山东省德州市德城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份山东省德州市德城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，文件包含山东省德州市德城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、山东省德州市德城区2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。

1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的识别，掌握最简二次根式的概念是关键．被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
2. 下列各平面直角坐标系中的图象，不能表示y是x的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了函数的定义．熟练掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量是解题的关键．
根据函数的定义对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A、B、D中对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，能表示y是x的函数，故A、B、D不符合要求；
C中对于的一个取值，有多个值与之对应，不能表示y是x的函数，故C符合要求；
故选：C．
3. 如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（ ）
A. B. C. 12D. 24
【答案】A
【解析】
【详解】解：如图，设对角线相交于点O，
∵AC=8，DB=6，
∴AO=AC=×8=4，BO=BD=×6=3，
由勾股定理得AB===5，
∵DH⊥AB，
∴S菱形ABCD=AB•DH=AC•BD，
即5DH=×8×6，
解得DH=．
故选A．
【点睛】本题考查菱形的性质．
4. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点所表示的数为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是先应用勾股定理求的长．首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点表示，可得点表示的数．
【详解】解：，
则，
点表示，
点表示，
故选：．
5. 如图1，中，，为锐角．要在对角线上找点，，使四边形为平行四边形，现有图2中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案（ ）
A. 甲、乙、丙都是B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是D. 只有乙、丙才是
【答案】A
【解析】
【分析】甲方案：利用对角线互相平分得证；
乙方案：由，可得,即可得，
再利用对角线互相平分得证；
丙方案:方法同乙方案．
【详解】连接交于点
甲方案：四边形是平行四边形


四边形为平行四边形．
乙方案：
四边形是平行四边形
，，

又

(AAS)


四边形为平行四边形．
丙方案:
四边形是平行四边形
，，，
又分别平分
， 即
（ASA）


四边形为平行四边形．
所以甲、乙、丙三种方案都可以．
故选A．
【点睛】本题考查了平行四边的性质与判定，三角形全等的性质和判定，角平分线的概念等知识，能正确的利用全等三角的证明得到线段相等，结合平行四边形的判定是解题关键．
6. 2、6、m是某三角形三边的长，则等于（ ）．
A. B. C. 12D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系和算术平方根的性质以及去绝对值化简即可求解．
【详解】解:，
∵2、6、m是某三角形三边的长，
∴4＜m＜8，
∴原式=m－4＋m－8=2m－12．
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角形的三边关系和算术平方根的性质以及去绝对值，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟记相关性质是解题关键．
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，点在第一象限，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，证明，得到，，计算的长即可．
【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，

∴，
∴
∵四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴点，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，坐标与图形，熟练掌握正方形的性质，准确理解线段与坐标的关系是解题的关键．
8. 如图，中，E，F分别是，的中点，点D在上，延长交于N，，，，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线的性质得到，然后根据直角三角形的性质得到，进而根据求解即可．
【详解】解： E，F分别是，中点，，
，
，，
，
，
故选：C．
9. 如图，在正方形中，，点E，F分别为，边上的动点，连接，交于点G，连接，点M，N分别为，的中点，连接．若，则的最小值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正方形的性质易证，则有，取的中点，连接、、，根据三角不等关系可得，进而根据三角形中位线即可进行求解．
【详解】解：四边形是正方形，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
取的中点，连接、、，

，，
，
当点在线段上时，取得最小值，
最小值为，
点M，N分别为，的中点，
，
的最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握正方形的性质、勾股定理、全等三角形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键．
10. 如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），若则的周长是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，先将绕点A顺时针旋转得，再根据条件证得与，得出的周长为，进而求解．
【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得，
则，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
的周长为：
，
，
的周长为．
故选：D．
11. 如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，OE⊥BD交BC于点E，CD＝1，则CE的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明四边形ABCD是矩形，在RT△BOE中，易知BE＝2EO，只要证明EO＝EC即可．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵△ABO是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB，
∴AO＝OC＝BO＝OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形．
∴OB＝OC，∠ABC＝90°，
∵△ABO是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝∠OCB＝30°，∠BOC＝120°，
∵BO⊥OE，
∴∠BOE＝90°，∠EOC＝30°，
∴∠EOC＝∠ECO，
∴EO＝EC，
∴BE＝2EO＝2CE，
∵CD＝1，
∴BC＝CD＝，
∴EC＝BC＝，
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定、等边三角形的性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是直角三角形30度角的性质的应用，属于中考常考题型．
12. 如图，四边形是矩形纸片，．对折矩形纸片，使与重合，折痕为；展平后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q；再次展平，连接，，延长交于点G．有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤点P为线段上一动点，点H是的中点，则的最小值是．其中正确结论有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
【答案】B
【解析】
【分析】①连接，首先根据垂直平分，可得；然后根据折叠的性质，可得，据此判断出为等边三角形，即可得出的度数；
②根据题意得到，利用直角三角形性质得到，利用勾股定理算出，即可判断；
③根据折叠的性质，得到，即可证明；
④根据，，推出，即可得到是等边三角形；
⑤连接，点是的中点， 点H是的中点，由折叠的性质可知，点与点关于对称，，即点与点重合时，的值最小， 即，据此求出的最小值即可．
【详解】解：连接，
对折矩形纸片，使与重合，折痕为，．
垂直平分，即点是的中点，
，
过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，
，，，，
，
为等边三角形，
，
即结论①正确；
，，
，
，
，
解得，
即结论②不正确；
由折叠的性质可知，，
；
即结论③正确；
，，
，
，
为等边三角形，
即结论④正确；
连接，
点是的中点， 点H是的中点，
过点B折叠矩形纸片，使点A落在上的点N，折痕与相交于点Q，
即与关于对称，点与点关于对称，
，
点与点重合时，的值最小， 即，
，
，
的最小值是．
即结论⑤正确；
综上所述，正确的结论有个，
故选：B．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识点，运用了数形结合方法的思想，掌握折叠的性质、勾股定理的应用是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13. 若函数是关于的正比例函数，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可．
【详解】解：∵函数是关于x的正比例函数，
∴，，
∴，
故答案为：1．
14. 把图1中边长为10的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，且此菱形的一条对角线长为16，将这四个直角三角形拼成如图2所示的正方形，则图2中的阴影的面积为______．

