2026年上海市宝山区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市宝山区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。试卷主要包含了可使用符合规定的计算器答题， 若，则__________等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；
2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；
3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；
4.可使用符合规定的计算器答题.
一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）.
1. 已知集合，则__________.
2. 已知，则__________．
3. 已知是虚数单位，且复数满足，则________．
4. 若是直线的一个法向量，则实数的值为__________.
5. 将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为__________．
6. 已知随机变量，且，那么__________.
7. 设，则的最小值为____________．
8. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______.
9. 若，则__________.
10. 如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________.
11. 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.
12. 已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）·
13. 两个变量x与y之间的回归方程（ ）
A. 表示x与y之间的函数关系； B. 表示x与y之间的不确定关系；
C. 反映x与y之间的真实关系； D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
14. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
15. 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（ ）
A. 为定值，为定值
B. 为定值，不为定值
C. 不为定值，为定值
D. 不为定值，不为定值
16. 设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ）
A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”；
B. 若是“数列”，则可能为常数列：
C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足；
D. 对任意，若，且满足，则是“数列”.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.
17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
18. 已知.
（1）若，求的值；
（2）当时恒成立，求的取值范围.
19. 为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表：
（1）调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值；
（2）当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人.
①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；
②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值.
参考公式：，其中.
参考数据：
20. 将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率；
（3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.
21. 已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）.
（1）若满足，求实数的值；
（2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由：
（3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.
参考答案及其解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】因为集合，所以.
2. 已知，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】
3. 已知是虚数单位，且复数满足，则________．
【答案】；
【解析】
【详解】解：由题意可知： ，则 .
4. 若是直线的一个法向量，则实数的值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】利用直线一般式的法向量形式，结合已知法向量与该法向量平行的性质列比例式求解的值.
【详解】已知直线的方程为 ，
根据直线一般式的法向量性质，的法向量可表示为,
因为是的一个法向量，故与平行，
由向量平行的坐标关系得：，解得.​
【点睛】本题考查直线法向量的概念和向量平行的坐标运算，记住直线一般式的法向量为可快速解题.
5. 将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为__________．
【答案】
【解析】
【详解】边长为2的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体为圆柱，则圆柱的体积为,故填.
6. 已知随机变量，且，那么__________.
【答案】
【解析】
【详解】由可知，正态曲线关于直线对称.
因为和关于对称，所以.
已知，故.
7. 设，则的最小值为____________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，得
，当且仅当时取等号，
所以当时，取得最小值4.
故答案为：4
8. 若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______.
【答案】1
【解析】
【分析】利用函数奇偶性分析求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且，
当时，，
所以，解得：，
所以当时，，所以.
9. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项公式，得的展开式的通项为，令进行求解.
【详解】因为的二项展开式的通项公式为，
的二项展开式的通项公式为，
则的展开式的通项为，
令，则，或，
所以.
10. 如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】以、为基底将目标向量线性表示，通过向量数量积运算建立关于的方程，求解得到角度.
【详解】，
，
所以
，又，
所以，解得，
所以，所以.
11. 已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解.
【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为，
圆的圆心，半径，由椭圆的定义得，
则，
而，当且仅当点在直线上时取等号，
所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.
12. 已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________.
【答案】12
【解析】
【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案.
【详解】设，，当且时，都有，
设表示集合中，满足要求的集合的个数，
若中无，则有个集合满足要求，
若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求，
所以，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
当时，，故，即，
故，，
，，
，，
，，
，
故正整数的最小值为12.
二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）·
13. 两个变量x与y之间的回归方程（ ）
A. 表示x与y之间的函数关系；B. 表示x与y之间的不确定关系；
C. 反映x与y之间的真实关系；D. 是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
【答案】D
【解析】
【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解.
【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．
故选：D.
14. 在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】举反例否定充分性，利用正弦定理并结合题意证明必要性即可.
【详解】对于充分性，设，，显然满足甲，
此时，不是钝角三角形，故充分性不成立；
对于必要性，若是钝角三角形，则，则，
由正弦定理可知，则必要性成立，
即甲是乙的必要不充分条件，故C正确.
故选：C
15. 如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（ ）
A. 为定值，为定值
B. 为定值，不为定值
C. 不为定值，为定值
D. 不为定值，不为定值
【答案】C
【解析】
【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可.
【详解】如图所示，
连接，，，易知平面与对角线垂直，
又平面与对角线垂直，所以平面平面；
同理连接，，，易知平面与对角线垂直，
又平面与对角线垂直，所以平面平面；
又平面平面，平面平面
从而可得，同理可得，又，所以，
同理可得，，
将截面各边展开如图：
由平行关系知，的周长等于为定值；
由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为，
设，则，则的面积，
从而可知是关于的二次函数，不为定值.
16. 设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（ ）
A. 若是公差为2的等差数列，则是“数列”；
B. 若是“数列”，则可能为常数列：
C. 若是“数列”，则不存在正整数，满足；
D. 对任意，若，且满足，则是“数列”.
【答案】D
【解析】
【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D.
