浙江省杭州市上城区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份浙江省杭州市上城区2023-2024学年七年级下学期期末考试数学试题（解析版），共24页。

1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，考试时间120分钟，满分120分；
2．答题前，请在答题卡的密封区内填写姓名和准考证号；
3．不能使用计算器；考试结束后，试题卷和答题卡一并上交；
4．所有答案都必须做在答题卡规定的位置上，注意试题序号和答题序号相对应．
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 要使分式有意义，x的取值范围应是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．据此列式求解即可．
解：∵分式有意义，
∴，
∴．
故选C．
2. 下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式是（）
A. 对钱塘江水质情况的调查B. 对全市中小学生暑期研学情况的调查
C. 对神舟十八号发射前零部件排查D. 对小麦种子饱满率的调查
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全面调查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．据此逐项判断即可．
解：A、对钱塘江水质情况的调查量太大，适宜采用抽样调查，不符合题意；
B、对全市中小学生暑期研学情况的调查，人太多，适宜采用抽样调查，不符合题意；
C、对神舟十八号发射前零部件排查，需要精确，适宜采用全面调查，符合题意；
D、对小麦种子饱满率的调查具有破坏性，适宜采用抽样调查，不符合题意，
故选：C．
3. 据统计，2023年，我国粮食总产量达到13908.2亿斤，连续9年稳定在1.3万亿斤以上．数据13908.2亿用科学记数法表示（）
A. 亿B. 亿
C. 亿D. 亿
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，熟知科学记数法的一般形式为，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
解：13908.2亿亿，
故选：B．
4. 如图，交于上一点，已知，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定与性质、对顶角相等，先根据平行线的判定和对顶角相等得到，进而利用平行线的性质求解．
解：如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，又，
∴，
故选：C
5. 下列计算中，正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，多项式除以单项式，以及完全平方公式，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．根据运算法则和完全平方公式逐项分析即可．
解：A．，故原计算不正确；
B．，故原计算不正确；
C．，正确；
D．，故原计算不正确；
故选C．
6. 某校为学生提供了篮球、编程、国潮手工、街舞四种课后服务项目，为了解学生最喜欢哪个项目，随机抽取了该校部分学生进行调查，绘制了如图的扇形统计图．其中国潮手工的扇形圆心角是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小，求出国潮手工所占百分比是解题关键．用乘国潮手工所占百分比可得答案
解：，
，
故选：D．
7. 下列因式分解正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．根据因式分解的方法逐项分析即可．
解：A．，故原分解不正确；
B．，正确；
C．不能分解，故原分解不正确；
D．，故原分解不正确；
故选B．
8. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图①、图②．图①中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x、y的系数与相应的常数项，把图①所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似的，若图②所示算筹图列出的方程组解得．则图②中的“？”所表示的算筹为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
根据题意列出方程组求解即可．
设“？”所表示的算筹为m
根据题意得，
解得
∴图②中的“？”所表示的算筹为．
故选：B．
9. 如图，E，F分别是正方形的边与上的点，以为边在正方形内部作面积为10的长方形，再分别以为边作正方形和正方形．若图中阴影部分的面积为61，则长方形的周长为（）
A. 9B. 16C. 18D. 81
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，先根据题意结合图形得到，，然后根据完全平方公式求得，进而可求解．
解：设，，
由题意得：长方形的面积为，图中阴影部分的面积为，
∵，
∴（负值已舍去），
∴长方形的周长为，
故选：C．
10. 如图，已知，交于点G，且，平分，点H是上的一个定点，点P是所在直线上的一个动点，则点P在运动过程中，与的关系不可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的概念，
根据题意分3种情况讨论，分别根据平行线的性质和判定，结合角平分线的概念求解即可．
∵
∴
∵平分，
∴
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴，
∴，故A不符合题意；
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴，故C不符合题意；D选项符合题意．
如图所示，过点P作
∴
∵
∴
∴
∴
∴，故B选项不符合题意；
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
．
故答案为：．
12. 某班体育委员统计了全班女生立定跳远的成绩，列出频数分布表如下：
已知跳远距离1.8米以上为优秀，则该班女生立定跳远成绩的优秀率为______________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求频数分布表，用表中优秀人数除以总人数求解即可．
解：由表中知，共有（人），其中跳远距离1.8米以上为优秀的有7人，则则该班女生立定跳远成绩的优秀率为，
故答案为：．
13. 将一张长方形纸条折叠成如图形状，若，则______________．
【答案】##70度
【解析】
【分析】此题考查了邻补角互补，折叠的性质和平行线的性质，首先求出，然后由折叠的性质和平行线的性质求解即可．
解：如图所示，
∵
∴
由折叠可得，
由平行可得，．
故答案为：．
14. 若，则______________，______________．
【答案】 ①2 ②.
