2026年上海市浦东新区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市浦东新区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。
1．本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；
2．请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1. 已知全集，集合，则________．
【答案】
【解析】
【详解】，，.
2. 若复数满足，则复数______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【详解】解：∵，∴，
故答案为：.
3. 已知，若，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】
【详解】若，则，解得
若，则，解得，不满足
综上
4. 在中，若，，，则________．
【答案】3
【解析】
【详解】由余弦定理得：，
所以
5. 某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）．
【答案】12.5%
【解析】
【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为，
可知，
所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%.
6. 已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可.
【详解】由，所以，
所以曲线在处的切线斜率为：.
7. 从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可.
【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法，
第二步：从4名男生中选取2名，有种选法，
第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法，
所以一共有种不同的面试方法.
8. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】两个孩子的生肖组合有种，
记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”，
则，，
所以.
9. 已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________．
【答案】11
【解析】
【详解】令，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
设数列的前项和为，则，
所以，
因为单调递增，
又，，
所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11.
10. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为，
因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，
所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点，
所以，解得，
又直线经过点时，，
所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，
m的取值范围为
11. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米．
【答案】
【解析】
【详解】如图建立空间直角坐标系：
则，设交点，
所以，
因为，所以，
整理得，
所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以交汇点G形成的轨迹长度为.
12. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.
【详解】，
中所有非空子集含有1的有2026类：
单元素集合只有含有1，即1出现了次；
双元素集合含有1的有，即1出现了次；
三元素集合中含有1的有，即1出现了次，
……
有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次；
1共出现，
同理都出现次，
的所有非空子集中，这些和的总和是
.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ）
A. 表示x与y之间的函数关系 B. 表示x与y之间的不确定关系
C. 反映x与y之间的真实关系 D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
14. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ）
A. 、、
B. 、、
C 、、
D. 、、（其中为实数）
16. 定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 存在函数为函数
B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数
C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则
D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．
（1）求证：平面PAD；
（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．
18 已知，．
（1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；
（2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
19. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：
（1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；
（3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？
20. 已知双曲线的左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
（1）若双曲线C焦距为，求该双曲线C的离心率e；
（2）若，为直角三角形，求点M坐标；
（3）若双曲线C一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．
21. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记．
（1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值；
（2）若，，且，．求的值及函数的解析式；
（3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立．
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】，，.
2. 若复数满足，则复数______.
【答案】
【解析】
【分析】利用复数的运算法则即可得出.
【详解】解：∵，∴，
故答案为：.
3. 已知，若，则实数a的值为________．
【答案】
【解析】
【详解】若，则，解得
若，则，解得，不满足
综上
4. 在中，若，，，则________．
【答案】3
【解析】
【详解】由余弦定理得：，
所以
5. 某校高中三年级600名学生参加了区质量检测，已知数学检测成绩X服从正态分布（试卷满分为150分）．统计结果显示，数学检测成绩介于80分到120分之间的人数为450名，则此次检测中成绩不低于120分的学生人数约为总人数的________（精确到0.1%）．
【答案】12.5%
【解析】
【详解】由可知，正态分布曲线对称轴为，
可知，
所以，可得，即成绩不低于120分的学生人数约为总人数的12.5%.
6. 已知直线是曲线在处的切线，则的斜率为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数导数求出函数在某点处切线斜率即可.
【详解】由，所以，
所以曲线在处的切线斜率为：.
7. 从4名男生3名女生中选取3人，依次进行面试，其中恰好有1名女生，则有________种不同的面试方法．
【答案】
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理结合组合排列分析计算即可.
【详解】第一步：从3名女生中选取1名，有种选法，
第二步：从4名男生中选取2名，有种选法，
第三步：选取的3人依次进行面试，则有种排法，
所以一共有种不同的面试方法.
8. 一个家庭有两个孩子，生肖均为十二生肖之一（等可能）．已知其中一个孩子属马，则另一个孩子也属马的概率为________．
【答案】
【解析】
【详解】两个孩子的生肖组合有种，
记事件A“其中一个孩子属马”，事件B“两个孩子都属马”，
则，，
所以.
9. 已知数列的通项公式是，为数列的前n项和，则使得不等式成立的最小正整数n的值为________．
【答案】11
【解析】
【详解】令，则，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
设数列的前项和为，则，
所以，
因为单调递增，
又，，
所以使得不等式成立的最小正整数n的值为11.
