2027年高考数学一轮复习 突破练习含答案 062-课时作业56 立体几何中的综合问题（教用）

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1．（15分）如图，
在三棱柱ABC−A1B1C1中，E，F分别为线段AC1，A1C1上的点，AE=λAC1，A1F=λA1C1，λ∈(0,1).
（1） 求证：EF//平面BCC1B1；
（2） 在线段BC1上是否存在一点G，使平面EFG//平面ABB1A1？请说明理由.
【解析】
（1） 证明：由AE=λAC1，A1F=λA1C1，得AEAC1=A1FA1C1，所以EF//AA1，
又在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1//BB1，所以EF//BB1，
又EF⊄ 平面BCC1B1，BB1⊂ 平面BCC1B1，所以EF//平面BCC1B1.
（2） 在线段BC1上存在点G，满足BG=λBC1，使平面EFG//平面ABB1A1，理由如下：
如图，由BG=λBC1，AE=λAC1，得AEAC1=BGBC1，所以EG//AB.
又AB⊂ 平面ABB1A1，EG⊄ 平面ABB1A1，所以EG//平面ABB1A1.
由（1）知EF//AA1，
又AA1⊂ 平面ABB1A1，EF⊄ 平面ABB1A1，所以EF//平面ABB1A1.
又EG∩EF=E,EG,EF⊂ 平面EFG，所以平面EFG//平面ABB1A1.
2．（2025·河南南阳二模）（15分）如图，正四棱锥S−ABCD的底面边长为2，二面角S−AB−C的正切值为6，P为侧棱SD上的点，且SB//平面PAC.
（1） 求直线SB到平面PAC的距离；
（2） 请判断在平面PAC上是否存在一点E，使得△ESB是以SB为底边，2π3为顶角的等腰三角形，若存在，请求出点E的轨迹，若不存在，请说明理由.
【解析】
（1） 连接BD，设BD∩AC=O，取AB的中点G，连接SO,OG,SG，PO.
∵SB//平面PAC，SB⊂ 平面SBD，平面SBD∩ 平面PAC=PO，
∴SB//PO.
又O为BD的中点，
∴P为SD的中点.
易知OG⊥AB，SG⊥AB，且OG=1，
∴∠SGO即为二面角S−AB−C的平面角.
在Rt△SGO中，tan∠SGO=OSOG=6，
∴OS=6.
易知直线SO，AC，BD两两垂直，
∴ 以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示.
则A(0,−2,0)，C(0,2,0)，B(2,0,0)，P(−22,0,62)，
∴AC=(0,22,0)，AP=(−22,2,62)，BC=(−2,2,0).
设平面PAC的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AC→=22y=0,m⋅AP→=−22x+2y+62z=0,令x=3，则m=(3,0,1)，
∵SB//平面PAC，
∴ 直线SB到平面PAC的距离等于点B到平面PAC的距离，
∴ 直线SB到平面PAC的距离为|BC⋅m||m|=|−2×3+2×0+0×1|(3)2+02+12=62.
（2） 不存在满足条件的点E.理由如下：
由（1）可得直线SB到平面PAC的距离为62，OS=6，OB=2，
∴SB=OS2+OB2=22.
设Q为SB的中点，
∵SB//平面PAC，
∴ 点Q到平面PAC的距离为62.
假设在平面PAC上存在点E，使得△ESB是以SB为底边，2π3为顶角的等腰三角形，则有EQ=12SB⋅tanπ6=63.
∵63