【解析】
【分析】本题考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式法则是解题的关键．利用多项式乘以多项式法则展开，根据两多项式相等，则对应项系数相等，求出m、n值．
解：∵
，
∵
∴
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：2，．
15. 一段路程分为平路和上坡两段，平路和上坡的路程之比为，总路程为S，汽车在平路和上坡的速度分别为，总用时t可表示为，把这个公式变形为已知，求S，可得______________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等式的性质，把看作已知数，根据等式的性质变形求解即可．
解：
，
，
，
故答案为：．
16. 已知关于x，y的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是______________（请填序号）
①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；
②无论m取何值，恒成立；
③当方程组的解x，y都为自然数时，则m有唯一值为0；
④无论m取什么实数，的值始终为8．
【答案】①②④
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组、整式的混合运算，求得x、y与m的关系是解答的关键．
先解二元一次方程组，得到x、y与m的关系，根据相反数的性质得到m的方程，然后解方程即可求解①；将x、y代入等式的右边，化简即可判断②；根据自然数是非负整数可判断③；利用幂的乘方和同底数的乘法运算法则可判断④．
解：解方程组得，
①∵x，y的值互为相反数
∴，即，
解得，故①正确；
②
，故②正确；
③∵方程组的解都为自然数，
∴或，
当时，符合题意；
当时，符合题意，
故方程组的解x，y都为自然数时，m的值为0或1，故③错误；
④由得，
∴
，
∴无论m取什么实数，的值始终为8，故④正确，
综上，结论正确的是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂、整式的除法运算，正确求解是解答的关键．
（1）先进行零指数幂、负整数指数幂运算，再有理数的乘法和加减运算即可．
（2）利用整式的除法运算法则求解即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：
．
18. 共享单车是一种新型环保交通工具，为市民的出行带来了极大的方便．某市中学生对市民共享单车使用情况进行了调查，主要以下四种用途：A外出游玩，B锻炼身体，C换乘公交，D其他；并将这次调查情况整理、绘制成如下两幅统计图（部分信息未给出）
根据图中的信息，解答下列问题：
（1）这次活动中接受问卷调查的市民共有______________名；
（2）补全条形统计图；
（3）根据统计结果，若该市某区域有20000名市民选择共享单车，请估计其中“外出游玩”的人数．
【答案】（1）100（2）见解析
（3）1000名
【解析】
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，理解题意，能从统计图中找到有用信息是解答的关键．
（1）用“锻炼身体”的人数除以其所占的百分数即可求解；
（2）先分别求得A、C的人数，再补全条形统计图即可；
（3）用该区域总人数乘以样本中“外出游玩”的人数所占的比例求解即可．
【小问1】
解：这次活动中接受问卷调查的市民共有（名），
故答案为：100；
【小问2】
解：“换乘公交”的人数为（名），
“外出游玩”的人数为（名），
补全条形统计图如图：
【小问3】
解：（名），
答：估计其中“外出游玩”的人数为1000名．
19. 解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解二元一次方程组、解分式方程，熟练掌握相关方程的解法步骤是解答的关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可；
（2）先将分式方程化为整式方程，再解整式方程的解，最后检验即可求解．
【小问1】
解：方程组
由得，解得
将代入①，得，解得，
∴方程组的解为；
【小问2】
解：去分母，得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：当时，，
∴该分式方程的解为．
20. 已知代数式
（1）化简代数式；
（2）在，1和2中选择一个合适的数作为x代入代数式求值．
【答案】（1）
（2）当时，原式
【解析】
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序是解答的关键．
（1）先算分式的除法，再算加减化简原式即可；
（2）取使原分式有意义的数代入化简式子中求解即可．
【小问1】
解：
；
【小问2】
解：∵且且，
∴，，
∴，
∴原式．
21. 如图，已知在三角形中，点D，E分别在上，．连结，点F在上，．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）见解析（2）的度数为
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
（1）先利用平行线的性质可得，从而可得，然后根据内错角相等，两直线平行可得，即可解答；
（2）利用角平分线的定义可得，从而可得，然后根据已知和平角定义可得，从而可得，进而可得，最后根据平行线的性质可得，即可解答．
【小问1】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2】
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
22. 我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作，
