2026年上海市普陀区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市普陀区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。
2.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.
3.务必用钢笔或圆珠笔在答题纸相应位置正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定的位置上.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题每题得4分、后6题每题得5分，否则一律得零分.
1. 根据中国汽车工业协会发布的数据，年月至年月，我国新能源汽车月度销量（单位：万辆）为：，则这个月新能源汽车销量的中位数为______万辆.
2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______.
3. 已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为________.
4. 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______.
5. 设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达）
6. 某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______.
7. 设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________.
8. 在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______.
9. 已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______.
10. 设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
11. 设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______.
12. 设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.
13. 已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
14. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
15. 某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（ ）
A. B. C. D.
16. 在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题：
①若点、，则的值不可能等于；
②若，则的取值范围为.
则下列结论中正确的是（ ）
A. ①为真②为真B. ①为真②为假C. ①为假②为真D. ①为假②为假
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且.
（1）求证：直线平面；
（2）求点A到平面的距离.
18. 设的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）点、分别满足，，，，求的值.
19. 2016-2025年全国普通高中生均经费（单位：元）如下表所示：
年全国两会明确，“十五五”（年）期间将深入实施县域普通高中振兴计划，持续增加普通高中生均经费的投入与学位供给.
（1）设上表中年生均经费的平均数为，现从这个数据中不放回地随机抽取两个不同的数据，已知抽取的两个数据中至少有一个低于，求两个数据都低于的概率；
（2）在评估不同发展阶段的投入稳定性时，不仅看波动幅度，还需考虑增长基数，统计学中常用变异系数（）来衡量相对自身水平的波动程度.将作为阶段，作为阶段，分别计算、两阶段生均经费的标准差和变异系数（结果均精确到），根据计算结果，你认为哪个阶段的投入更稳定；
（3）教育经济学研究显示，生均经费每增长，可带动学位供给增长；而学位供给每增长，可带动毛入学率约增长.已知年全国高中阶段毛入学率为，“十五五”规划目标是在此基础上再提升个百分点，根据预算报告，预计“十五五”期间生均经费年增长率可保持.请据此预测年全国高中阶段毛入学率，并判断的增速能否支撑规划目标的实现.
20. 设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点.
（1）若点的坐标为，求双曲线的方程；
（2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
（3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围.
21. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数.
（1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由；
（2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值；
（3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围.
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【分析】先将数据从小到大排列，再根据中位数的定义可得.
【详解】将年月至年月，我国新能源汽车月度销量按从小到大排列：
数据个数为，所以中位数是第个数，即万辆.
2. 已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解.
【详解】复数z满足，
则+3i，
则，
则.
3. 已知点在抛物线上，则P点到抛物线焦点F的距离为________.
【答案】3
【解析】
【分析】利用焦点弦长的性质即可得出．
【详解】点在抛物线上，
点到焦点的距离．
故答案为：3．
【点睛】本题考查过焦点弦长的性质，属于基础题．
4. 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解.
【详解】由不等式可得，等价于，
因为原不等式的解集是，所以是方程的两根，
所以，解得.
5. 设，若的展开式中的常数项是，则该展开式中所有项的系数和为______.（结果用数值表达）
【答案】
【解析】
【分析】由展开式中的常数项是，求得，代入原式，令，即可得答案.
【详解】因为的展开式的通项为：，
又因为展开式中常数项是，
令，得，
所以，解得，
所以，即为，
在中令，
得所以项系数和为.
6. 某大型管线网的局部呈网格结构，如图建立平面直角坐标系，一小型机器人沿管线移动执行巡检任务，在某次巡检的路径中经过了点：、、、、、、，若该机器人经过的点的纵坐标关于横坐标的一元线性回归方程是，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】求出样本的中心点，根据一元线性回归方程必经过中心点即可求解.
【详解】根据题意，机器人经过的个点的横坐标分别为，
其平均值为，
个点的纵坐标分别为，其平均值为，
又因为这些点的一元线性回归方程是，必过点，
代入得，即的值为.
7. 设，，是等差数列的前n项和，且公差，若，且，，成等比数列，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】本题利用等差数列的通项公式和前n项和公式代入可得,然后代入前n项和公式计算即可。
【详解】，,计算可得；
又成等比数列，
,变换可得,代入，计算可得,。
8. 在中，，，过点A作直线，将绕直线l旋转一周所得到的几何体记为Ω，若Ω的体积是，则Ω的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体，利用圆柱与圆锥的体积以及表面积公式求解即可.
