2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 049-课时作业44 平面向量中的最值（范围）问题（教用）

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单选题每小题5分，多选题每小题6分，填空题每小题5分，共31分.
1．已知e为单位向量，向量a满足a⋅e=3,|λe−a|=1，则|a|的最大值为（ ）
A. 9B. 3C. 10D. 10
【答案】C
【解析】根据已知条件得(λe−a)2=λ2−2a⋅eλ+|a|2=λ2−6λ+|a|2=1，即|a|2=−(λ2−6λ−1)=−(λ−3)2+10≤10，所以|a|≤10，即|a|的最大值为10，故选C.
2．已知单位向量a,b的夹角为θ ，若|a+b|>1，则θ 的取值范围为（ ）
A. [0,π3)B. [0,2π3)C. (π3,2π3)D. (2π3,π)
【答案】B
【解析】因为向量a,b为单位向量，且|a+b|>1，所以|a+b|2>1，即|a|2+2a⋅b+|b|2>1，即1+2csθ+1>1,化简得csθ>−12，因为向量a,b的夹角θ∈[0,π]，所以θ∈[0,2π3).故选B.
3．（2025·福建泉州模拟）已知向量e1,e2不共线，AB=λe1+e2,AC=2e1+μe2，其中λ>0,μ>0，若A,B,C三点共线，则2λ+μ 的最小值为（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】B
【解析】因为A,B,C三点共线，所以存在实数k，使AB=kAC，即λe1+e2=k(2e1+μe2)，
又向量e1,e2不共线，所以λ=2k,1=μk,整理得λμ=2，又λ>0,μ>0，所以2λ+μ≥22λμ=4，当且仅当2λ=μ ，即λ=1,μ=2时取等号，即2λ+μ 的最小值为4.故选B.
4．（2025·江西抚州模拟）已知非零平面向量a，b，c满足|a|=4，|b−c|=2，若a与b的夹角为π3，则|a−c|的最小值为（ ）
A. 23−2B. 3C. 23+2D. 32
【答案】A
【解析】如图,令OA=a，OB=b，OC=c,则b−c=CB，a−c=CA.
又|b−c|=2，所以点C在以B为圆心，2为半径的圆上,所以|CA|的最小值为|AB|min−2.因为|OA|=4，∠AOB=π3，所以当OB⊥BA时，|AB|取得最小值，为4×sinπ3=23，所以|CA|的最小值为23−2，即|a−c|的最小值为23−2.
5．多选 已知a，b为非零向量，且满足|a|=2，|a−b|=1，则（ ）
A. a，b的夹角的取值范围是[0,π6]
B. |b|的取值范围是[1,3]
C. a⋅b的取值范围是[2,4]
D. |a+b|的取值范围是[3,5]
【答案】ABD
【解析】设a，b的夹角为θ ，θ∈[0,π],由|a−b|=1，得|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=1，又|a|=2，所以4−4|b|csθ+|b|2=1，则csθ=3+|b|24|b|=34|b|+|b|4≥234|b|×|b|4=32，当且仅当34|b|=|b|4，即|b|=3时取等号，所以32≤csθ≤1，所以θ 的取值范围是[0,π6]，A正确；
由32≤csθ≤1，得32≤3+|b|24|b|≤1，等价于∣b∣2−4∣b∣+3≤0,∣b∣2−23∣b∣+3≥0,解得1≤|b|≤3，所以|b|的取值范围是[1,3]，B正确；
因为a2−2a⋅b+b2=1,所以a⋅b=12(3+|b|2)，又|b|2∈[1,9]，所以12(3+|b|2)∈[2,6]，即a⋅b的取值范围是[2,6]，C错误；
|a+b|2=a2+2a⋅b+b2=1+4a⋅b，由a⋅b∈[2,6]，得1+4a⋅b∈[9,25]，
所以|a+b|∈[3,5]，D正确.故选ABD.
6．（2025·天津南开二模）在梯形ABCD中，AB=AD=2，BC=34AD，AC⋅BD=−12，记AB=a，AD=b，则CD=_ _ _ _ _ _ _ _ （用a和b表示）；若点E为BD上的动点，则AE⋅BC的最大值为_ _ _ _ .
【答案】−a+14b； 3
【解析】因为BC=34AD=34b，所以CD=CB+BA+AD=−34b−a+b=−a+14b.
因为AC=AB+BC=a+34b，BD=BA+AD=−a+b，且AC⋅BD=−12，所以(a+34b)⋅(−a+b)=−a2+14a⋅b+34b2=−4+14a⋅b+3=−1+14a⋅b=−12,可得a⋅b=2，
设BE=λBD,λ∈[0,1]，则AE=AB+BE=a+λ(−a+b)=(1−λ)a+λb，
AE⋅BC=[(1−λ)a+λb]⋅34b=32+32λ，故当λ=1时，AE⋅BC取得最大值3.
能力强化练
单选题每小题5分，多选题每小题6分，填空题每小题5分，共16分.
