2025-2026学年山东省聊城市高唐县八年级（下）期中数学试卷-（含答案+解析）

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1.下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 3a2B. 13C. 8D. 6
2.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形AEFD是矩形的是( )
A. EF=AD
B. ∠AEB=∠DFC
C. BE=CF
D. ∠DAE=∠AEF
3.下列计算中，正确的是( )
A. 3+ 2= 5B. 2× 3= 6C. 14÷2= 7D. 2 2− 2=2
4. 下列命题中，是假命题的是( )
A. 四个角都相等的四边形是矩形
B. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴
C. 对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
5.若代数式1 x+2有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x≥−2B. x>−2C. x≤−2D. x−2，
故选：B.
根据二次根式和分式有意义的条件可得x+2>0，再解即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
6.【答案】C
【解析】解：在▱ABCD中，
∴∠AEB=∠EBC=40∘.
∵BE平分∠ABC交AD于点E，
∴∠ABC=2∠ABE=80∘.
由题意可得：∠ABC=∠D=80∘.
故选：C.
主要运用了平行四边形的两个性质：①边：平行四边形的对边平行．②角：平行四边形的对角相等．由平行四边形的性质得∠ABC=∠D，AD//BC，则∠AEB=∠EBC=40∘，再由角平分线定义得∠ABC=2∠ABE=80∘，即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
7.【答案】B
【解析】解：由函数图象可得：y随x的增大而减小，
故选：B.
根据函数图象可以得到y随x的增大而减小．
本题考查函数的图象，函数增减性的判断，明确题意，利用数形结合的思想解答是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵∠ACB=90∘，点D是斜边AB的中点，
∴CD=AD=BD=12AB=2 5，
∵DE⊥AC，
∴AE=CE=12AC，即点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×2=4，
在Rt△ABC中，AC= AB2−BC2= (4 5)2−42=8，
∴CE=12AC=4，
在Rt△BCE中，BE= BC2+CE2= 42+42=4 2，
则BE的值是4 2，
故选：A.
根据直角三角形斜边中线的性质及中位线定理，求出BC和AC的长，进而得到CE的长，最后在Rt△BCE中利用勾股定理求解即可
本题考查了直角三角形斜边上的中线，关键是直角三角形性质的熟练掌握．
9.【答案】B
【解析】解：如图，连接OA，OF，
∵OF是⊙O的半径，点A在⊙O上，
∴OA=OF，
∵四边形ABCD，EFGC是正方形，
∴∠ABC=∠DCB=∠FEC=90∘，BC=CD=AB=3，CE=EF=2(正方形的性质)，
设OC=x，则BO=BC−OC=3−x，OE=OC+CE=x+2，
在Rt△ABO和Rt△EFO中根据勾股定理得，AB2+BO2=OA2，OE2+EF2=OF2，
∴32+(3−x)2=OA2，(x+2)2+22=OF2，
∵OA=OF，
∴32+(3−x)2=(x+2)2+22，
整理得，10x=10，
解得x=1，即OC=1，
在Rt△DOC中，OD= OC2+CD2= 12+32= 10，
则OD的长是 10，
故选：B.
连接OA，OF，易知OA=OF，设OC=x，则BO=3−x，OE=x+2，在Rt△ABO和Rt△EFO中，由勾股定理分别表示出OA2，OF2，结合OA=OF列方程可求得OC的长，在Rt△DOC中，再次运用勾股定理可得OD的长．
本题考查了垂径定理，勾股定理，正方形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∠A=60∘，AB=AD，
∴△ABD为等边三角形，
设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为6 3，
∴△ABD的面积= 34a2=6 3
解得：a=2 6(负值已舍)，
故选：B.
根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为6 3解答即可．
本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，得出正确信息是解此题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：函数y=3x−2，当x=1时，
函数值y=3×1−2=1，
故答案为：1.
