2024-2025学年浙江省温州市名校七年级下学期期中学能诊断卷数学试卷（解析版）

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一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出每小题中最符合题意的一个选项，不选、多选、错选均不得分）
1.沙燕风筝是北京传统风筝中最具代表性的，不仅性能良好，还有祈福的寓意．如图是一种北京沙燕风筝的示意图，在下面的四个图中，能由图1经过平移得到的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】D选项图形中，是由如图经过平移得到的图形，
故选：D．
2.下列运算正确的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】A、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：A．
3.红细胞的平均直径约是0.000008m，将数据0.000008用科学记数法表示为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】将数据0.000008用科学记数法表示为．
故选：B．
4.若，则的值为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】．
等式两边与的系数都分别相等，那么常数项也应相等，
所以．
故选：A．
5.化简的结果（ ）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
．
故选：C．
6.根据，能得到的是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】A．根据，不能得到，故该选项不符合题意；
B．∵，
∴，故该选项不符合题意；
C．根据，不能得到，故该选项不符合题意；
D．∵，
∴，故该选项符合题意；
故选：D．
7.若，，则的值是（ ）
A.4B.6
C.10D.16
【答案】A
【解析】∵，，
∴；
故选：A．
8.将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】∵长方形纸带的对边平行，
∴，
∵折叠，
∴；
故选：A．
9.若关于，的方程组的解是，则关于，的方程组的解是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】变形为
由题意得：，
解得：
故选：B.
10.如图，将两张长为a，宽为b的长方形纸片按图1，图2两种方式放置，图1和图2中两张长方形纸片重叠的部分分别记为①和②，正方形中未被这两张长方形纸片覆盖的部分用阴影表示，①和②的面积分别记为和．若知道下列条件，可以求值的是（ ）
A.长方形纸片的面积B.长方形纸片的周长
C.长方形纸片和①的面积差D.图1与图2阴影部分的面积差
【答案】D
【解析】设阴影部分的长分别为x、y，如图，
则，即，
∴图1中的阴影部分面积为，图2中的阴影部分面积为，
∴，
∵，
∴
；
∴即为图1与图2阴影部分的面积差；
故选：D.
二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分）
11.已知二元一次方程，用含的代数式表示，则___.
【答案】
【解析】∵，
∴，
∴
故答案为：．
12.如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置．已知三角形的周长是17，四边形的周长是21，那么平移的距离是___．
【答案】2
【解析】∵沿方向平移得到，
，
∵的周长为17，
，
∵四边形的周长为21，
，
即，
∴，解得，
即平移的距离为2cm．
故答案为：2．
13.《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为___.
【答案】
【解析】设甲有只羊，乙有只羊，
由题意得，，
故答案为：.
14.已知关于的多项式与的乘积展开式中不含的二次项，且一次项的系数为，则的值为___.
【答案】
【解析】，
，
，
∵多项式与乘积展开式中不含的二次项，且一次项系数为，
解得，，
，
故答案为：．
15.光线在不同介质中传播会发生折射.由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面时发生了折射，水面与玻璃杯的底面平行.若，则___（用含的代数式表示）.
【答案】
【解析】由平行线的性质可得，则，
，
，
故答案为：．
16.如图，小明准备将78张形状、大小完全相同的小长方形（长是宽的3倍）卡片，既不重叠又无空隙地放在一个长方形（长与宽的比为）的蛇年插画边沿，则得到的新长方形的长与宽的比为___.
【答案】
【解析】设在长上放了x张小长方形卡片，在宽上放了y张小长方形卡片，小长方形的长为，宽为，
依题意，得：，
解得：，
∴新长方形的长与宽的比为：
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共72分.解答需写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解方程组：
（1）；
（2）.
解：（1）
得，解得，
把代入①得，解得，
∴原方程组的解为；
（2）
整理得，
得，解得，
把得代入①得，解得，
∴原方程组的解为.
18.计算：
（1）；
（2）．
解：（1）原式；
（2）原式．
19.在化简的过程中，小明有以下两种方法：
解法一：原式=（第一步）
；（第二步）
解法二：原式=（第一步）
（第二步）
．（第三步）
小明发现两种解法的结果不同，请你帮小明判断上述解法是否正确，如果错误，请指出小明是从哪一步开始出现错误的．若两种解法都错误，请你再写出正确的解答过程．
解：解法一错误，从第一步开始出错；
解法二错误，也是从第一步开始出错．
正确的解答过程：原式．
20.先化简，再求值：
（1），其中；
（2）已知，求代数式的值．
解：（1）原式
．
当时，原式．
（2）原式
．
由已知得，所以原式．
21.如图，直线，交于点，，分别平分和，且.
（1）请判定直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数.
解：（1）；理由如下：
∵分别平分和，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）由（1）得：，
∵，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
22.在月历上，我们可以发现其中某些日期满足一定的规律，某兴趣小组对此进行了活动探究.
解：（1）；
故答案为：15.
（2）∵C上的数为x，
∴B上的数为，D上的数为，A上的数为，E上的数为，
∴
；
（3）∵两框A，E上的数各自相乘，其差为360，
∴，
又∵，
∴，
∴.
23.为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元．
（1）求，的值．
（2）如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？
（3）小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
解：（1）由题意，得，
解得：，
∴，
解得：；
（2）由题意可知，元，元，元；
设小王家这个月用水吨，
由题意，得，
解得．
答：小王家这个月用水40吨．
（3）设11月份用水吨，则10月份用水吨．
①当，
可得，
解得；
②当，
可得，
解得(舍去)．
即小王家11月份用水13吨．
24.如图，直线，直线分别交，于点，，直角三角板如图放置，，直线.
（1）求的度数.
（2）将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，得到三角板，旋转的时间为秒.
①当三角板的一边与直线平行时，求的值；
②三角板绕点旋转的同时，直线绕点以每秒的速度逆时针旋转到，若，求的值.
解：（1）如图，设与交于点，
∵，，
∴
∵，
∴
∴.
（2）①如图1，，
只有一种情形，
则'，
，
.
②如图2，此时，
，
，
.
如图3，此时
，
，
.
综上，若，则的值为或.探究主题：月历中的数学
初步探究
（1）图1是2025年4月份的月历，用图2所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，尝试计算：_________.
猜测说明
（2）多次尝试可以发现，上述运算结果都是定值.设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式运算的有关知识对上述规律进行说明.
深度探究
（3）在某张月历中，两个“Z”字型框架如图3摆放，若每框中A，E上的数各自相乘，两积之差为360，求，的值.
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分