10. 已知，圆O是圆心在原点的单位圆，弦AB平行于x轴，并将圆分为两段弧．将其中一段劣弧沿弦AB翻折后恰好经过圆心．若直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【详解】根据题意可知优弧所在的圆方程为，劣弧所在的圆方程为，
因为直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，
所以直线与优弧和劣弧各有两个不同的交点，
所以，解得，
又直线经过点时，，
所以要使直线与翻折后得到的两段弧有四个不同的交点，
m的取值范围为
11. 某光影科技实验室为长方体空间，底面是边长为4米的正方形，高为3米．为营造动态光影效果，在底面一个顶点处安装射灯A，在与该顶点相对的侧棱上、距底面1米处安装射灯I，两盏射灯的光束方向由智能系统自动控制，始终使两束光线相互垂直，且它们的交汇点G始终落在实验室天花板上．则交汇点G形成的轨迹长度为________米．
【答案】
【解析】
【详解】如图建立空间直角坐标系：
则，设交点，
所以，
因为，所以，
整理得，
所以交点在天花板上的轨迹是以为圆心，半径为的圆，
所以交汇点G形成的轨迹长度为.
12. 已知集合M的元素均为正整数，定义集合M的“变项和”为：将M中每个元素m都乘以后再求和．若集合，则集合A的所有非空子集的“变项和”的总和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，将中所有非空子集分类考虑，将所有非空子集中的含有1的总个数确定好，从而可求其和，同理求得含有的部分的和，问题即可解决.
【详解】，
中所有非空子集含有1的有2026类：
单元素集合只有含有1，即1出现了次；
双元素集合含有1的有，即1出现了次；
三元素集合中含有1的有，即1出现了次，
……
有2026个元素的集合中含有1的有，1出现了次；
1共出现，
同理都出现次，
的所有非空子集中，这些和的总和是
.
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，13-14题每题选对得4分，15-16题每题选对得5分，否则一律得零分.
13. 某校学生会体育部长依据本校高三男生的身高（单位：）与体重（单位：）的抽样数据，运用电子办公软件求出了“体重”（y）关于“身高”（x）的回归方程，则该回归方程（ ）
A. 表示x与y之间的函数关系B. 表示x与y之间的不确定关系
C. 反映x与y之间的真实关系D. 反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合
【答案】D
【解析】
【详解】根据线性回归方程的概念可知，回归方程反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合.
14. 已知实数满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】对于选项A，可知，无法判断正负，所以选项A错误；
对于选项B，可知时，所以，所以选项B错误；
对于选项C，因为，所以，
可知，当且仅当，即时取等号，所以等号取不到，
所以，选项C正确；
对于选项D，当时，无法判断不等式是否成立，所以选项D错误；
15. 已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（ ）
A. 、、
B. 、、
C. 、、
D. 、、（其中为实数）
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可.
【详解】对于A，设，
由与是不共面的向量，则，即方程组有解，
所以向量、、共面，故A错误；
对于B，设，
由与是不共面的向量，则，方程组无解，
所以向量、、不共面，故B正确；
对于C，设，
由与是不共面的向量，则，即方程组有解，
所以向量、、共面，故C错误；
对于D，设，
由与是不共面的向量，则，
当时，方程组有解为，此时向量、、共面，
当时，方程组无解，此时向量、、不共面，
所以向量、、不一定共面，故D错误.
16. 定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．则下列说法正确的是（ ）
A. 存在函数为函数
B. 若函数为函数，且当时函数在上是严格增函数，则函数在上是严格增函数
C. 若函数为函数，且在处取得最小值，则
D. 若函数为函数，且恒成立，则为周期函数
【答案】D
【解析】
【分析】利用定义计算可得 A；举出反例可得B、C；利用定义计算可得，，再利用可得的值，最后利用周期性定义即可得D.
【详解】对A：存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，
则，整理得，
则有且恒成立，由，则由可得，
此时有，则，矛盾，故不存在这样的非零常数，故A错误；
对B：假设，当时，，
且函数为定义在上的函数，则在上是严格增函数，
但，不满足在上严格递增，故B错误；
对C：假设，当时，，
且函数为定义在上的函数，则，
当时，，
即对任意整数，都有，
当时，
，
故当时，，
故满足在处取得最小值，但，故C错误；
对D：由题意可得，
，
因为为非常值函数，所以存在使得，
由恒成立，可得和对任意正整数成立，
若或，则当足够大时，上述不等式至少有一个不成立，
故必有，即或，
若，则，则为周期函数，且周期为；
若，则， 故，
则为周期函数，且周期为；
综上可得为周期函数，故D正确.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤.
17. 如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，．
（1）求证：平面PAD；
（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性质和线面垂直的判定定理进行证明；
（2）将多面体拆分成直棱柱和三棱锥两部分，分别计算体积再求和.
小问1详解】
证明：取AD的中点O，连接PO,
因为为等边三角形，且O为AD中点，
所以
又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面 .
又平面，因而
因为，，所以
由平面，平面PAD，，
所以平面 .
【小问2详解】
连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD，
所以PC在平面ABCD内的投影为OC，
故是与平面所成的角，即
，由题得，，
因为平面PAD，，所以平面PAD，所以．
因此，，
取CD的中点M，连接BM、QM，
则
所以多面体PQABCD的体积是.
18 已知，．
（1）若函数是定义在上的奇函数，求常数的值；
（2）若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可；
（2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围.