【详解】为直角三角形，，，直线l∥BC且过点A，
设，所以斜边，
将绕直线旋转一周，生成的几何体是一个大圆柱挖去一个小圆锥的组合体，
所以圆柱上底面半径，高，
被挖去的圆锥的底面半径，高与圆柱相同，即，
则圆柱体积：，
圆锥体积：，
所以组合体体积：，
则，即，所以，
几何体Ω的表面积由三部分构成：
圆柱的侧面积：，
圆柱的上底面面积：，
圆锥的侧面积：圆锥母线长为​，，
所以总表面积：.
9. 已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可.
【详解】因为，
又因为，且，
所以，
整理得，
当时，，
则有，解得，满足题意；
当时，，
则有，解得，不满足题意；
当时，，
则有，解得，不满足题意；
综上，.
10. 设，集合，，若集合，且满足条件的A恰有2个，则a的取值范围为______.
【答案】或
【解析】
【分析】由题意得出是一元集，然后按的正负或0分类讨论求解．
【详解】由题意的子集恰有2个，所以是一元集，
若，则，而，满足题意，
若，则，，此时，不合题意；
若，则，，只含一个元素，则，
综上，的取值范围是或．
11. 设定义域为R的函数的导函数为，令，若函数和函数皆为偶函数，则不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】若函数为偶函数，则为奇函数，
而为偶函数，则,即，
，故，
当时，，即函数在单调递减，
由为偶函数，则，
结合单调性可知，即，解得或,
故不等式的解集为.
12. 设，，，是等比数列的前n项和，且，公比为3，令，若恰存在2个k的值，对任意的，皆有成立，则的取值范围为______.
【答案】．
【解析】
【分析】由的结构，可先研究函数在正数范围内的大小变化规律，再结合等比数列前 项和公式把题意转化为关于的不等式组求解．
【详解】由题意知，等比数列的首项为，公比为，所以，
从而，
设，因为，且随的增大而增大，
所以数列的变化只与函数在正数范围内的比较性质有关．
对任意，，
因此对任意正整数，有
又因为单调递增，所以也随的增大而增大．
题意“恰存在个的值，使得对任意的 ，
皆有成立”表示数列恰好连续下降两次，
即，等价于，
代入上式，得，
即解得，
综合可得.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分.
13. 已知直线l、m和平面，若，则“l与m不相交”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据线面判断及线线位置关系结合必要非充分条件定义判断.
【详解】当直线l与平面相交，且交点不在直线m上时，满足“l与m不相交”，
但“”不成立，故充分性不成立；
若，则与无交点，所以“l与m不相交”，故必要性成立；
所以“l与m不相交”是“”的必要非充分条件.
14. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得.
【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象，
依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为，
则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.
由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：；
当直线在②位置时，显然有：；
当直线在③位置时，显然有：，故D错误.
15. 某科技公司每位员工皆佩戴红色或蓝色中仅一种颜色的工牌，该公司为促进跨部门协作，采用智能轮岗系统进行员工交换部门，初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，系统执行一次随机交换指令：从甲、乙2个部门中随机各选取1名员工进行交换，设交换后甲部门中红色工牌员工的人数为，则的期望为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】交换后甲部门红人数的变化取决于从甲选出的员工和从乙选出的员工颜色，分四种情况：甲出红、乙出红；甲出红、乙出蓝；甲出蓝、乙出红；甲出蓝、乙出蓝，由此得分布列，随即可计算期望.
【详解】初始时，甲部门有2名红色工牌员工、1名蓝色工牌员工，乙部门有2名红色工牌员工、2名蓝色工牌员工，
由已知的可能取值为，，.
，，，
所以.
16. 在直角坐标平面中，方程表示的曲线称为“圆”.点是“圆”上的任意两点，为坐标原点.对如下两个命题：
①若点、，则的值不可能等于；
②若，则的取值范围为.
则下列结论中正确的是（ ）
A. ①为真②为真B. ①为真②为假C. ①为假②为真D. ①为假②为假
【答案】C
【解析】
【分析】先根据方程可得曲线是由半个圆和半个椭圆组成的一条曲线，再对条件①判断，根据椭圆的定义及计算圆的一点到两个定点的距离和范围可得命题的真假；对条件②根据两点的位置关系分四种情况分别讨论可得所求式子的范围，进而可得结果.
【详解】因为方程等价于：或.
若，则，表示圆心在原点，半径为的左半个圆；
若，则，表示长半轴为，短半轴为的右半个椭圆；如图：
对于①，若点在右半个椭圆上，点、是椭圆的焦点，
根据椭圆的定义：，所以在右半个椭圆上不存在点满足；
若点在左半个圆上，点、是圆的一条直径的两个端点，
设，则
所以，
因为，所以，，，
即，而，所以存在点满足；
所以命题①为假命题.
对于②，若点在左半个圆上，；
若点在右半个椭圆上，则，因为，
所以，即.
下面对的位置分四种情况讨论：
（i）若都在左半个圆上时，，
所以；
（ii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，
所以，即；
（iii）若在左半个圆上，在右半个椭圆上时，，
所以，即；
（iv）若都在右半个椭圆上时，设，
且，因为，所以，
即，.
所以，，
所以
，
又因为，两边平方得，
，化简整理得，
所以.
综上所述，的取值范围为，故②正确；
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在正三棱柱中，D、E分别是棱、的中点，且.
（1）求证：直线平面；
（2）求点A到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正三棱柱的结构可判断四边形的形状，进行面面垂直、线面垂直、线线垂直之间的转化；（2）根据三棱锥的体积相等可求距离，也可利用空间向量求解距离问题.
【小问1详解】
如图1，连接，
由正三棱柱的结构特征可知，
在正三棱柱中是正三角形，侧面均为矩形，平面.
因为D是棱的中点，所以，
因为平面，所以平面平面.
又平面平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，所以矩形为正方形，所以，
又，所以，
因为平面，，所以直线平面.
【小问2详解】
方法一：设点A到平面的距离为h，
因为平面，所以到平面的距离相等，都为.
由（1）知，侧面均为正方形，所以，，
又，所以为等腰三角形，所以.
又，即，
所以，解得，即点A到平面的距离为.
方法二：取的中点，连接，由（1）可知两两互相垂直，
所以以D为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，
即，所以点A到平面的距离为.
18. 设的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）点、分别满足，，，，求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化为角，化简得 ，即可解得；
（2）由向量条件推出为外心，将目标式用外心向量转化为，再利用和 推导出边的关系，结合正弦定理求得后代入即得结果.
【小问1详解】
因为，
设外接圆半径为，由正弦定理，，，
代入可得，
所以,
即，
因为在中，，所以，
即，
因为，所以，所以，
化简得：，
解得，即，
因为，所以.
【小问2详解】
由，所以，
所以，即，同理由得，
所以是的外心，所以，
因为同弧所对的圆周角是圆心角的一半，
所以，，所以,
所以
，
，
，
得到，
而，所以，
因为，所以，得，
而，所以，
由正弦定理，所以，
又因为，所以，
化简得，所以，
所以，
因为，所以，
代入计算，所以.
19. 2016-2025年全国普通高中生均经费（单位：元）如下表所示：
年全国两会明确，“十五五”（年）期间将深入实施县域普通高中振兴计划，持续增加普通高中生均经费的投入与学位供给.
（1）设上表中年生均经费的平均数为，现从这个数据中不放回地随机抽取两个不同的数据，已知抽取的两个数据中至少有一个低于，求两个数据都低于的概率；
（2）在评估不同发展阶段的投入稳定性时，不仅看波动幅度，还需考虑增长基数，统计学中常用变异系数（）来衡量相对自身水平的波动程度.将作为阶段，作为阶段，分别计算、两阶段生均经费的标准差和变异系数（结果均精确到），根据计算结果，你认为哪个阶段的投入更稳定；
（3）教育经济学研究显示，生均经费每增长，可带动学位供给增长；而学位供给每增长，可带动毛入学率约增长.已知年全国高中阶段毛入学率为，“十五五”规划目标是在此基础上再提升个百分点，根据预算报告，预计“十五五”期间生均经费年增长率可保持.请据此预测年全国高中阶段毛入学率，并判断的增速能否支撑规划目标的实现.
