2026年上海市金山区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市金山区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。
（答题请写在答题纸上）
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1. 不等式的解集为__________．
【答案】
【解析】
【详解】由.
所以原不等式的解集为.
2. 已知复数（虚数单位）为纯虚数，则实数__________．
【答案】
【解析】
【详解】由复数为纯虚数，
则，解得.
3. 将化成有理数指数幂的形式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由根式与指数幂换算求解．
【详解】．
故答案为：
4. 设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】，，若是的充分条件，，则.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.
5. 已知角为第四象限角，且，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】，，，，
为第四象限角，，.
6. 已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可．
详解】不妨取，
所以，等差数列公差，
等差数列通项，则，
则该数列的第20项为．
7. 已知随机变量的分布为，则期望__________．
【答案】2
【解析】
【详解】由，解得，
所以.
8. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种．
【答案】12
【解析】
【详解】先安排甲的位置，有种排法；
再安排其余3人的位置，有种排法.
根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种.
9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值.
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，所以，
因为，
所以
，
当且仅当，即时，此时，符合题意，
所以当时，取的最小值16.
10. 已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值.
【详解】，，
，
取的中点，连接，
点为外接圆的圆心，
，
.
11. 已知是数列的前项和，且，且．若，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，
，
，
，
.
所以.
设，
则.
所以，
所以.
12. 申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.
【答案】
【解析】
【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为；
当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高，
比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为 ，
所以杯中最多装的水.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ）
A. 该校所有学生 B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间
C. 所调查的100名学生 D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
14. 函数（ ）
A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数
15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个
A 3B. 4C. 6D. 8
16. 已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（ ）
A. B. C. D.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
（1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）
（2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）
（3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
18. 已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）
19. 已知函数，其中．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
20. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；
（3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．
21. 若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．
（1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；
（2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；
（3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】由.
所以原不等式的解集为.
2. 已知复数（虚数单位）为纯虚数，则实数__________．
【答案】
【解析】
【详解】由复数为纯虚数，
则，解得.
3. 将化成有理数指数幂的形式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由根式与指数幂换算求解．
【详解】．
故答案为：
4. 设若是的充分条件,则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意得出，由此可得出实数的取值范围.
【详解】，，若是的充分条件，，则.
因此，实数的取值范围是.
故答案为.
【点睛】本题考查利用充分条件求参数，一般转化为集合的包含关系求解，考查运算求解能力，属于基础题.
5. 已知角为第四象限角，且，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】，，，，
为第四象限角，，.
6. 已知等差数列，，1，…，则该数列的第20项为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列定义，计算出公差，进而得到通项即可．
详解】不妨取，
所以，等差数列公差，
等差数列通项，则，
则该数列的第20项为．
7. 已知随机变量的分布为，则期望__________．
【答案】2
【解析】
【详解】由，解得，
所以.
8. 若甲乙丙丁四人组成接力队参加米接力赛，则甲不跑中间两棒的排法共有__________种．
【答案】12
【解析】
【详解】先安排甲的位置，有种排法；
再安排其余3人的位置，有种排法.
根据分步乘法计数原理，满足条件的排法有种.
9. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，则的最小值为__________．
【答案】16
【解析】
【分析】先根据韦达定理得出，再应用常数代换及基本不等式计算求解最小值.
【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的正根、，
则，所以，
因为，
所以
，
当且仅当，即时，此时，符合题意，
所以当时，取的最小值16.
10. 已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值.
【详解】，，
，
取的中点，连接，
点为外接圆的圆心，
，
.
11. 已知是数列的前项和，且，且．若，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】因为，
，
，
，
.
所以.
设，
则.
所以，
所以.
12. 申辉中学某个数学建模小组发现：人走路时，启动或者停下的瞬间，手中水平拿着的杯子里的水可能会被晃动得溢出杯口. 查询资料后发现：液面和水平面的夹角与人走路的加速度以及重力加速度有关，满足关系：，其中. 若甲同学走路启动瞬间的加速度为，手中水平拿着一个底面边长为4cm和6cm，高为14cm的长方体形状的杯子，则杯中最多装__________的水，存在甲同学走路启动的瞬间杯中水不溢出的可能.
