2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 025-第五节 椭圆（教用）

这是一份2027年高考数学一轮复习 学案练习含答案 025-第五节 椭圆（教用），共15页。试卷主要包含了了解椭圆的简单应用等内容，欢迎下载使用。
第五节 椭圆
课标要求
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
3.通过对椭圆及其方程的学习，进一步体会数形结合的思想.
4.了解椭圆的简单应用.
回归教材 强基础
1．椭圆的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_ _ _ _ （大于|F1F2|）的点的轨迹.
（2）焦点：两个定点F1，F2.
（3）焦距：两焦点间的距离|F1F2|；半焦距：焦距的一半.
【答案】常数
点拨（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于|F1F2| 的点的轨迹是线段.
（2）平面内与两个定点F1，F2的距离的和小于|F1F2| 的点的轨迹不存在.
2．椭圆的标准方程与几何性质
【答案】F1(−c,0),F2(c,0)； F1(0,−c),F2(0,c)； ca； b2+c2
常考结论
1.以椭圆上的点P(x0,y0)与两焦点为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形，如图所示，当椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)时，设∠F1PF2=θ .
（1）焦点三角形的周长为2(a+c).
（2）|PF1|max=a+c，|PF1|min=a−c.
（3）|PF1|⋅|PF2|≤(|PF1|+|PF2|2)2=a2，当且仅当|PF1|=|PF2|,即P为椭圆的短轴端点时取等号.
（4）4c2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1||PF2|csθ .
（5）S△F1PF2=12|PF1||PF2|sinθ=b2tanθ2=c|y0|，当|y0|=b，即点P为短轴端点时，θ 最大，S△F1PF2取得最大值，为bc.
（6）焦半径公式:|PF1|=a+ex0，|PF2|=a−ex0.
2.已知过焦点F1的弦为AB，则△ABF2的周长为4a.
3.焦点弦（过焦点的弦）中通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，通径长为2b2a.
自主评价
1．概念辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）.
（1） 平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（ ）
（2） 椭圆既是轴对称图形又是中心对称图形.（ ）
（3） 椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与椭圆y2a2+x2b2=1(a>b>0)的焦点相同.（ ）
（4） 椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（ ）
【答案】（1） ×
（2） √
（3） ×
（4） ×
2．（人教A版选择性必修第一册P109练习T1改编）若椭圆x225+y2=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为7，则点P到另一个焦点的距离为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】A
【解析】椭圆x225+y2=1的长轴长2a=10，又点P到椭圆一个焦点的距离为7，所以点P到另一个焦点的距离为2a−7=3.故选A.
3．易错 已知椭圆x22+y2m=1的离心率为12，则m=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】32或83
【解析】当00,6−k>0,1k−4≠6−k,解得k∈(4,5)∪(5,6).
突破核心 提能力
考点一 椭圆的定义及应用
例1 ［2023·全国甲卷（文）·7，5分］设F1，F2为椭圆C：x25+y2=1的两个焦点，点P在C上，若PF1⋅PF2=0，则|PF1|⋅|PF2|=（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
【答案】B
【解析】解法一：因为PF1⋅PF2=0，所以∠F1PF2=90∘ ，由椭圆的方程可知，c2=5−1=4⇒c=2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=42=16，易知|PF1|+|PF2|=2a=25，故(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|⋅|PF2|=16+2|PF1|⋅|PF2|=20，所以|PF1|⋅|PF2|=2.
解法二：因为PF1⋅PF2=0，所以∠F1PF2=90∘ ，从而S△F1PF2=b2tan45∘=1=12×|PF1|×|PF2|，所以|PF1|⋅|PF2|=2.
变式．已知F1,F2分别为椭圆C:x29+y25=1的左、右焦点，点P为C上一点，若|PF1|−|PF2|=2，则（ ）
A. |PF2|=2|F1F2|B. |PF1|=2|F1F2|
C. |PF2|=|F1F2|D. |PF1|=|F1F2|
【答案】D
【解析】由题意可知，F1(−2,0)，F2(2,0)，所以|F1F2|=4，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=6，又|PF1|−|PF2|=2，所以|PF1|=4，|PF2|=2，所以|PF1|=|F1F2|.
