2023届上海市金山区高考二模数学试卷(含答案)

这是一份2023届上海市金山区高考二模数学试卷(含答案)，共10页。
2022学年第二学期质量监控高三数学试卷（满分：150分，完卷时间：120分钟）（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．已知集合，集合，若，则___________．2．若实数x满足不等式，则x的取值范围是_______________．3．双曲线的渐近线方程是______________．4．已知向量，向量，则与的夹角的大小为_____________．5．在的二项展开式中，项的系数为__________（结果用数值表示）．6．若复数（i是虚数单位），则___________．7．已知是定义域为R的奇函数，当时，，则___．8．掷一颗骰子，令事件，，则_______（结果用数值表示）．9．已知正实数a、b满足，则的最小值为___________．10．若函数（常数）在区间没有最值，则的取值范围是____．11．已知函数和的表达式分别为，，若对任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是____．12．已知、、、都是平面向量，且，若，则的最小值为____________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．若实数a、b满足，则下列不等式中成立的是（    ）．（A）      （B）      （C）      （D）14．某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（    ）．（A）讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分（B）讲座前的答卷得分分布较讲座后分散（C）讲座后答卷得分的第80百分位数为95（D）讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差15．如图，在矩形ABCD中，E、F分别为边AD、BC上的点，且，，设P、Q分别为线段AF、CE的中点，将四边形ABFE沿着直线EF进行翻折，使得点A不在平面CDEF上，在这一过程中，下列关系不能恒成立的是（    ）．（A）直线直线CD    （B）直线直线ED（C）直线直线PQ    （D）直线平面ADE16．设是项数为的有穷数列，其中．当时，，且对任意正整数都有．给出下列两个命题：①若对任意正整数都有，则的最大值为18；②对于任意满足的正整数s和t，总存在不超过的正整数m和k，使得．下列说法正确的是（    ）．（A）①是真命题，②是假命题           （B）①是假命题，②是真命题（C）①和②都是真命题                 （D）①和②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在△ABC中，角A、B、C所对边的边长分别为a、b、c，已知，．（1）若，求c；（2）若，求△ABC的面积．18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在正三棱柱中，已知，D是AB的中点．（1）求直线与所成的角的大小；（2）求证：平面⊥平面，并求点B到平面的距离．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网站计划4月份订购草莓在网络销售，每天的进货量相同，成本价为每盒15元．决定每盒售价为20元，未售出的草莓降价处理，每盒10元．假设当天进货能全部售完．根据销售经验，每天的购买量与网站每天的浏览量（单位：万次）有关．为确定草莓的进货量，相关人员统计了前两年4月份（共60天）网站每天的浏览量（单位：万次）、购买草莓的数量（单位：盒）以及达到该流量的天数，如下表所示：每天的浏览量每天的购买量600900天数3624以每天的浏览量位于各区间的频率代替浏览量位于该区间的概率．（1）求4月份草莓一天的购买量X（单位：盒）的分布；（2）设4月份销售草莓一天的利润为Y（单位：元），一天的进货量为n（单位：盒），n为正整数且，当n为多少时，Y的期望达到最大值，并求此最大值．20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知椭圆：（）．（1）已知椭圆的离心率为，求椭圆的标准方程；（2）已知直线l过椭圆的右焦点且垂直于x轴，记l与的交点分别为A、B，A、B两点关于y轴的对称点分别为、，若四边形是正方形，求正方形的内切圆的方程；（3）设O为坐标原点，P、Q两点都在椭圆上，若△OPQ是等腰直角三角形，其中是直角，点P在第一象限，且O、P、Q三点按顺时针方向排列，求b的最大值．   21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若函数在处取得极值，且（常数R），则称是函数的“λ相关点”．（1）若函数存在“λ相关点”，求λ的值；（2）若函数（常数R）存在“1相关点”，求k的值；（3）设函数的表达式为（常数a、b、R且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数a的取值范围．       高三数学评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. ；    2. ；    3. ；    4. ；    5. ；    6. ；7. ；   8. ；   9. ；   10. ；   11. ；   12. ．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13. D；                14. C；                15. B；                16. B．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.（1）由正弦定理得，                                      ……2分则，                                                           ……4分由余弦定理得．                      ……6分（2），所以，，                        ……8分因为，则，                                     ……10分所以．      ……14分18.（1）因为，所以就是所求角．                      ……3分在直角三角形中，，因此，直线与所成的角的大小为．                    ……6分（2）因为平面，平面，所以．又因为D是AB的中点，所以．因为，于是平面，再由平面，所以平面平面．            ……10分过作于，因为平面平面，且平面平面直线，所以，平面，线段的长就是所求距离，，因此，点B到平面的距离为．            ……14分19.（1）由题意知，X所有可能的取值为600，900．，．           ……3分所以X的分布为．                                        ……6分（2）由题意知，草莓一天的需求量最少为600，最多为900，因此只需考虑的情况．若浏览量在，则；若浏览量在，则．                                   ……10分故．所以当一天的进货量n为600（盒）时，Y的期望达到最大值，此最大值为3000元．……14分20.（1）由，得，                                       ……2分则，所以，椭圆的标准方程为．              ……4分（2）设右焦点，左焦点，则，所以，，．由，得．        ……8分正方形的内切圆的圆心为，半径为，故所求圆的标准方程为．                             ……10分（3）设直线的倾斜角为，斜率为k（），则直线OQ的斜率为．                             ……12分设，，则，，，由得，，同理，．                                   ……14分由得，即，整理得（）．                        ……16分注意到且，所以要使上述关于k的一元二次方程有正数解，只需，解得．因此，的最大值为．……18分21. （1）因为在处取得极值（最值），由，得．                                         ……4分（2）记（），在处取得极值且．由得，从而且，故．  ……6分另一方面，由，得．设（），则，所以函数在区间上是严格增函数．                      ……8分注意到，所以方程有唯一实根，即，解得．经检验，函数在处取得极小值，满足题意．综上，k的值为1．                                                   ……10分（3）由得，即．设、为函数的“2相关点”，则且，．另一方面，，则且，．所以，且，解得，，．            ……12分故，（）．设切点为，则切线的斜率，从而切线方程为，将点代入，整理得．                         ……14分设，则函数在R上有三个不同的零点．（），01－0＋0－↘极小值↗极大值↘……16分注意到，，根据单调性可知，函数在区间和上都没有零点，在区间上恰有一个零点，故在区间和各恰有一个零点，所以，解得实数a的取值范围是．                                  ……18分