2026年上海市长宁区高三二模数学试卷及答案解析

这是一份2026年上海市长宁区高三二模数学试卷及答案解析，共5页。试卷主要包含了 已知随机变量的分布为， 已知复数满足等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码.
2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分.
3.本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合，，则______.
2. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．
3. 已知向量，，若，则实数________.
4. 在的展开式中，含项的系数为______．
5. 函数，的值域为________.
6. 已知随机变量的分布为
则的期望为________.
7. 设等比数列的前项和为，若，，则_______
8. 在中，是的中点，，，则_________.
9. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
10. 已知复数满足：，且，则的最小值为________.
11. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）
12. 等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
14. 对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要
15. 将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（ ）.
A. B.
C. D.
16. 已知.
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.
对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误；B. ①错误，②正确；
C. ①正确，②正确；D. ①错误，②错误.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.
（1）求该组数据的极差和第25百分位数；
（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）
（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.
求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.
18. 如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
19. 已知（其中，）.
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.
20. 双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.
（1）求的离心率；
（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；
（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.
21. 设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.
（1）设，，若，求实数的值；
（2）设，，若，且，求的值；
（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.
求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”
参考答案及解析：
1、【答案】
【解析】
【详解】集合，，则.
2. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于____________．
【答案】4
【解析】
【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.
【详解】，当，即，时等号成立，
则的最小值为4．
故答案为：4．
3. 已知向量，，若，则实数________.
【答案】
【解析】
【详解】因为，，又，
所以，
则.
4. 在的展开式中，含项的系数为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用二项展开式通项，令的指数为，求出参数的值，再代入通项可得出项的系数.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，因此，在的展开式中，含项的系数为，故答案为.
【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，考查运算求解能力，属于基础题.
5. 函数，的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据正弦函数的单调性判断函数的最大值及最小值，进而可得函数值域.
【详解】因为，由正弦函数的性质得：函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数有最小值，当时，函数有最大值.
所以函数在上值域为.
6. 已知随机变量的分布为
则的期望为________.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据分布列求离散型随机变量的期望可得.
【详解】因为随机变量的分布为
所以.
7. 设等比数列的前项和为，若，，则_______
【答案】63
【解析】
【详解】因为等比数列，所以也成等比数列，即，填63.
8. 在中，是的中点，，，则_________.
【答案】7
【解析】
【详解】因为在中，是的中点，所以，所以.
又，所以，所以.
所以，.
9. 将4个不同的小球依次随机投入3个篮子中，每个篮子不空的概率为______（用分数表示）.
【答案】
【解析】
【分析】利用分组分配法与古典概型概率公式计算即得.
【详解】4个不同的小球依次随机投入3个篮子，每个小球均有3种投法，故总投法数为种；
要求每个篮子不空，需使其中一个篮子放2个球，另两个篮子各放1个球，故有投法数为种.
由古典概型概率公式，可得概率为：.
10. 已知复数满足：，且，则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】设，由题意易得，，表示出即可求出答案.
【详解】设
则，
化简得：，
，
又
所以
所以
所以的最小值为.
11. 如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为50cm，宽均为10cm.点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为.为了使，则、两点间距离为_________cm.（精确到）
【答案】
【解析】
【分析】在中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解.
【详解】中，，所以.
所以，.
延长，交于点，则与相似，所以.
所以，所以，
所以.
中，由正弦定理得，即，
所以.
所以
所以、两点间距离为.
12. 等腰的三个顶点均在椭圆上，且、、中有且仅有两个点是椭圆的顶点，则满足条件的共有________个.
【答案】20
【解析】
【详解】如图所示：
由题意可得
以或或或为等腰三角形的底边，
在两侧可各作一个等腰三角形，共有个；
以或或或为等腰三角形的腰，
则，
设另一点为，
若，
即，
由，解得，符合题意；(舍去)；
同理，若，
即，
由，解得，不符题意；
故只能，
这样的点关于轴对称，共有2个，
故共有个；
以为腰，
因为，
设另一点为，
若，
即，
由，解得，
同理若，
即，
由，解得，
这样的点关于轴对称，共有4个；
若为底，则三角形中有三个点是椭圆的顶点，不合题意；
综上，共有个这样的等腰三角形.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐一分析四个选项的奇偶性和单调性即可得出答案.
【详解】A选项，因为是偶函数，且在上递减，故A错误；
B选项，因为是奇函数，在R上是增函数，故B正确；
C选项，因为是非奇非偶函数，故C错误；
D选项，因为函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故D错误.
故选：B.
14. 对于随机事件、，“”是“、互相独立”的（ ）条件.
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 非充分非必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件概率公式、独立事件的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，又，所以，
从而有，所以、互相独立，充分性成立；
当、互相独立时，则，所以，必要性成立.
综上，“”是“、互相独立”的充要条件.
15. 将下列平面图形沿等边三角形的边折起，不能折成如图所示几何体的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】该几何体上的点是一条棱的两端点.对于A，B，D项，在折叠时，这两点会被带到几何体的两个不同顶点，所有面可以无重叠地闭合，形成完整的双三棱锥.
而对于B，折叠后，点和点是相对的两个顶点.
16. 已知.
①存在，使得函数在上严格增；
②对于任意，直线与曲线都相切且有无数个切点，每个切点的横坐标都不是函数的极值点.
对于以上两个结论，下列判断正确的是（ ）
A. ①正确，②错误；B. ①错误，②正确；
C. ①正确，②正确；D. ①错误，②错误.
【答案】C
【解析】
【分析】利用导数的正负分析单调性，利用导数的几何意义来求切线斜率即可得到判断.
【详解】对求导得：
因为，对，的最小值为，
若取，则，即对任意恒成立，
此时在上严格递增，结论①正确；
设直线与曲线的切点为,
切线斜率等于直线斜率:，
代入导数得，
因为,故，得,
切点同时在曲线和直线上：，
得,同时满足的解为，
对任意，都有无数个这样的切点，因此直线恒与曲线相切且有无数切点，
当时，，
所以每个切点的横坐标都不是函数的极值点，故结论②正确.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 一次校内常规体检后，数学建模活动小组学生随机抽取了10名学生体重数据（单位：kg）：55，58，62，74，88，68，54，52，56，86.
（1）求该组数据的极差和第25百分位数；
（2）依据体检数据，求得这10名学生体重（单位：kg）关于身高（单位：cm）的回归方程为，已知这10名学生身高（单位：cm）的平均数为176.3，求的值（精确到0.1）
（3）体重（kg）与身高（m）平方的比称为体重指标，体重指标不低于28.0称为肥胖，为了解该校学生肥胖是否与性别有关，从已获得数据中随机抽样得到了如下列联表.
求表中的值.已知零假设为：肥胖与性别无关，计算男生肥胖人数的预期值（精确到0.1）.
【答案】（1）36；55
（2）
（3）；
【解析】
【分析】（1）先将数据从小到大排列，进而最大值减最小值可得极差，利用求百分位数步骤可得第25百分位数；
（2）先求，将代入回归方程可求；
（3）根据列联表的性质可得，因肥胖与性别无关，故.
【小问1详解】
将数据从小到大排列：52，54，55，56，58，62，68，74，86，88，
故极差，
因不为整数，故第25百分位数是第三个数为55.
【小问2详解】
，
因回归方程为过样本中心点，故，
得
【小问3详解】
由列联表的性质，女生不肥胖人数为，女生人数总计，
所以，
男生肥胖的预期值.
18. 如图，是圆锥顶点，是底面圆心，点、在底面圆周上，，.
（1）若圆锥的侧面积为，求圆锥的体积；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的平面角的正切值
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件求圆锥的高，再求体积；
（2）首先根据线面角求，再根据垂直关系，构造二面角的平面角，即可求解.
【小问1详解】
设圆锥的底面半径为，母线为，，
圆锥的侧面积，所以，
则圆锥的高，
则圆锥的体积；
【小问2详解】
因为平面，平面，
所以，又因为，，平面，
所以平面，则与平面所成角为，所以，
又因为，所以，取的中点，连结，，
因为，，
所以，，为二面角的平面角,
因为，，
所以，，
所以二面角的平面角的正切值为.