【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则，
前项和，
时等号成立，
所以，即是“数列”，故A正确；
对于B，当时，，成立，
即是“数列”时，可能为常数列，故B正确；
对于C，若是“数列”，则，且，
所以，
则，
故，由题意知当，，
结合，得，
因此不存在使，C正确；
对于D，取，，满足，
则，，而，所以不成立，
因此“”不足以保证是“数列”，D错误.
三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.
17. 如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直判定定理，通过证明垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面；
（2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，利用线面角的正弦值公式列方程，求解得到的长度，再由棱锥体积公式得解.
【小问1详解】
如图，连接交于点，可得点是的中点，
因为四边形是边长为1的正方形，所以，
又因为平面，平面，
所以，
由，平面，
得平面；
【小问2详解】
设（），
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，可取，
设直线与平面所成角为，
则，
整理可得，解得或（舍去），即，
故.
18. 已知.
（1）若，求的值；
（2）当时恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）当时无解; 当时
【解析】
【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得.
（2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值
【小问1详解】
已知，.
由，代入得：.
因为，所以，即， 得，解得.
【小问2详解】
由 得 .
当 时, 单调递增, 不等式等价于 , 且真数 .
即 , 且 对 恒成立.
由 得 .
结合 得 .
故 且 对 恒成立.
令 , .
令 ,由 ,得 ,且 .
于是.
这是关于 的二次函数,开口向下,对称轴为.
对称轴 在区间 的左侧,因此函数 在 上单调递减。
又 在 上单调递增,根据“同增异减”可得 在 上单调递减.
所以 , .
故 又 对一切 恒成立.
则需大于 在 上最大值即 .
因为 与 不能同时成立. 故 时无解.
当 时, 单调递减，不等式等价于 , 且真数 .
即 , 且 对 恒成立.
由 得 或 . 结合 , 只需 恒成立.
故 对 恒成立. 由上述分析知 在 上最大值为 , 所以 .
又需 对 恒成立, 即 , 右边最大值为 , 所以 ,结合 得 .
综上所述, 的取值范围是 .
19. 为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表：
（1）调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值；
（2）当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人.
①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；
②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）完善列联表，根据的计算可得出关于的等式，即可解得正整数的值，结合临界值表可得出结论；
（2）①分析可知，抽取的这10男生的人数为6女生的人数为4，利用条件概率公式可求得所求事件的概率；
②随机变量的取值为：，求出期望再解不等式.
【小问1详解】
被调查的男女生人数均为，其中男生中不了解的有，则了解的有，
其中女生中了解的有，则不了解的有，
则可得列联表如下所示：
因，
由题意，可知，又，可得；
【小问2详解】
①当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人，
则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人，
再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，
记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B，
则；
②根据题意可知这人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生，
随机抽取2人，随机变量的取值为，
，
则，
依题意，由，解得，
所以的最大值为.
20. 将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线的斜率；
（3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.
【答案】（1）； （2）证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可；
（2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可；
（3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可.
【小问1详解】
由题意，设所求抛物线的方程为：，
点代入抛物线的方程得：，
所以抛物线的标准方程为：.
【小问2详解】
由题意直线的方程可设为，
联立，代入化简得，
由题意，从而，即，
从而，即;
同理可得，，
，
又，所以，
所以.
【小问3详解】
由（2）可知，
设直线的表达式为，即
联立，代入化简整理得: ,
由故,
从而，，
点到直线的距离，
，
令，则，，
设，则，令，解得（负值舍去）
则当时，,单调递增；
当时，,单调递减；
从而，
即面积的最大值为.
21. 已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）.
（1）若满足，求实数的值；
（2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由：
（3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.
【答案】（1）或
（2）存在，证明见解析
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合列方程组即可求出；
（2）先求出，再根据得到与的关系，然后假设是常数列，即可求出实数；
（3）先根据已知条件得到的性质，再分别证明充分性和必要性.
【小问1详解】
对求导，
，
，，
则，解得或.
【小问2详解】
已知，则，
故，
若是常数列，则，
则，即，
令，则，即在上单调递增，
又，
且是连续函数，由零点存在性定理可得，
存在唯一的，使得，即，
故当时，是常数列，
综上，存在实数使得是常数列.
【小问3详解】
证明充分性：
若恒成立，
则，故（为常数），
则，则（为常数），
是定义域上的增函数，
是增函数，，
又函数是周期函数，设其周期为，即，
而，故，
即是周期函数，周期也为.
证明必要性：
设，设的一个正周期为，的一个正周期为.
由题意，存在对任意实数，都有，
则有最大值，记.
记集合，由为的一个正周期，
则对任意的，均有.
下面用反证法证明是常值函数.
假设不是常值函数，则存在实数，
不妨假设，又由已知是增函数，可得，
又因为是上的增函数，所以，则；
可在集合中取一个元素，满足，且，
再取足够大的正整数，使得，
则，则，
由的的一个正周期，则，
即，即①，
由是上的增函数，则，
若，又由，
可得，这与①式矛盾，
故，又由是上可导（必连续）的增函数，
所以对任意，.
由，则任意，；
则，这与矛盾，
故假设不成立，是常值函数，且.
故，
恒成立，必要性证毕.
综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
男生
女生
合计
了解
不了解
合计
0.05
0.025
0.010
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
男生
女生
合计
了解
不了解
合计