例2 （2025·湖北襄阳模拟）已知直线y=k(x−3)与椭圆x225+y216=1交于A,B两点，F1(−3,0)，则△ABF1的周长是_ _ _ _ .
【答案】20
【解析】由题意得c2=a2−b2=25−16=9，所以c=3，则F1为椭圆x225+y216=1的左焦点，且其右焦点为F2(3,0)，所以直线y=k(x−3)经过椭圆x225+y216=1的右焦点F2，由椭圆的定义可知，△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=20.
例3 ［2021·全国甲卷（理）·15，5分］已知F1，F2为椭圆C：x216+y24=1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为_ _ _ _ .
【答案】8
【解析】不妨设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，如图，设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的方程x216+y24=1可得，2a=|PF1|+|PF2|=m+n=8,2c=|F1F2|=43.由P，Q两点关于原点对称，得|OP|=|OQ|，又|OF1|=|OF2|，故四边形PF1QF2为平行四边形.依据|F1F2|=|PQ|，得到四边形PF1QF2为矩形，故PF1⊥PF2.在Rt△F1PF2中，∠F2PF1=90∘ ，则m2+n2=(43)2=48，由(m+n)2=64，得m2+n2+2mn=48+2mn=64，解得mn=8,所以四边形PF1QF2的面积为8.
归纳总结
1.椭圆的定义具有双向作用，即若|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)，则点P 的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之和必为2a.
2.椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程.因此，遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能利用椭圆的定义求解.
考点二 椭圆的标准方程
例4 已知椭圆的中心与坐标原点重合，焦点在坐标轴上，且过点P(35,−4)和点Q(−45,−3)，则该椭圆的方程是 （ ）
A. y225+x2=1B. x225+y2=1或x2+y225=1
C. x225+y2=1D. 以上均不正确
【答案】A
【解析】设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，
因为椭圆过点P(35,−4)和点Q(−45,−3)，所以925m+16n=1,1625m+9n=1,解得m=1,n=125，所以所求椭圆的方程为y225+x2=1.故选A.
例5 （2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，左、右顶点分别为M,N，过F2的直线l交C于A,B两点（异于点M,N），△AF1B的周长为43，且直线AM与直线AN的斜率之积为−23，则椭圆C的标准方程为（ ）
A. x23+y22=1B. x23+y24=1C. x212+y28=1D. x212+y24=1
【答案】A
【解析】由△AF1B的周长为43及椭圆的定义，得4a=43，解得a=3，所以M(−3,0)，N(3,0)，设A(x1,y1)，则x123+y12b2=1，可得y12=b2(1−x123)，则kAM⋅kAN=y1x1+3⋅y1x1−3=y12x12−3=b2(1−x123)x12−3=−b23=−23，解得b2=2，所以椭圆C的方程为x23+y22=1.
例6 （2025·山东泰安模拟）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(−1,0),B(1,0)，G，I分别为△ABC的重心、内心，若GI//x轴，则点C的轨迹方程为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】x24+y23=1(x≠0,且y≠0)
【解析】设C(x,y)，则重心G(x3,y3)，设△ABC内切圆的半径为r，又S△ABC=S△ABI+S△AIC+S△BIC，所以12×|AB|×|y|=|AB|+|CA|+|CB|2r，因为GI//x轴，所以r=|y|3，又|AB|=2，所以|y|=2+|CA|+|CB|2⋅|y|3,所以|CA|+|CB|=4>2=|AB|，所以点C的轨迹方程为x24+y23=1(x≠0,且y≠0).
归纳总结
求椭圆方程的常用方法
（1）定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点的位置写出椭圆的方程.
（2）待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆方程中的a，b.当不确定焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)，再用待定系数法求出m，n的值即可.
考点三 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例7 （2023· 新课标Ⅰ卷·5，5分）设椭圆C1：x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的离心率分别为e1,e2.若e2=3e1,则a=（ ）
A. 233B. 2C. 3D. 6
【答案】A
【解析】由题意得e2=32，又e2=3e1,a>1，所以e1=a2−1a=12，解得a=233（负值舍去），故选A.