19. 已知（其中，）.
（1）若函数的图象过点，求不等式的解集；
（2）若恰有两个不同的实数，使得，，成等差数列，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入点坐标后求得函数的解析式，根据其单调性和定义域解不等式即可；
（2）先根据等差数列得方程有两个不同的实数根，且两根都大于，进而对讨论，结合二次函数根的分布理论可得.
【小问1详解】
将代入，可得，得，
故，该对数函数为定义在上的减函数，
故由可得，解得，
故不等式的解集为
【小问2详解】
由已知可得，
即，故，
整理可得，故，得，
由题意可知方程有两个不同的实数根，且两根都大于，
设，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，解得，
当时，，即函数在区间上有两个零点，
故，不等式无解，
综上可得实数的取值范围为
20. 双曲线经过点，不垂直轴的直线与交于不同于的、两点，直线、分别与轴交于点、.
（1）求的离心率；
（2）设直线与轴交于点，且，求点的横坐标；
（3）若、关于原点对称，证明：直线经过定点.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程求得，进而利用公式可得离心率；
（2）设出点的坐标，利用坐标运算，结合向量关系，联立求解即可；
（3）先求得，设直线，与双曲线方程联立，由韦达定理得，即可求解定点.
【小问1详解】
将代入双曲线方程可得：，
因为双曲线中，所以，
即离心率： ；
【小问2详解】
设，直线方程为，
令，得，即可知，
令，得，即可知，
由，可得：，
则由纵坐标对应相等可得 ，
由（1）知双曲线化简为，代入得，
解得或（因为此时与点重合故舍去），即；
【小问3详解】
设，由关于原点对称得，
计算得直线的斜率可得
所以有，
设直线，联立，
可得：，
设，
由韦达定理得，
由可得：，
整理得：，
所以，
所以，
代入韦达定理可得：，
所以，
所以，
所以，
所以，则或，
当时，直线恒过点，不符合题意，
故，此时直线恒过点.
21. 设函数定义域为，区间，记函数在区间上的最大值为，最小值为.
（1）设，，若，求实数的值；
（2）设，，若，且，求的值；
（3）已知，，且对任意闭区间，与均存在.
求证：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，当，且时，均有.”
【答案】（1）
（2）或或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）讨论在区间上的单调性，则可找到其最小值，即可求出答案；
（2）讨论，，，分别求出，即可求出答案；
（3）必要性直接证明即可，利用反证法再证明充分性.
【小问1详解】
由题意知函数，在区间上的最小值为，
由题意得，
①当时，恒成立，
在区间上单调递增，无最小值，不满足题意；
②当时，当时，，
在区间上单调递减，
当时，，
此时在区间上单调递增，
此时，满足题意；
③当时，恒成立，
在区间上单调递减，无最小值，不满足题意；
综上所述，.
【小问2详解】
由题意得,
当或时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
又，
①当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
此时，
因为，所以，
又在区间上单调递减，即，
所以，故；
②当时，在区间上单调递减，
此时，满足；
③当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时，
因为，在区间上单调递减，
所以，则，得到，解得，
综上所述：或或.
【小问3详解】
必要性：若在区间上严格增，
设，
因为在区间上严格增，
所以，
又，，
所以，又在区间上严格增，
所以，必要性成立；
充分性：假设在上不严格增，
则存在，使得，
令，设，，
由函数在区间连续，
所以必存在，使得，
令，则，，
由于，函数在区间上不可能是严格增函数，
若函数在区间上为常数，可取，
则，与题设矛盾；若函数在区间上不为常数，
则其最大值与最小值不可能同时在两个端点取到，
故是的真子集，即与题设矛盾.
因此假设不成立，在上严格增，充分性成立.
综上所述：“在区间上严格增”的充要条件是“对于任意闭区间、，
当，且时，均有.”
男生
女生
总计
观察值
预期值
观察值
预期值
不肥胖
99
168
肥胖
总计
120
200
男生
女生
总计
观察值
预期值
观察值
预期值
不肥胖
99
168
肥胖
总计
120
200