【答案】4
【解析】
【分析】先利用勾股定理求得此菱形的另一条对角线的长，再求得菱形的面积，进而可得阴影的面积是边长为10的正方形的面积减去菱形的面积．
【详解】解：如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，AC=16，AD=10，
∴OA=OC=8，OB=OD，AC⊥BD，
OB=OD=，
∴BD=2OD=12，
∴菱形的面积=×12×16=96，
图2正方形的面积=，
∴阴影的面积=-96=4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了图形的剪拼、菱形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
15. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点B落在边上的处，点A对应点为，且，则的长是________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据翻折变换的性质得到=BN，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【详解】由题意得，=BN，CN=9-BN，
在 中，由勾股定理得，2 = +CN2，
∵，四边形是边长为9，
∴，
∴ = 32 +（9-）2，
解得，=5，
即BN=5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，找出翻折变换中对应相等的线段和角是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的准确运用．
16. 如图，，M、N分别是、的中点，，，则线段长为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线以及等腰三角形三线合一的应用，在直角三角形中有斜边中点的条件作斜边中线是常见的辅助线．连接、．根据，结合 M是的中点，得出，又因为N是的中点，根据等腰三角形三线合一得到，最后勾股定理计算即可．
【详解】解：连接、．

∵，M是的中点，
∴，，
，
∴，又N是的中点，，
∴，
，
，
故答案为：．
17. 如图1，点P从的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度随时间变化的关系图象，其中Q为曲线部分的最低点，则的周长是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质，勾股定理，结合图形和图象得到线段长度，利用数形结合思想是解决本题的关键．根据图象可知点P在上运动时，不断增大，从C向A运动时，先变小后变大，得到，当时，y的值最小，即中，边上的高为4（此时），根据勾股定理求出这时，再由三线合一得到，从而求出周长．
【详解】解：由图知，，，
当在上运动时，最短为，即时，，
这时，且，
，
的周长是，
故答案为：．
18. 如图，图1中是第七届国际数学教育大会（ICME－7）会徽图案、它是由一串有公共顶点O的直角三角形（如图2）演化而成的．如果图2中的，若代表的面积，代表的面积，以此类推，代表的面则的值为________．
【答案】7
【解析】
【分析】根据勾股定理求得，进而求得，再求得，即可求解．
【详解】解：，
，
……
，
，
……
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
三、应用题
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先算乘方，化简绝对值和二次根式，零指数幂，再算加减法；
（2）利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并计算．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
.
【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握相应的运算法则．
20. 已知：如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB．
（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等（SAS），这一判定定理容易证明△AFD≌△CEB．
（2）由△AFD≌△CEB，容易证明AD=BC且AD//BC，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【详解】证明：（1）∵DF∥BE，
∴∠DFE=∠BEF．
又∵AF=CE，DF=BE，
∴△AFD≌△CEB（SAS）．
（2）由（1）知△AFD≌△CEB，
∴∠DAC=∠BCA，AD=BC，
∴AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．
21. 一梯子长2.5m，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端离墙0.7m．
（1）这架梯子的顶端离地面有多高？
（2）设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了，请问这时使用是否安全．
【答案】（1）这架梯子的顶端离地面2.4m；
（2）此时使用不安全
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）由勾股定理求出，利用公式求出a进行判断即可．
【小问1详解】
解：由题意可知
在中，，，，
∴由勾股定理可得，，
即，
∴，即这架梯子的顶端离地面2.4m；
【小问2详解】
解：如图所示，，则中，，，
∴由勾股定理可得，，
∴可得，
∴此时使用不安全．
．
【点睛】此题考查了勾股定理的实际应用，正确掌握勾股定理的计算公式及正确理解题意是解题的关键．
22. 如图，菱形的对角线、相交于点，，，与交于点．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）矩形，理由见解析
（2）96