【答案】（1）
（2）阶段的投入更稳定
（3）年全国高中阶段毛入学率约为，能支撑
【解析】
【分析】（1）记事件抽取的两个数据中至少有一个低于，事件抽取的两个数据都低于，分析可知，利用组合计数原理、古典概型的概率公式以及条件概率公式可求得的值；
（2）计算、两个阶段的变异系数，比较大小后可得出结论；
（3）根据题中信息可计算出年的毛入学增长率，由此可求出年的毛入学增长率，结合题意可得出结论.
【小问1详解】
由表格中的数据可得，
记事件抽取的两个数据中至少有一个低于，事件抽取的两个数据都低于，
表格中的个数据，其中小于的数据有个，大于的数据有个，
则，，
由题意可知，由条件概率公式可得，
所以，已知抽取的两个数据中至少有一个低于，则这两个数据都低于的概率为.
【小问2详解】
对于阶段，生均经费的平均数为，
标准差为
，
变异系数为，
对于阶段，生均经费的平均数为，
标准差为
，
变异系数为，
所以，故阶段的投入更稳定.
【小问3详解】
年毛入学率年增长率为，
故年的毛入学率为
故的增速能支撑.
20. 设，，、，双曲线的一条渐近线方程是，点为右支上的一点，直线的方程是，是坐标原点.
（1）若点的坐标为，求双曲线的方程；
（2）若直线经过点，且与交于、两点，直线、的斜率分别为、，求的值；
（3）设点是的左焦点，点、是的左、右两个顶点，直线与直线交于点，直线经过点与的右支交于另外一点，若，且直线恒过点，求周长的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，再将点的坐标代入双曲线的方程，可求出的值，进而可得出的值，由此可得出双曲线的方程；
（2）设点、，易知点、关于原点对称，则，利用点差法可求得的值；
（3）设点、，则、，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，可得出，求出的方程，由此可得出点的坐标，并求出直线的方程，将点的坐标代入直线的方程，结合韦达定理可得出的值，结合可得出的取值范围，在利用弦长公式以及双曲线的定义可求得周长的取值范围.
【小问1详解】
由题意可知，则，则双曲线的方程可化为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
由（1）可知，双曲线的方程为，即，
设点、，易知点、关于原点对称，则，
因为，所以，故，
所以.
【小问3详解】
因为，所以双曲线的方程为，即，
易知点、、，
设点、，则、，
联立得，
则，可得，
由韦达定理可得，，故①，
直线的方程为，在该直线方程中令可得点，
直线的方程为，
将点的坐标代入直线的方程得，
即②，
由①得，代入②式得，
故，解得，
所以，可得，
所以
，
因为，故直线恒过右焦点，
由双曲线的定义可得，，
故的周长为，
即周长的取值范围是.
21. 已知p、q为实数，设函数的最小值为，函数的最小值为，若且，则称函数和函数是T函数.
（1）设函数的表达式为，函数的表达式为，请判断函数和函数是否为T函数，并说明理由；
（2）设a、b为正实数，函数的表达式为，函数的表达式为()，若函数和函数不是T函数，求的最小值；
（3）设k、t、a为实数，函数的表达式为()，函数的表达式为，若存在，对任意的，皆有成立，且函数和函数是T函数，求k的取值范围.
【答案】（1）函数和函数为T函数，理由见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据T函数的定义判断；
（2）由T函数的定义求得，然后由基本不等式求得最小值；
（3）先求得和的最小值和最小值点，根据题意得出，，
然后消去得关于的等式，构造函数使用同构法得出，，再利用导数求得的范围．
【小问1详解】
，，
，，
，且，
所以函数和函数的最小值相等，且最小值点均不相同，因此它们为T函数；
【小问2详解】
，，
因为，
所以，当且仅当，即时等号成立，
函数和函数不是T函数，
所以，即，
又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是；
【小问3详解】
是减函数，又，所以，
，，
是上的增函数，
依题意，存在，使得①且②，
由①得，代入②得，
整理得，即③，
设，则③式为，
易知是增函数，所以，，，
设，
则，时，，递增，时，，递减，
所以，又，
所以的取值范围是，
所以的取值范围是．
年份
生均经费
年份
生均经费
年份
生均经费
年份
生均经费