7．（2026·广东执信中学、汕头金山中学、深圳外国语学校联考）在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB⋅AD=4,点P在边CD上，则PA⋅PB的取值范围是 （ ）
A. [−1,8]B. [−1,+∞)C. [0,8]D. [−1,0]
【答案】A
【解析】∵AB=4,AD=2,AB⋅AD=4，∴|AB|⋅|AD|⋅cs∠BAD=4，∴cs∠BAD=12，即∠BAD=60∘ ，以A为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),C(5,3)，D(1,3)，
设P(x,3)(1≤x≤5)，则PA=(−x,−3),PB=(4−x,−3)，
∴PA⋅PB=x(x−4)+3=x2−4x+3=(x−2)2−1，
设f(x)=(x−2)2−1(1≤x≤5)，则f(x)在[1,2)上单调递减，在(2,5]上单调递增，
∴f(x)的最小值为f(2)=−1，最大值为f(5)=8，则PA⋅PB的取值范围是[−1,8]，故选A.
8．（2025·福建南平三模）多选 已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2，则（ ）
A. 当a⋅b=−1时，a与b的夹角为π3
B. 当|a−b|=2时，a在b上的投影向量为18b
C. |a+b|+|a−b|的最大值为25
D. |a+b|+|a−b|的最小值为4
【答案】BCD
【解析】当a⋅b=−1时，可得cs⟨a,b⟩=a⋅b|a|⋅|b|=−11×2=−12，又0≤⟨a,b⟩≤π ，所以⟨a,b⟩=2π3，故A错误；
由|a−b|=2，可得a2−2a⋅b+b2=4，
又|a|=1,|b|=2，所以12−2a⋅b+22=4，
所以a⋅b=12，所以a在b上的投影向量为a⋅b|b|2⋅b=1222b=18b，故B正确；
设a,b的夹角为θ ，则|a+b|=a2+2a⋅b+b2=5+4csθ，|a−b|=a2−2a⋅b+b2=5−4csθ，所以|a+b|+|a−b|=5+4csθ+5−4csθ，
设y=5+4csθ+5−4csθ，则y2=5+4csθ+225−16cs2θ+5−4csθ=10+225−16cs2θ，
因为0≤θ≤π ，所以−1≤csθ≤1，所以0≤cs2θ≤1，
当cs2θ=0时，ymax2=10+10=20，所以ymax=25，故C正确；
当cs2θ=1时，ymin2=10+6=16，所以ymin=4，故D正确.故选BCD.
9．（2025·河北廊坊模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘ ,∠ABC=30∘ ，点P在以BC为直径的半圆内及边界上运动，若AP=λAB+μAC，记2λ+μ 的最大值与最小值分别为m,n，则m+n=_ _ _ _ _ _ .
【答案】72
【解析】设E为AB的中点，连接CE，则AP=λAB+μAC=2λAE+μAC，当点P在CE上时，由三点共线可得2λ+μ=1，此时点P与点C重合，2λ+μ 最小，即n=1.
作直线l与CE平行，且与半圆相切，连接点A与切点，由三点共线知点P在直线l上，即P为切点时，2λ+μ 最大，
设直线l与AB的延长线相交于点M，与AC的延长线相交于点N，
因为AC⊥BC，所以AC为半圆的一条切线，所以NC=NP，
因为∠ACB=90∘ ，E为AB的中点，所以CE=AE=EB，又∠ABC=30∘ ，所以∠CAE=∠CEA=∠PMB=60∘ ,∠ECB=∠EBC=30∘ ，可得△AMN为等边三角形，所以AN=MN，所以AC=PM，
连接PC,由NCAN=NPMN,得PC//AM，又CE//l，所以四边形PCEM为平行四边形，所以PC=EM，∠PCE=∠AMP=60∘ ，又∠ECB=30∘ ，所以∠PCB=30∘ ，设CE=1，则AE=1,BC=3，
连接PB,易知∠CPB=90∘ ,所以EM=PC=3PB=3×12BC=32，
可得AM=AE+EM=52，AMAE=ANAC=52，所以AP=2λAE+μAC=2λ×25AM+μ×25AN，
因为N,P,M三点共线，所以2λ×25+μ×25=1，可得2λ+μ=52，所以2λ+μ 的最大值为52，即m=52，则m+n=52+1=72.
思维创新练
10．（2026·河南一模）（13分）平面上的两个非零向量a，b满足|a+b|=t|a−b|（t为正实数）.
（1） 当a⊥b时，求正实数t的值；
（2） 用t表示a，b夹角的余弦值的取值范围.
【解析】
（1） 因为|a+b|=t|a−b|，所以(a+b)2=t2(a−b)2，
因为a⊥b，所以a⋅b=0，所以a2+b2=t2(a2+b2)，所以t2=1,
又t>0，所以t=1.
（2） 设|a|=k|b|，k>0，a与b的夹角为θ ，
由|a+b|=t|a−b|，得|a|2+|b|2+2|a||b|⋅csθ=t2(|a|2+|b|2−2|a||b|csθ)，
则k2+1+2kcsθ=t2(k2+1−2kcsθ)，即csθ=t2−1t2+1⋅k2+12k①.
若t=1，则由①式得csθ=0，即θ=90∘ .
若t>1，则由①式得csθ≥t2−1t2+1⋅2k2k=t2−1t2+1，当且仅当k=1时等号成立，所以t2−1t2+1≤csθ≤1（当且仅当向量a，b同向时可取1），
若0