2024高考数学一轮总复习（导与练）第六章第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

第3节　平面向量的数量积及平面向量的应用

 [选题明细表]

1.已知|a|=2,向量a在向量b上的投影为-,则a与b的夹角为(　D　)

A.     B.     C.     D.

解析:设a与b的夹角为α(0≤a≤π),则a在向量b上的投影为|a|cos α=2cos α=-,所以cos α=-,所以α=.

2.向量a=(1,2),b=(x,1).若(a+b)⊥(a-b),则x等于(　C　)

A.-2    B.±     C.±2    D.2

解析:法一　a+b=(1+x,3),a-b=(1-x,1),因为(a+b)⊥(a-b),

所以(a+b)·(a-b)=0,

即(1+x)(1-x)+3=0,解得x=±2.

法二　因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=0,所以a2-b2=0,

所以|a|=|b|,所以x=±2.

3.已知a,b是相互垂直的单位向量,与a,b共面的向量c满足a·c=

b·c=2,则c的模为(　D　)

A.1    B.      C.2     D.2

解析:由题意知a,b是相互垂直的单位向量,不妨设a=(1,0),b=(0,1),设c=(x,y),由a·c=b·c=2,可得x=y=2,即c=(2,2),则|c|=

=2.

4.在四边形ABCD中,=,且·=0,则四边形ABCD是(　B　)

A.矩形      B.菱形

C.直角梯形   D.等腰梯形

解析:由=知四边形ABCD为平行四边形,

又因为·=0,即▱ABCD的两条对角线互相垂直,所以四边形ABCD为菱形.

5.(多选题)如图,点A,B在圆C上,则·的值(　BC　)

A.与圆C的半径有关 

B.与圆C的半径无关

C.与弦AB的长度有关 

D.与弦AB的长度无关

解析:如图,连接AB,过C作CD⊥AB交AB于D,则D是AB的中点,故·=||·||·cos∠CAD=||·||·=,故·的值与圆C的半径无关,只与弦AB的长度有关.

6.已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,且∠DAB=90°,AB=2,AD=1,若点Q满足=2,则·等于(　D　)

A.-    B.     C.-     D.

解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则B(2,0),C(1,1),D(0,1).

又=2,所以Q(,0),

所以=(-,1),=(-,1),

所以·=+1=.

7.已知向量a,b均为单位向量,若它们的夹角是60°,则|a-3b|等于

　　　      . 

解析:|a-3b|===.

答案:

8.(2022·全国甲卷)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=　              . 

解析:(2a+b)·b=2a·b+b2=2|a|·|b|·cos<a,b>+|b|2=2×1×3×+

32=11.

答案:11

9.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,BC=10,则·=　　　　. 

解析:如图所示,由极化恒等式,易得·=-=32-52=-16.

答案:-16

10.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过(　C　)

A.△ABC的内心 

B.△ABC的垂心

C.△ABC的重心 

D.△ABC的外心

解析:取AB的中点D(图略),

则2=+,

因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],

所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]=+,

而+=1,

所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.

11.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是(　C　)

A.1     B.2 

C.     D.

解析:如图所示,设⊥,记=a,=b,=c,M为AB的中点,由极化恒等式有(a-c)·(b-c)=·=||2-=0,

所以||2==,可知是有固定起点,固定模长的动向量.点C的轨迹是以AB为直径的圆,且点O也在此圆上,所以|c|的最大值为圆的直径长,即为.

12.(2023·山东济南模拟)如图,△ABC是边长为3的等边三角形,D在线段BC上,且=2,E为线段AD上一点,若△ABE与△ACD的面积相等,则·的值为(　D　)

A.        B.- 

C.        D.-

解析:因为D在线段BC上,且=2,所以S△ACD=S△ABD,又E为线段AD上一点,因为△ABE与△ACD的面积相等,所以S△ABE=S△ABD,E为AD的

中点,如图建立平面直角坐标系,则B(0,0),A(,),D(2,0),C(3,0),

E(,),

所以=(,),=(,-),

所以·=×-×=-.

13.已知平面向量a=(,),则与a夹角为45°的一个非零向量b的坐标可以为　　     　　.(写出满足条件的一个向量即可) 

解析:设b=(x,y),所以a·b=x+y=··,所以=x+y,所以xy=0,且b为非零向量,因为x=1,y=0满足题意,

所以b=(1,0).

答案:(1,0)(答案不唯一,满足b=(x,y),xy=0,且x2+y2≠0的任意一个均可)

14.如图所示,一个物体被两根轻质细绳拉住,且处于平衡状态,已知两条绳上的拉力分别是F1,F2,且F1,F2与水平线夹角均为45°,

|F1|=|F2|=10 N,则物体的重力大小为　　　　 N. 

解析:如图所示,因为|F1|=|F2|=10 N,

所以|F1+F2|=10×=20 N,

所以物体的重力大小为20 N.

答案:20

15.已知向量a,b,c满足|a|=4,|b|=2,<a,b>=,(c-a)·(c-b)=-1,则|c-a|的最大值为　　　　. 

解析:设=a,=b,=c,以OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系(图略),因为|a|=4,|b|=2,a与b的夹角为,则A(4,0),B(2,2),设C(x,y),因为(c-a)·(c-b)=-1,所以x2+y2-6x-2y+

9=0,即(x-3)2+(y-1)2=1表示以(3,1)为圆心,1为半径的圆,|c-a|表示点A,C间的距离,即圆上的点与A(4,0)间的距离,因为圆心到A的距离为,所以|c-a|的最大值为+1.

答案:+1