把x=1代入y=3x−2即可得到答案．
此题考查了函数值，熟练正确进行计算是解题的关键．
12.【答案】 2+1
【解析】解：( 2+1)2024⋅( 2−1)2023
=( 2+1)⋅( 2+1)2023⋅( 2−1)2023
=( 2+1)⋅[( 2+1)( 2−1)]2023
=( 2+1)⋅(2−1)2023
=( 2+1)⋅12023
= 2+1，
故答案为： 2+1.
先把原式变形为( 2+1)⋅( 2+1)2023⋅( 2−1)2023，进一步变形得到( 2+1)⋅[( 2+1)( 2−1)]2023，再根据二次根式的混合计算法则求解即可．
本题主要考查了二次根式的混合计算，熟练掌握积的乘方的逆运算，同底数幂乘法的逆运算是关键．
13.【答案】96
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=10，AC=2AO，BD=2BO，AC⊥BD，
∵AO：BO=4：3，
∴设AO=4a，则BO=3a，
在Rt△AOB中，AB= AO2+BO2= (4a)2+(3a)2=5a，
∴5a=10，
∴a=2，
∴AO=8，BO=6，
∴AC=2AO=16，BD=2BO=12，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×16×12=96，
故答案为：96.
利用菱形的性质可得AB=BC=CD=AD=10，AC=2AO，BD=2BO，AC⊥BD，然后根据已知可设AO=4a，则BO=3a，从而在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AO，BO的长，然后求出AC，BD的长，最后进行计算即可解答．
本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD为矩形，AB=4，BC=8，
∴AB=CD=4，∠D=90∘，AD//BC，
由折叠可知，DE=BE，CD=BG=4，CF=GF，∠DEF=∠BEF，∠D=∠G=90∘，
∵AD//BC，
∴∠DEF=∠BFE，
∴∠BFE=∠BEF，
∴BE=BF=DE，
设CF=GF=x，则BF=8−x，
在Rt△BFG中，GF2+BG2=BF2，
∴x2+42=(8−x)2，
解得：x=3，
∴DE=BF=8−x=5.
故答案为：5.
连接BE，由折叠可知，DE=BE，CD=BG=4，CF=GF，∠DEF=∠BEF，∠D=∠G=90∘，由AD//BC可得∠DEF=∠BFE，进而得到∠BFE=∠BEF，则BE=BF=DE，设CF=GF=x，则BF=8−x，在Rt△BFG中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
本题主要考查矩形与折叠、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，掌握以上性质是解题的关键．
15.【答案】3
【解析】解：连接PC，
∵BD是正方形的对角线，则∠PDF=45∘，
而PF⊥CD，则△PDF为等腰直角三角形，
∴PD= PF2+DF2= 2PF，
∵PE⊥BC，
∴∠PEC=∠PFC=90∘，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90∘，
∴四边形PECF是矩形，
∴CE=PF，
∴PD= 2EC；故①错误；
∵四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长=2CE+2PE=2CE+2BE=2BC=8；故②正确；
延长AP交EF于H，延长FP交AB于G，
在正方形ABCD中，
∴CD//AB，
又∵PF⊥CD
∴∠AGP=90∘；
由②知四边形PECF是矩形，
∴∠EPF=90∘，
∴∠AGP=∠EPF；
由①知PF=DF，
又∵AG=DF，
∴AG=PF，
∴四边形BGPE是正方形，
∴PG=PE，
∴△AGP≌△FPE(SAS)，
∴AP=EF，∠BAP=∠PFE，故④正确；
又∵∠BAP与∠APG互余，∠APG=∠FPH，
∴∠FPH与∠PFE互余，
∴∠PHF=90∘，即AP⊥EF，故③正确；
由EF=PC=AP，
∴当AP最小时，EF最小，
则当AP⊥BD时，即AP=12BD=2 2时，EF的最小值等于2 2；故⑤错误；
故答案为：3.
