足条件的点个数为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】D
【解析】根据勾股定理知：，
∵，
，
，
如图：
∴符合条件的点C有6个．
故选：D．
10. 矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：
①△AOE≌△COF；②△EOB≌△CMB；③FB⊥OC，OM=CM；④四边形EBFD是菱形；⑤MB：OE=3：2，其中正确结论的个数是（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，
∵FO=FC，BF=BF，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM=CM.故③正确.
∵∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM=∠CBM=30°，
∴∠ABO=∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF=∠OAE，
∵OA=OC，
可得△AOE≌△COF,故①正确.
∴OE=OF，
则四边形EBFD是平行四边形，又可知OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形.故④正确.
∴△EOB≌△FOB≌△FCB.
则②△EOB≌△CMB错误，
∵∠OMB=∠BOF=90°，∠OBF=30°,
设MB=a,则OM=a,OB=2a,
OF=OM,
∵OE=OF，
∴MB：OE=3：2.
则⑤正确.
综上一共有4个正确的,
故选B.
二、填空题
11. 函数中，自变量x的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据二次根式的意义，有，
解得，
故自变量x的取值范围是，
故答案为：．
12. 若是整数，则正整数n的最小值为______．
【答案】5
【解析】∵，
∴正整数n的最小值为5．
故答案为：5．
13. “折竹抵地”问题源自《九章算术》中，即：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为_____尺．
【答案】4.2．
【解析】如图，设折断处离地面的高度OA是x尺，根据题意可得：
x2+42＝（10﹣x）2，
解得：x＝4.2，
答：折断处离地面的高度OA是4.2尺．
故答案为4.2．
14. 如图，在四边形中，，，，，．若点，分别是边，的中点，则的长是_______．
【答案】4
【解析】如图，连接，
，，
，
，
，
点，分别是边，的中点，
，
故答案为：4．
15. 如图，在矩形中，，，P为上一点，将沿翻折至处，与相交于O，且，则的长为____________．
【答案】
【解析】四边形是矩形，
，，，
根据题意得：，
，，，
在和中，，
，
，
，
设，则，，
，，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
；
故答案为：．
16. 边长为a的菱形是由边长为a的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为h，则称为为这个菱形的“形变度”．
(1)一个“形变度”为2的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为_____．
(2)如图，A、B、C为菱形网格(每个小菱形的边长为1，“形变度”为)中的格点，则△ABC的面积为_____．
【答案】①. ；②.
【解析】（）∵边长为的正方形面积，
边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为(1). ；(2). .
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式
．
18. 先化简，再求值：其中．
解：
，
当时，原式．
19. 劳动教育能够提升学生的智力与创造力、强壮学生的体格．学校为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，．
（1）求蔬菜区边的长；
（2）求劳动基地（四边形）的面积．
解：（1），，，
在中，根据勾股定理，得，
答：蔬菜区边的长为；
（2），，
，，
，
是直角三角形，．
．
答：劳动基地（四边形）的面积为．
20. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）连接，若，求的长．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
矩形的对角线相交于点O，
，
四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，交于点F，
由（1）知，四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
．
21. 如图，在中，点D是线段的中点．
求作：线段，使得点E在线段上，且．
作法：
①连接，
②以点A为圆心，长为半径作弧，再以C为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点M；
③连接，交于点E；
所以线段即为所求的线段．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明：
证明：连接
∵，，
∴四边形是平行四边形．（① ）（填推理的依据）
∵交于点E，
∴，即点E是的中点．（② ）（填推理的依据）
∵点D是AB的中点，
∴．（③ ）（填推理的依据）
（1）解：如图，
（2）证明：连接AM，CM，
∵，，
∴四边形是平行四边形．（①两组对边分别相等的四边形是平行四边形）（填推理的依据）
∵AC，DM交于点E，
∴，即点E是的中点．（②平行四边形的对角线互相平分）（填推理的依据）
∵点D是的中点，
∴（③中位线的性质）．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形的对角线互相平分；中位线的性质．
22. 勾股定理具有丰富的文化内涵，它揭示了直角三角形的三边关系，搭建起几何与代数之间的桥梁，为解决几何问题拓宽了思路．请完成下面问题：
（1）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图1所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为，较短直角边长为，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积是 ；
（2）如图2，小明把赵爽弦图里的4个全等的直角三角形适当拼合，并作出一条辅助线，其他条件不变，利用这个图形也可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？
（3）如图3，在中，是边上的高，，，，求的值．
解：（1）设斜边的长为，
由题意，得：，，
，
，
小正方形的面积为：；
（2）图形的总面积可以表示为或，
，
；
（3）在中，，
在中，，
，
解得．
23. 阅读下列材料：
①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化．
②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，则．这样我们不用求出和的值就可以得到要求的结果．
根据以上材料回答下列问题：
（1）化简：① ，② ．
（2）计算：．
（3）已知是整数，，，且
则的值为 ．
解：（1）①，
②，
故答案为：；；
（2）
；
（3）∵，，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：或（不符合题意舍去），
∴，
故答案为：1．
24. 【问题背景】（1）点，分别在正方形的边，上，，试判断，，之间的数量关系．
小茗同学的思路是过点作，交的延长线于点，如图1，通过这种证明方法，可发现上述三条线段的数量关系为 ．
【变式迁移】（2）如图2，平行四边形中，，，点，分别在，上．若，，．
①直接写出的长为 ；
②连接，求的长．
【拓展应用】（3）如图3，在等腰直角三角形中，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由．
解：[问题背景] ，
理由：过点作，交延长线于点，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，，
∴；
[变式迁移]
①如图2，连接，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：3；
②过点A作于点，
又，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
又∵，，
∴为等边三角形，
∴；
[拓展应用]，
理由：过B作，并截取，连接，则．
∵，，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，，
∴，
∴，
又，，
∴．