【小问1详解】
若函数是定义在上的奇函数，
则对任意恒成立，
即
即对恒成立．
即对恒成立．
因此．又，故．
因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为；
【小问2详解】
若，则，
由题意，即对任意恒成立．
令，即 ，
由，
可知函数在内的两个驻点为，，
比较，，，大小，
可知函数在上的最小值为．
因此，实数a的取值范围为.
19. 某奶茶品牌为了解消费者对奶茶甜度的偏好情况，随机抽取了100名顾客进行甜度测试（分数越高表示越偏好甜味）、统计结果显示，所有顾客的甜度偏好分数均分布在区间内，具体数据见下表：
（1）估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）在这100名顾客中，用分层抽样的方法从甜度偏好分数在、这两组中共抽取5人．再从这5人中随机抽取3人，记为3人中甜度偏好分数在的人数，求的分布、期望和方差；
（3）该奶茶品牌把甜度偏好分数在的消费者称“七分糖爱好者”．以样本估计总体、用频率代替概率，该品牌从某日消费人群中随机抽取12名消费者作为样本，记抽到k个“七分糖爱好者”的概率为，问当k为何值时最大？
【答案】（1）6.7 （2）
，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平均数的概念，求出结果即可；
（2）根据超几何分布的概念，求出分布列，再根据期望和方差的概念，求出结果即可；
（3）根据二项分布的概念，求出概率的通式，进而列出不等式组，求出最大值即可.
【小问1详解】
由题意，随机抽取的100名顾客的甜度偏好分数的平均数为
估计该品牌奶茶消费者的平均甜度偏好分数为6.7
【小问2详解】
用分层抽样的方法，从甜度偏好分数在这组中抽取2人，甜度偏好分数在这组中抽取3人．
故，，
因此，X的分布列为
故，.
【小问3详解】
由题，抽到“七分糖爱好者”概率是0.4，
抽到“七分糖爱好者”的人数服从二项分布，即，，
则
当，即时
当，即时
因此，，且，
所以，当时，最大.
20. 已知双曲线左顶点为A，过点的直线l交双曲线C于M、N两点，点M在第一象限．
（1）若双曲线C的焦距为，求该双曲线C的离心率e；
（2）若，为直角三角形，求点M的坐标；
（3）若双曲线C的一条渐近线方程为，点M、N均在双曲线C的右支，且存在实数，使得成立，求直线l的倾斜角的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据焦距和离心率公式求解即可；
（2）分，两种情况讨论，根据垂直条件代入双曲线方程求解；
（3）根据渐近线方程得双曲线的方程，设直线l的方程为，联立方程，根据韦达定理求出，，根据得到的范围，构造的不等式，解出的范围，进而求出倾斜角的范围.
【小问1详解】
由题，，得
故
【小问2详解】
因为点M在第一象限，故不可能为直角；
若，将代入曲线，得符合题意，；
若，设点，则，
则
又因为点M满足，可得，此时，
DM与双曲线渐近线平行，不满足两个交点，舍去．
综上，点M的坐标；
【小问3详解】
由题可得，双曲线 ，
当直线l的斜率不存在时，根据双曲线的对称性，，不满足，
所以直线l的斜率一定存在，
又，说明三点共线，且都在双曲线的右支上，所以直线l的斜率不为0，，
设直线l的方程为，、，且，，
联立方程，可得
显然，，
，，故
由，可得，且．
故
因此 ，
根据对勾函数的性质：在上单调递减，
可知，
又，
故，可得．
所以，直线l斜率的取值范围为，
直线l倾斜角的取值范围为.
21. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记．
（1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值；
（2）若，，且，．求的值及函数的解析式；
（3）若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立．
【答案】（1）是，
（2）当时，，当时；
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得；
（2）先由函数最值之差为1可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式；
（3）必要性：分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得；充分性：采用反证法，如果函数不单调，则函数在局部的上最值差大于整体上函数最值差，出现矛盾，得证充分性.
【小问1详解】
对任意，所以，
又因为，且，
所以，故函数属于集合．
由，，由二次函数的性质可知，．
故.
【小问2详解】
由可知，存在满足．
又，故必有．
因此必有，且，所以，
又，，所以或
当时，由题意，对任意，，，即.
又因为，即，故．
故.
当时，由题意，对任意，，，即，
又因为，，即，故
．
综上，当时，；当时；.
【小问3详解】
先证必要性：若是定义在上的增函数，
设任意正实数、满足，
则，，．
因此，得证．
若是定义在上的减函数，
设任意正实数、满足，
则，，．
因此，得证．
综上，必要性得证.
再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调，
则必存在，使得或．
不妨设，且是函数在区间上的最大值．
设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为
由题，，，
故，又，
故
即，
即，即，
，矛盾．
因此假设不成立.是上的单调函数．
因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数，
恒成立
甜度偏好分数
人数
10
25
20
30
10
5
甜度偏好分数
人数
10
25
20
30
10
5
1
2
3
1
2
3