①证明△PDF是等腰直角三角形，则PD= 2PF= 2CE，即可判断；②根据①可知四边形PECF为矩形，则四边形PECF的周长=2BC=8，即可判断；③延长FP交AB于G，延长AP交EF于H.先证明△AGP≌△FPE，得∠GAP=∠PFE，由∠PFH与∠HPF互余，可得AP⊥EF，AP=EF；⑤当AP⊥BD时，即AP=12BD=2 2时，EF的最小值等于2 2，即可判断．
本题考查垂线段最短，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
16.【答案】1 2 6−4
【解析】解：(1)原式= 12÷3+ 2×8− 25
=2+4−5
=1；
(2)原式=( 5)2−22−[( 3)2−2× 3× 2+( 2)2]
=5−4−(5−2 6)
=1−5+2 6
=2 6−4.
(1)利用二次根式乘除法则计算各部分后，再进行加减运算即可；
(2)利用平方差公式和完全平方公式展开原式后，合并化简即可得到结果．
本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AB//CD，
∴∠ADC=180∘−∠BAD=180∘−80∘=100∘，
在菱形ABCD中，∠BAF=∠DAF=12∠BAD=12×80∘=40∘，
∵EF垂直平分AB，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=40∘，
在△ABF和△ADF中，AB=AD∠BAF=∠DAFAF=AF，
∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF=40∘，
∴∠CDF=∠ADC−∠ADF，
=100∘−40∘，
=60∘.
【解析】根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对边平行可得AB//CD，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAF=∠DAF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角可得∠BAF=∠ABF，再利用“边角边”证明△ABF和△ADF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADF=∠ABF，然后根据∠CDF=∠ADC−∠ADF代入数据计算即可得解．
本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质，熟记各性质并确定出全等三角形是解题的关键．
18.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，
∵DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90∘，
∴四边形BFDE是矩形；
(2)解：∵四边形BFDE是矩形，
∴∠BFD=90∘，
∴∠BFC=90∘，
在Rt△BCF中，CF=6，BF=8，
∴BC= CF2+BF2= 62+82=10，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF=∠BAF，
∵AB//DC，
∴∠DFA=∠BAF，
∴∠DAF=∠DFA，
∴AD=DF，
∵AD=BC，
∴DF=BC，
∴DF=10.
【解析】(1)先求出四边形BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；
(2)根据勾股定理求出BC长，求出AD=DF，即可得出答案．
本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
由翻折知，∠DAF=∠HAF=12∠DAC，∠BCE=∠MCE=12∠BCA，
∴∠HAF=∠MCE，
∴AF//CE；
(2)30，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=90∘，AB//CD，
由(1)得：AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC=30∘，
∴∠DAC=60∘.
∴∠ACD=30∘，
由折叠的性质得∠DAF=∠HAF=30∘，
∴∠HAF=∠ACD，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30.
【解析】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD//BC，
∴∠DAC=∠BCA，
由翻折知，∠DAF=∠HAF=12∠DAC，∠BCE=∠MCE=12∠BCA，
∴∠HAF=∠MCE，
∴AF//CE；
(2)解：当∠BAC=30∘时四边形AECF为菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BAD=90∘，AB//CD，
由(1)得：AF//CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠BAC=30∘，
∴∠DAC=60∘.
∴∠ACD=30∘，
由折叠的性质得∠DAF=∠HAF=30∘，
∴∠HAF=∠ACD，
∴AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
故答案为：30.
(1)证出∠HAF=∠MCE，即可得出AF//CE；
(2)证出四边形AECF是平行四边形，再证出AF=CF，即可得出四边形AECF是菱形．
本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
20.【答案】 6− 5 2021
【解析】解：(1)1 6+ 5= 6− 5( 6+ 5)( 6− 5)= 6− 5( 6)2−( 5)2= 6− 5；
(2)1 n+1+ n= n+1− n( n+1+ n)( n+1− n)= n+1− n( n+1)2−( n)2= n+1− nn+1−n= n+1− n，
∴原式=( 2−1+ 3− 2+⋯+ 2021− 2020+ 2022− 2021)⋅( 2022+1)
=( 2022−1)( 2022+1)
=2022−1
=2021.
(1)仿照题意求解即可；
(2)先仿照题意证明1 n+1+ n= n+1− n，进而将原式转变为( 2−1+ 3− 2+⋯+ 2021− 2020+ 2022− 2021)⋅( 2022+1)，据此求解即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，分母有理化，数字的变化类，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
21.【答案】∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵AF//BC，
∴∠DAF=∠DCE，∠DFA=∠DEC，
在△ADF和△CDE中，
∠DAF=∠DCE∠DFA=∠DECAD=CD，
∴△ADF≌△CDE(AAS)，
∴AF=CE，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形.CE=52
【解析】(1)证明：∵D为AC的中点，
∴AD=CD，
∵AF//BC，
∴∠DAF=∠DCE，∠DFA=∠DEC，
在△ADF和△CDE中，
∠DAF=∠DCE∠DFA=∠DECAD=CD，
∴△ADF≌△CDE(AAS)，
∴AF=CE，
又∵AF//CE，
∴四边形AECF为平行四边形；
(2)解：∵∠ABC=90∘，AC=2 5,AB=2，
∴BC= AC2−AB2=4，
∵四边形AECF为平行四边形，EF⊥AC，
∴平行四边形AECF为菱形，
∴AE=CE，
设AE=CE=x(x>0)，则BE=BC−CE=4−x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即22+(4−x)2=x2，
解得x=52，
∴CE=52.
(1)先证出△ADF≌△CDE，根据全等三角形的性质可得AF=CE，再根据平行四边形的判定即可得证；
(2)先利用勾股定理可得BC=4，再证出平行四边形AECF为菱形，根据菱形的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理求解即可得．
本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题关键．
22.【答案】−x 4 −2x+4 当a>0，函数y=a|x−b|+c有最低点(b,c)
【解析】解：(1)y=|x|.当x0，函数y=a|x−b|+c有最低点(b,c)；
故答案为：当a>0，函数y=a|x−b|+c有最低点(b,c).
(1)根据绝对值的意义进行化简；
(2)①根据绝对值的意义进行化简；
②根据描点法作图；
(3)①根据绝对值的意义进行化简；
②根据描点法作图；
(4)根据图象解答．
本题考查了一次函数图象上点的特征，掌握绝对值的意义及数形结合思想是解题的关键．
23.【答案】(−4,6)；
证明见解析部分；
N1(4,0)，N2(−4,−2 13)，N3(−4,2 13)，N4(−4,133).
【解析】(1)解：由题意可得：x−4≥04−x≥0，
∴x=4，
∴y=6，
∴点A(−4,0)，点C(0,6)，
∴点B(−4,6)，
故答案为：(−4,6)；
(2)证明：∵D是AB中点，
∴AD=BD，
∵折叠，
∴AD=DE，∠ADO=∠ODE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠ADE=∠DBE+∠DEB，
∴∠ADO+∠ODE=∠DBE+∠DEB，
∴∠ADO=∠DBE，
∴OD//BQ，且AB//OC，
∴四边形QODB是平行四边形；
(3)解：∵A、C、N、M为顶点的四边形是菱形，
分别以A，C为圆心，AC长为半径画圆和AC的线段垂直平分线与y轴交点得出点M，如图所示：
∵OA=4，OC=6，
∴AC= 42+62=2 13，
∴AN2=AC=2 13，ON1=OA=4，AN4=133，
此时N1(4,0)，N2(−4,−2 13)，N3(−4,2 13)，N4(−4,133).
(1)由题意可求x=4，y=6，即可求点B坐标；
(2)由折叠性质可得AD=DE，∠ADO=∠ODE，由三角形外角性质可得∠ADO=∠DBE，可得OD//BQ，即可证四边形QODB是平行四边形；
(3)分别以A，C为圆心，AC长为半径画圆和AC的线段垂直平分线与y轴交点得出点M的可能性，进而得出点N的坐标．
本题是四边形的综合题，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆的有关知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．x
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
6
m
2
0
2
4
6
…