（1）根据以上规定求出：______________；______________；
（2）小明发现也成立，并证明如下
设：
根据以上证明，请计算，______________]
（3）猜想，______________]，并说明理由．
【答案】（1）3，0（2）42
（3）2，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键．
（1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可；
（2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可；
（3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可．
【小问1】
解：∵，
∴；
∵，
∴，
故答案为：3，0；
【小问2】
解：设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：42．
【小问3】
解：猜想，理由：
设，，
∴，，，
∵，则，
∴，
故答案为：2．
23. 2024年4月，中国汽车流通协会联席分会4月1日至14日数据显示，新能源汽车零售渗透率达到了，首次超过传统燃油乘用车，油电市场已然格局逆转．某新能源汽车厂接到两项都为生产400辆新能源汽车的任务．
（1）在完成第一项任务时，若按原计划生产速度的2倍进行，结果提前2天完成任务，问完成第一项任务实际用了多少天？
（2）在完成第二项任务时，制造厂设计了甲、乙两种不同的生产方案（其中）
甲方案：设完成生产任务所需的时间为天，计划200辆按每天生产a辆完成，剩下的200辆按每天生产b辆完成，则______________天（用a，b的代数式表示）
乙方案：设完成生产任务所需的时间为天，其中一半时间每天生产a辆，另一半时间每天生产b辆．则______________天（用a，b的代数式表示）
（3）在（2）的条件下，请判断的大小，并说明理由．
【答案】（1）完成第一项任务实际用了2天
（2），
（3），理由见解析
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用、列代数式、分式的加减，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键．
（1）设完成第一项任务实际用了x天，根据题意列分式方程求解即可；
（2）根据工作时间=工作总量÷工作效率，结合给出的两种方案列代数式即可；
（3）两个代数式作差得，利用a、b取值判断出200a-b2aba+b>0，进而得到．
【小问1】
解：设完成第一项任务实际用了x天，则按原计划生产速度需天完成任务，
由题意，得，
解得，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
答：完成第一项任务实际用了2天；
【小问2】
解：根据题意，甲方案完成生产任务所需的时间（天），
乙方案中，由得，即乙方案完成生产任务所需的时间（天），
故答案为：，；
【小问3】
解：，理由为：
，
∵a、b都为正数，且，
∴，，，
∴200a-b2aba+b>0，
∴，则．
24. 综合与实践．
【答案】任务1：；任务2：；任务3：①；②25度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、三角形的内角和定理，理解题意，看懂角度前后的变化是解答的关键．
任务1：利用平行线的性质和三角形的内角和定理求解即可；
任务2：过F作，则，根据平行线性质得到，，进而可由推导出；
任务3：①根据平行线的性质得到，再根据三角形的内角和定理求解即可；
②求出工作档时的，进而作差即可得答案．
解：任务1：
∵，，
∴，
∵，，
∴；
任务2：由题意，，，
如图，过F作，则，
∴，，
∴，
∴；
任务3：①如图，，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②工作档时如图，已知，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过25度．
距离
频数
3
7
3
5
2
活动主题
设计一款日常的多功能椅子
素材1
座椅是我们日常生活中不可或缺的一部分，无论在办公室、家里还是车辆中，我们都需要座椅来提供舒适的工作和休息．
图1是某折叠式靠背椅的实物图，图2是椅子合拢状态的侧面示意图，其中椅面、靠背和椅腿在侧面示意中分别对应和，椅腿可绕连结点O转动，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆，靠背与椅腿的夹角在转动过程中形状保持不变．此时椅面和靠背平行．注：三角形内角和为．
素材2
图3是折叠椅打开状态的示意图，连杆与椅腿夹角变小，使与椅面贴合，此时椅面与地面平行．
素材3
座椅设计与人体工学原理密切相关，一把人体工学指标合理的座椅，可以起到减轻腿部肌肉的负担、降低能耗、使血液运行通畅、防止骨骼变形等作用．现代人体工学用椅靠背建议倾斜角度一般在，现对折叠椅进行重新设计，使之既能满足多种需要，又能基本满足人体工学对椅背的要求．
素材4
通过将靠背与椅腿的夹角从固定角变为可调节角，在原来的基础上增加2个卡档，在椅面下H点与E点之间设置成三个卡档，来调整靠背和椅面的角度，以满足不同的需要．图4是舒适档．椅面倾角为椅面与水平地面的夹角，逆时针为正倾角，顺时针为负倾角．靠背倾角β为靠背的延长线与椅面的延长线的夹角．
档位
参数
测量数据
图示
舒适档
靠背倾角
椅面倾角
工作档
靠背倾角
椅面倾角
问题解决
任务1
根据素材1，回答问题：当折叠椅在合拢状态时，测得，，延长，与地面的夹角为，求．
任务2
根据素材1、2，回答问题：当折叠椅打开状态时，延长交于点I，探究与的数量关系．
任务3
根据素材3、4，回答问题：
从舒适档调整为工作档时，椅腿与地面的夹角始终为，
①请用表示舒适档时靠背与椅腿的夹角______________，
②求从舒适档调整为工作档调整过程中，靠背需要转过多少度？