【答案】
【解析】
【详解】当沿着最短的朝向也就是当人沿着杯子底面4cm长的边所在方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为；
当沿着其他方向加速时，因为水面要向更远的地方“爬”，在同样的倾斜角度下上升的高度会更高，
比如当沿着6cm长的边所在的方向加速时，杯内液面的高度差为cm，
此时杯中不溢出的最大水量为 ，
所以杯中最多装的水.
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13. 为了了解申辉中学所有学生的每天平均体育运动时间，随机调查了该校100名学生，发现他们每天平均体育运动时间为h．这里的总体是（ ）
A. 该校所有学生B. 该校所有学生的每天平均体育运动时间
C. 所调查的100名学生D. 所调查的100名学生的每天平均体育运动时间
【答案】B
【解析】
【详解】根据总体的概念可得，这里的总体是该校所有学生的每天平均体育运动时间.故选项B正确.
14. 函数是（ ）
A. 最小正周期为的奇函数B. 最小正周期为的偶函数
C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数
【答案】A
【解析】
【详解】，
，故最小正周期为，
设，，
故为奇函数，故选项A正确.
15. 已知椭圆，双曲线，其中（），点、为椭圆的两个焦点，点是双曲线上一动点．若双曲线的两条渐近线夹角的余弦值等于，则使得为直角三角形的点有（ ）个
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】先根据双曲线的渐近线夹角的余弦值求出，得到， 分别按照，，讨论求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
设渐近线的倾斜角为，则，
，，，，
两条渐近线的夹角为，，
，
，，，，
椭圆，，
点、为椭圆的两个焦点，，
当时，以为直径的圆的方程为，
双曲线，将代入，
得到，解得，
联立，将代入，
得到，解得，
将代入，解得，
则有个点满足；
当时，
过的直线为，将代入双曲线，
得到，解得，故有个点满足；
当时，
过的直线为，将代入双曲线，
得到，解得，故有个点满足；
综上可知，使得为直角三角形的点有个，故选项C正确.
16. 已知全集是一个六元集合，任取的两个子集、（、可以相等），记事件；记事件．则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析基本事件空间所含基本事件的个数，事件及所含基本事件个数，再由和事件的概率公式求解.
【详解】因为全集是一个六元集合，所以任取的两个子集、，能形成对集合，即基本事件总数为.
中任一元素，满足事件，有以下三种情况，且；所以所含基本事件个数;
中任一元素满足事件，有以下三种情况，
且；所以所含基本事件个数为，
事件表示且同时成立，所以，此时可以是的任意子集，有个，即事件所含基本事件有个，
所以.
三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
17. 绝对零度（）是一个只能逼近而不能达到的最低温度，那么这个数据是如何测得的？吕同学通过查询资料，知道：①气体温度和气体压强存在线性关系；②当气体压强为0（）时，气体温度达到绝对零度．以下是吕同学在一次模拟实验时，测得某种气体温度和气体压强的相关数据：
（1）求该模拟实验中，该气体温度的平均值和方差；（精确到0.01）
（2）若该次实验下气体压强关于气体温度的回归方程为，预估该次实验下绝对零度的数值；（精确到0.01）
（3）为了验证实验的普适性，吕同学利用不同气体预估绝对零度，得到如下的一组数据．若任取其中的2个数据，求该两个数据与绝对零度（）的误差均小于1的概率．
【答案】（1）℃,
（2）℃
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平均值、方差的定义计算即可得解；
（2）求出，代入回归方程求出，令，即可求解；
（3）根据古典概型求解即可.
【小问1详解】
（），
.
【小问2详解】
，
将，即代入，
解得，所以回归方程为，
令，解得（），
预估该次实验下绝对零度的数值为.
【小问3详解】
因为，，
，，
，，
所以只有，两个数据与绝对零度（）的误差小于1，
所以
18. 已知长方形中，，点、分别为边、的中点（如图1）．若将长方形沿着边翻折，得到二面角（如图2）．已知二面角的大小为．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的大小．（结果用反三角表示）
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由线线平行得到线面平行，进而得到面面平行；
（2）先由二面角大小得到各边长，作出辅助线，得到线面垂直，进而求出线面角的大小
【小问1详解】
因为长方形中，，折叠过程中，，
又平面，平面，故平面，
同理可得平面，
又，平面，所以平面平面；
【小问2详解】
因为长方形中，点、分别为边、的中点，
故，二面角的平面角为，即，
又，所以，为等边三角形，
同理可得为等边三角形，
取的中点，连接，则⊥，
又⊥平面，平面，故⊥，
因为，平面，故⊥平面，
故直线与平面所成角为，
，，故，由勾股定理得，
则，
直线与平面所成角的大小为.
19. 已知函数，其中．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，其中，若存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数的单调性及函数的定义域列出不等式组求解即可；
（2）求出函数导数，分类讨论，利用导数可得函数的单调性及极值，结合单调性及极值即可得解.
【小问1详解】
由可得，
又为严格单调递增函数，且，
所以，解得，
所以实数的取值范围为.
【小问2详解】
因为，
所以，，
由可得，，
当时，，在上单调递增，不合题意；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值，
此时，不存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点；
当时，，故当或时，，
当时，，
在上单调递增，在上单调递减，所以的极大值，
故的极小值，又当时，，
所以存在，使得直线与函数的图像有3个不同的交点.
综上，实数的取值范围.
20. 已知抛物线的焦点为，准线为，点为抛物线上一动点，点为坐标原点．
（1）若，求点的坐标；
（2）若直线与抛物线只有一个交点，求直线的方程；
（3）若，过点作圆的两条切线，交准线于、两点，求的取值范围．
【答案】（1）或
（2）和
（3）
【解析】
【分析】（1）根据条件列出方程即可求解；
（2）联立抛物线方程，消元后得方程，分类讨论，根据方程有一根求解即可；
（3）设过P点切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出关于直线斜率的方程，再由切线与准线交点的纵坐标表示，利用韦达定理化简，换元求取值范围即可.
【小问1详解】
由可知，
因为，所以，
即，解得，
代入抛物线方程，，
所以点的坐标为或.
【小问2详解】
联立方程，可得，即，
因为只有一个交点，
所以，即时，方程只有一解，满足题意，此时；
当时，则需，解得，
此时.
综上，直线的方程为和.
【小问3详解】
设，
由题意，切线与准线相交，故切线的斜率存在，设切线方程为，
即，
由圆知，圆心，半径，
所以，即，
设，
代入切线方程可得，，
所以，（其中分别是的斜率）
所以，
又，
令，则，
令，则，
所以，
因为，所以，所以，
故求的取值范围为.
21. 若函数，其值域为．若，则称函数在区间上为封闭函数．
（1）已知，判断函数是否在区间上为封闭函数，并说明理由；
（2）已知，若函数在区间上不为单调函数，但在区间上为封闭函数，求的最大值；
（3）已知函数在区间上连续且为封闭函数，且对于任意的、，都有成立．若数列满足，且，证明：存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
【答案】（1）是，理由见解析； （2）2； （3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用不等式性质求出函数的值域，利用定义判断即可；
（2）二次函数在闭区间的最值在顶点或端点取得，只需保证即可；
（3）可先利用零点存在性定理证明存在性，再用反证法证明唯一性，最后根据证明.
【小问1详解】
由，
由，得，从而有，即得，
即，
从而函数在区间上为封闭函数；
小问2详解】
由，，
函数的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线，
根据题意在区间上不为单调函数，得，
从而函数在区间单调递减，在区间单调递增，
从而，，
由函数在区间上为封闭函数，即有，
从而，即，
那么，即得，
即的最大值为；
【小问3详解】
由函数在区间上连续且为封闭函数，令，
从而函数在区间上连续，
函数在区间上为封闭函数，
从而，，即有，，
由函数区间上连续，且，
故存在，使得，即，
假设存在，且，使得，，
则，
又因为任意的、，都有成立，
所以矛盾，
所以存在唯一的常数，使得，
数列满足，且，
当，那么，那么， ，
可知数列中的，且，
那么由，则，
，
由，所以，
则，即有.
故存在唯一常数，使得，且对于任意的，都有．
数据
1
2
3
4
5
6
温度（）
407
16.69
29.42
45.67
57.06
73.05
压强（）
103.095
107.734
112.461
118.469
122.706
128758
绝对零度（）
275.13
274.56
274.28
273.57
272.45
271.67
数据
1
2
3
4
5
6
温度（）
4.07
16.69
29.42
45.67
57.06
73.05
压强（）
103.095
107.734
112.461
118.469
122.706
128.758
绝对零度（）
275.13
274.56
274.28
273.57
272.45
271.67