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质可证明，然后再证明四边形为平行四边形，从而可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，再利用三角形的面积公式解答即可．
【小问1详解】
解：四边形是矩形．
证明：，
四边形是平行四边形．
又菱形对角线交于点
，即．
四边形是矩形．
【小问2详解】
菱形，
，
，
，
，
的面积，
菱形的面积的面积．
【点睛】本题主要考查的是菱形的性质判定、矩形的性质和判定，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键
23. 如图，已知四边形和四边形为正方形，点E在线段上，点A，D，G在同一直线上，且，，，连接，，，并延长交于点H．
（1）求证：．
（2）求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，
（1）先证明，得，进而推出；
（2）先利用勾股定理得到，再根据 ，即可解决问题；
【小问1详解】
证明：∵四边形和四边形为正方形，
∴，
在和中，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴
在中标，，，
，
由（1）知，，
，
即，
解得．
24. 阅读短文，解决问题
定义：三角形的一个角与菱形的一个角重合，且菱形的这个角的对角顶点在三角形的这个角的对边上，则称这个菱形为该三角形的“亲密菱形”．例如：如图1，四边形AEFD为菱形，∠BAC与∠DAE重合，点F在BC上，则称菱形AEFD为△ABC的“亲密菱形”．
如图2，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AF平分∠BAC，交BC于点F，过点F作FD∥AC，EF∥AB．
（1）求证：四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）若AC＝12，FC＝2，求四边形AEFD的周长；
（3）如图3，M、N分别是DF、AC的中点，连接MN．若MN＝3，求AD2＋CF2的值．
【答案】（1）见解析 （2）20
（3）36
【解析】
【分析】（1）由，，得四边形AEFD是平行四边形，根据AF平分∠BAC，可得∠AFE=∠EAF，AE=EF，即可证明四边形AEFD是菱形，而菱形AEFD的∠DAE与△ABC的∠BAC重合，F在BC上，故四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
（2）设AE=EF=DF=AD=x，由∠B=90°，，得∠EFC=90°，即EF2+CF2=CE2，列方程，解得x=5，即可求出四边形AEFD的周长为20；
（3）过F作FG∥MN交AC于G，由四边形MNGF是平行四边形，得FG=MN=3，MF=NG，根据M、N分别是DF、AC的中点，可得G为CE中点，即可得CE=2FG=6，从而得EF2+CF2=36，AD2+CF2=36．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴∠DAF＝∠AFE，
∵AF平分∠BAC，
∴∠DAF＝∠EAF，
∴∠AFE＝∠EAF，
∴AE＝EF，
∴四边形AEFD菱形，
而菱形AEFD的∠DAE与△ABC的∠BAC重合，F在BC上，
∴四边形AEFD为△ABC的“亲密菱形”；
【小问2详解】
解：由（1）知四边形AEFD是菱形，设AE＝EF＝DF＝AD＝x，
∵AC＝12，
∴CE＝12－x，
∵∠B＝90°，，
∴∠EFC＝90°，
∴EF2＋CF2＝CE2，
∴x2＋（2）2＝（12－x）2，
解得x＝5，
∴四边形AEFD的周长为5×4＝20；
【小问3详解】
解：过F作交AC于G，如图：
∵，，
∴四边形MNGF是平行四边形，
∴FG＝MN＝3，MF＝NG，
∵M、N分别是DF、AC的中点，
∴CNAC，MFDF，
∴NGDF，
∴CG＝CN－NGACDF（AC－DF）（AC－AE）CE，
∴G为CE中点，
∵∠EFC＝90°，
∴CE＝2FG＝6，EF2＋CF2＝CE2，
∴EF2＋CF2＝36，
∴AD2＋CF2＝36．
【点睛】本题利用新定义考查直角三角形性质及菱形的性质与判定，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，熟练应用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．
25. 已知，在中，中，，点D为直线上一动点（点D不与点B，C重合）．以为边作正方形，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时．求证：；
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出，，三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A，F分别在直线的两侧，其他条件不变；
①请写出，，三三条线段之间的关系，并说明理由；
②若正方形的边长为2，对角线，相交于点O，连接．求出的长度．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
（3）①；理由见解析②
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）三角形等腰直角三角形，利用即可证明，从而证得，据此即可证得．
（2）同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到．
（3）①同（1）相同，利用即可证得，从而证得，即可得到．②证明，是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得的长，则即可求得．
【小问1详解】
证明：，，
，


四边形是正方形
，
，，

，
，
，
，
【小问2详解】

理由：，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
和中，
，
，
，
；
【小问3详解】
①
，，
，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
②由(1)可知


，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
又 为的中线，
．