例8 （2026·云南师大附中模拟）已知F1，F2分别为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，在椭圆C上存在点P，满足|PF1|=|F1F2|，且点F1到直线PF2的距离为3b，则该椭圆的离心率为（ ）
A. 23B. 13C. 57D. 34
【答案】A
【解析】因为点P在椭圆C上，所以|PF1|+|PF2|=2a，又|PF1|=|F1F2|=2c，所以|PF2|=2a−2c，
在等腰三角形PF1F2中，过F1作F1A⊥PF2，垂足为A，
由点F1到直线PF2的距离为3b，得|F1A|=3b，由勾股定理可知|PF1|2=|PA|2+|F1A|2⇒4c2=[12(2a−2c)]2+(3b)2，又b2=a2−c2，所以2a2−ac−3c2=0⇒3e2+e−2=0⇒(3e−2)(e+1)=0，解得e=23或e=−1（舍去）.
归纳总结
求椭圆离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e=ca 求解；若已知a，b或b，c可借助a2=b2+c2 求出c 或a，再代入公式e=ca 求解.
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助a2=b2+c2，将关系式转化为关于a，c的方程，再将方程两边同时除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程，即可求得e 的值.
注意：在解关于离心率e 的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1) 进行根的取舍.
角度2 与椭圆有关的最值（或范围）问题
例9 ［2021·全国乙卷（文）·11，5分］设B是椭圆C：x25+y2=1的上顶点，点P在C上，则|PB|的最大值为（ ）
A. 52B. 6C. 5D. 2
【答案】A
【解析】由题意可知B(0,1)，设P(x0,y0),则x025+y02=1,整理得x02=5−5y02.|PB|=x02+(y0−1)2=5−5y02+y02−2y0+1=−4y02−2y0+6=−4(y0+14)2+254.
因为−1≤y0≤1,所以当y0=−14时，|PB|取得最大值，为52，故选A.
例10 （2025·山东滨州二模）已知椭圆C:x216+y212=1和圆A:x2−2x+y2=0,P,Q分别为椭圆C和圆A上的动点，若F为椭圆C的左焦点，则|PQ|+|PF|的最小值为（ ）
A. 6B. 5C. 9D. 8
【答案】A
【解析】由椭圆C:x216+y212=1，
可得F(−2,0)，
圆A的方程x2−2x+y2=0可化为(x−1)2+y2=1，则圆心为A(1,0)，半径r=1，
易知椭圆的右焦点F′(2,0)在圆A上，如图.
易知椭圆上一点P到圆A上任意一点Q的最小距离为|PA|−r=|PA|−1，因此可将|PQ|+|PF|的最小值转化为|PA|+|PF|−1的最小值，由椭圆的定义可得|PA|+|PF|−1=|PA|+2a−|PF′|−1=|PA|−|PF′|+7≥−|AF′|+7=6，当点P在(−4,0)处时，取等号，所以|PQ|+|PF|的最小值为6.
例11 已知F1，F2为椭圆C:x216+y212=1的左、右焦点，点P为C上一点，则|PF1|⋅|PF2|的最小值为_ _ _ _ .
【答案】12
【解析】由题意得，a=4,b=23,c=2，a−c≤|PF2|≤a+c，所以2≤|PF2|≤6，
因为|PF1|+|PF2|=2a=8，
所以|PF1|=8−|PF2|，
所以|PF1|⋅|PF2|=8|PF2|−|PF2|2=16−(|PF2|−4)2，
又2≤|PF2|≤6，
所以12≤|PF1|⋅|PF2|≤16，
所以|PF1|⋅|PF2|的最小值为12.
归纳总结
椭圆中求最值（或范围）的方法
（1）利用函数求最值（或范围）:将问题转化为函数的最值（或范围）问题处理时,应注意椭圆中x,y的取值范围.
（2）利用数形结合求最值（或范围）:寻找图形中的几何元素、几何量之间的关系求解.标准方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
图形
范围
|x|≤a，|y|≤b
|x|≤b，|y|≤a
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(−a,0)，A2(a,0)B1(0,−b)，B2(0,b)
A1(0,−a)，A2(0,a)B1(−b,0)，B2(b,0)
焦点坐标
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
半轴长
长半轴长为a，短半轴长为b
离心率
e= _ _ _ _ _ _ ，e∈(0,1)
a ，b ，c 的关系
a2= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _