山东省德州市第五中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试题（含解析）

这是一份山东省德州市第五中学2024-2025学年下学期第一次月考八年级 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．式子成立的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．计算 的结果为( )
A．B．C．D．
5．若实数，满足，则的值为（ ）
A．3B．1或3C．1D．5
6．下列计算正确的是（ ）
A．=2B．2=6
C．D．=2
7．在平行四边形ABCD中，∠A的平分线把BC边分成长度是3和4的两部分，则平行四边形ABCD的周长是( )
A．22B．20
C．22或20D．18
8．如图是一株美丽的勾股树，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作两个正方形，计为2．依此类推…若正方形①的面积为16，则正方形③的边长是（ ）

A．2B．4C．6D．8
9．下列说法：①一组对边平行另一组对边相等的四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形；④一组对角相等、一组对边平行的四边形是平行四边形．其中能判定一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．②④B．②③C．①②④D．①②③
10．如图，O是平行四边形的中心，过O点的两条直线与对角线将平行四边形分成阴影和空白部分．若，，．则阴影部分的面积为（ ）

A．6B．4C．3D．
11．如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（ ）
A．3B．C．3或D．3或
12．如图，在平行四边形中，，点H、G分别是边、上的动点．连接、，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（ ）
A．1B．1C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
13．若直角三角形的两边长分别为 3cm，5cm，则第三边长为 cm．
14．读材料：我们规定，若，则称a与b是关于的平衡数，若与m是关于的平衡数，则 ．
15．勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则 （用含的式子表示）．
16．如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M所表示的数为 ．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE、BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．若∠A＝80°，则∠GFH＝ °．
18．如图，在图中，、、分别是的边、、的中点，在图中，、、分别是的边、、的中点，，按此规律，则第个图形中平行四边形的个数共有 个．
三、解答题（本大题共7小题）
19．计算
(1)；
(2)．
(3)先化简，再求值：，其中，．
20．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行，“海天”号每小时航行．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q，R处，且相距．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
21．在图中，的顶点都在网格线的交点上，由此我们称这种三角形为格点三角形．
(1)在图中，每个小正方形的边长为时， ；
(2)在图中，若每个小正方形的边长为，请在此网格上画出三边长分别为、、的格点三角形；
22．如图，在▱中，，连接并延长交的延长线于点．若，求的度数．
23．【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，
因为，所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效地将和中的“”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化．
根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题：
(1)对偶式与之间的关系是____________；
A．互为相反数 B．绝对值相等 C．互为倒数
(2)已知，，求；
(3)解方程：．
［提示：令，］．
(4)求的值．
24．八年级数学小组以“直角三角形的折叠”为主题，开展数学探究活动．
如图①，已知，在中，，，，点D是边上一动点，于点
(1)【操作判断】如图②，将沿直线折叠，点C恰好与点A重合，则与的数量关系是______；
(2)【问题解决】在（1）的条件下，求的长；
(3)【问题探究】将沿直线折叠，点C落在边上的点F处，连接，当是等边三角形时，直接写出的面积．
25．如图，在中，，，，．过点D作，垂足为E，动点P从点D出发沿方向以的速度向点A运动，动点Q同时从点B出发，以的速度沿射线运动，当点P到达点A时，点Q也随之停止运动，设点P，Q运动的时间为．
(1)当时，求t的值；
(2)连接，设四边形的面积为，求S与t之间的函数关系式；
(3)当点P关于直线的对称点恰好在直线上时，请直接写出t的值．
参考答案
1．【答案】C
【分析】直接利用二次根式和分式有意义的条件分析得出答案
【详解】式子成立的条件是：x-3＞0，
解得：x＞3．
故选C．
2．【答案】B
【分析】根据：“被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因数或因式的二次根式是最简二次根式”，进行判断即可．
【详解】解：A、不是二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
故选B．
3．【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理判定A正确，利用三角形内角和定理判定B和C正确、D错误．
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故选D．
4．【答案】B
【分析】利用绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数，分别化简各式，进而合并求出即可．
【详解】+++…+
=+2-+…+
=+
=
故选B．
5．【答案】A
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出a的值，进而求出b的值，代入即可得出答案，
【详解】∵，
∴a−1=0，则b=4，
解得：a=1(舍去)或a=−1，
∴a+b=3.
故选A.
6．【答案】B
【分析】根据二次根式的运算法则运算即可.
【详解】解：，，，则A、C、D均错误；
2，则B正确，
故选B.
7．【答案】C
【详解】在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE=∠AEB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE，BC=BE+EC，
如图，

①当BE=3，EC=4时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（3+3+4）=20．
②当BE=4，EC=3时，
平行四边形ABCD的周长为：2（AB+AD）=2（4+4+3）=22．
故选C．
8．【答案】A
【分析】根据正方形①的面积，得到，再根据勾股定理，分别求出，，即可求解．
【详解】解：如图标记各点，
正方形①的面积为16，
，
、是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
即正方形③的边长是2，
故选A

9．【答案】A
【分析】准确理解并运用各个判定条件来判断四边形是否为平行四边形．对每个说法逐一根据平行四边形的判定定理进行分析判断，确定哪些说法能判定四边形是平行四边形．
【详解】一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，比如等腰梯形，它满足一组对边平行，另一组对边相等，但不是平行四边形，所以①错误，不符合题意；
根据平行四边形的定义，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以②正确，符合题意；
对角线相等的四边形不一定是平行四边形，例如等腰梯形的对角线都相等，但等腰梯形不是平行四边形 ，所以③错误，不符合题意；
已知一组对角相等，一组对边平行，可通过平行线的性质和等角的补角相等推出另一组对角也相等，根据 “两组对角分别相等的四边形是平行四边形”，可知这个四边形是平行四边形，所以④正确，符合题意；
综上，能判定一个四边形是平行四边形的是②④，
故选A．
10．【答案】D
【分析】先根据平行四边形的中心对称性质可知，，再根据勾股定理求出的长即可得出结果．
【详解】解：过点作于点，

由平行四边形的中心对称性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
故选D．
11．【答案】D
【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x，
则和，，
在中，，
当时，，
解得：，
当时，，
解得：，
故选D．
12．【答案】C
【分析】取的中点M，连接、、，作于N，先求出的最大值为最小值为，再求出的最大值与最小值的差为即可．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，作于N，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，
根据题意，得的最大值为的长，最小值为的长，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
故选C．
13．【答案】4或/或4
【分析】先分类讨论，①当5cm长的边为直角边时，②当5cm长的边为斜边时，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】①当5cm长的边为直角边时，
第三边长为cm，
②当5cm长的边为斜边时，
第三边长为cm
14．【答案】/
【分析】根据新定义列出算式计算即可．
【详解】解：由题意，得：
15．【答案】
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．
【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，为直角边，为斜边，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
16．【答案】/
【分析】根据矩形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是长方形，，，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数为
17．【答案】100
【分析】先证明FG是△BDE的中位线，FH是△BCE的中位线，推出∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°，再由三角形外角的性质得到∠EFH+∠A+∠ABE=180°，再根据∠GFH=∠EFG+∠EFH进行求解即可．
【详解】解：∵F、G、H分别是BE，DE，BC的中点，
∴FG是△BDE的中位线，FH是△BCE的中位线，
∴，
∴∠EFG=∠ABE，∠EFH+∠BEC=180°，
∵∠BEC=∠A+∠ABE，
∴∠EFH+∠A+∠ABE=180°，
∵∠GFH=∠EFG+∠EFH，
∴∠GFH=∠ABE+180°-∠A-∠ABE=100°
18．【答案】
【详解】在图（1）中，、、分别是的边、、的中点，
∴，
，
∴四边形是平行四边形，共有3个．
在图（2）中，分别是的边的中点，
同理可证：四边形、、、、、是平行四边形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个
19．【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先根据完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，即可作答．
（2）先利用二次根式的性质化简，再进行乘法，最后运算加减，即可作答．
（3）先利用二次根式的性质化简，运算加减，得，然后代入数值化简，即可作答．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
（3）解：依题意，，，
则把，分别代入，
得．
20．【答案】“海天”号沿西北方向航行
【分析】根据路程=速度时间分别求得，的长，再进一步根据勾股定理的逆定理可以证明是直角三角形，从而进行分析求解．
【详解】解：根据题意，
，，，
因为，
即，所以，
由“远航”号沿东北方向航行可知，，
因此，即“海天”号沿西北方向航行，
答：“海天”号沿西北方向航行．
21．【答案】(1)
(2)画图见解析（答案不唯一）
【分析】（）利用勾股定理计算即可；
（）取格点，由勾股定理可得，，，故即为所求
【详解】（1）解：由勾股定理得，，
故答案为：；
（2）解：如图所求，即为所求．
22．【答案】
【分析】利用平行四边形的性质得出，，证出，由即可证出，证出，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】(1)C
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）计算对偶式，可得两数互为倒数；
（2）根据已知分别化简x，y，然后求和即可；
（3）令，则两边同乘以，得，求出t，根据，，解得，即可求出x值，检验即可；
（4）将每个加数分母有理化，再相加即可．
【详解】（1）解：∵，
∴对偶式与之间的关系是互为倒数；
故选C；
（2）解：由题意得
，
；
∴
（3）解：令，则两边同乘以，
得，
解得，
∵，
，
∴①+②，得
，
两边同时平方得，
解得，
经检验，是原方程的解．
（4）解：
24．【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由折叠的性质可得；
（2）由勾股定理可求BD的长；
（3）由直角三角形的性质可求，可得，由三角形的面积公式可求解．
【详解】（1）解：∵将沿直线折叠，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵，，
，
；
（3）解：如图，
是等边三角形，
，，
，
，
，
的面积
25．【答案】(1)
(2)
(3)2或6
【分析】（1）根据平行四边形的性质和判定可知：，列方程可解答；
（2）根据梯形面积公式可解答；
（3）分两种情况讨论，由轴对称的性质和等边三角形的性质可求解．
【详解】（1）解：四边形是平行四边形，
，
当时，四边形是平行四边形，
，
，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：四边形是平行四边形，
，
，
，
如图2，当点的对称点在线段上时，
，
，
是等边三角形，
，
，
；
如图3，当点的对称点在线段的延长线上时，
，
，
点的对称点在线段的延长线上，
，
，
，
，
，
，
，
综上，的值是2或6．