2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第四节函数的对称性

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第二章函数第四节函数的对称性，共9页。

2．会利用对称公式解决问题．
问题思考·夯实技能
【问题1】 已知函数f(x)是奇函数，则函数f(x＋1)的图象关于点(－1，0)对称．反之，已知函数f(x＋1)是奇函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
【问题2】 已知函数f(x)是偶函数，则函数f(x＋1)的图象关于直线x＝ －1对称．反之，已知函数f(x＋1)是偶函数，则函数f(x)的图象关于什么对称？
关键能力·题型剖析
题型一 轴对称问题
例1 (1)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝lg2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和为( )
A．2 B．3
C．4 D．－1
(2)[2024·安徽芜湖模拟]已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，且y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(0) B．f(2)>f(0)
C．f(－2)f(0)
[听课记录]



题后师说
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．
巩固训练1
(1)定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上是增函数，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则( )
A．f(－1)f(3)
C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3)
(2)已知f(x＋1)是R上的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，则f(1.4)＝( )
A．1.4 B．3.4
C．1.6 D．3.6
题型二 中心对称问题
例2 (1)已知函数f(x)的定义域为R，且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称．当x>0时，f(x)＝，则f(－2)＝( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
[听课记录]

题后师说
函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点()成中心对称．
巩固训练2
(1)[2024·北京海淀模拟]下列函数中，没有对称中心的是( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x3
C．f(x)＝tan x D．f(x)＝2|x|
(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋b的图象关于点(1，1)对称，则b＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
题型三 两个函数的图象的对称问题
例3 [2024·江西南昌模拟]设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－5)与函数y＝f(1－x)的图象关于( )
A．直线y＝3对称 B．直线x＝3对称
C．直线y＝2对称 D．直线x＝2对称
[听课记录]



题后师说
函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
巩固训练3
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象( )
A．关于x＝1对称 B．关于x＝3对称
C．关于y＝3对称 D．关于(3，0)对称
1.下列函数与y＝ex关于x＝1对称的是( )
A．y＝ex－1 B．y＝e1－x
C．y＝e2－x D．y＝ln x
2．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点( )
A．(－1，2) B．(1，2)
C．(－1，－2) D．(－2，1)
3．已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是( )
A．f(－1)C．f(2)4．定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，当x∈[0，1)时，f(x)＝，则f(－)＝( )
A． B． C．－ D．－
5．已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，且当x≥2时，f(x)＝x2－6x＋5，则f(1)＝______．
第四节 函数的对称性
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：关于点(1，0)对称．
【问题2】 提示：关于直线x＝1对称．
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)根据f(1＋x)＝f(－x)，可知：f(x)关于x＝对称，
那么要求函数f(x)在[－2，0]上的最大值与最小值之和，
即求函数f(x)在[1，3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝lg2(3x－1)单调递增，所以最小值与最大值分别为：f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
(2)y＝f(x＋1)是偶函数，则y＝f(x)关于x＝1对称，
又因为y＝f(x)在(1，＋∞)上单调递增，则y＝f(x)在(－∞，1)上单调递减，
所以f(1)f(0)，
根据函数y＝f(x)关于x＝1对称，可知，f(2)＝f(0)，则f(－2)>f(2)，只有D正确．
答案：(1)C (2)D
巩固训练1 解析：(1)因为f(x＋2)＝f(2－x)，
所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，
所以f(3)＝f(1)，
由于f(x)在(－∞，2)上是增函数，
所以f(－1)(2)因为f(x＋1)是R上的偶函数，
所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，
当0≤x≤1时，f(x)＝x＋1，
所以f(1.4)＝f(0.6)＝0.6＋1＝1.6.
答案：(1)A (2)C
例2 解析：(1)因为将y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位长度后得到函数y＝f(x)的图象且y＝f(x＋1)的图象关于点(－1，0)成中心对称，
所以y＝f(x)的图象关于原点成中心对称，则y＝f(x)在R上是奇函数，
所以f(－2)＝－f(2)＝－＝－1.
(2)因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称，y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0，1)对称，则交点关于(0，1)对称，所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
答案：(1)C (2)4
巩固训练2 解析：(1)f(x)＝的对称中心是(－1，0)，A不正确；f(x)＝x3的对称中心是(0，0)，B不正确；f(x)＝tan x的对称中心是(，0)，k∈Z，C不正确；f(x)＝2|x|结合指数型函数的图象可知函数无对称中心，D选项正确．
(2)∵f(x)图象关于点(1，1)对称，∴f(x)＋f(2－x)＝2，
又f(2－x)＝(2－x)3＋a(2－x)2＋(2－x)＋b
＝－x3＋(a＋6)x2－(4a＋13)x＋10＋4a＋b，
∴f(x)＋f(2－x)＝(2a＋6)x2－(4a＋12)x＋10＋4a＋2b＝2，
∴，解得a＝－3，b＝2.
答案：(1)D (2)D
例3 解析：函数y＝f(1－x)是由y＝f(－x)向右平移一个单位得到，
函数y＝f(x－1)是由y＝f(x)向右平移一个单位得到，
又函数y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，
所以函数y＝f(1－x)与y＝f(x－1)关于直线x＝1对称，
又y＝f(x－5)是由y＝f(x－1)向右平移4个单位，
所以函数y＝f(1－x)与函数y＝f(x－5)关于直线x＝3对称．
答案：B
巩固训练3 解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
答案：A
随堂检测
1．解析：f(x)＝ex关于x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，即y＝e2－x.
答案：C
2．解析：函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2)．
答案：A
3．解析：因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)答案：D
4．解析：因为f(x)的图象关于直线x＝－1对称，所以f(x)＝f(－2－x)，
因为f(x)为奇函数，且当x∈[0，1)时，f(x)＝，
所以f(－)＝f(－2＋)＝f(－)＝－f()＝－＝－.
答案：C
5．解析：因为函数f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，
所以当x＝1时，f(1)＝f(3)＝32－6×3＋5＝－4.
答案：－4