2026届高考一轮复习基础练数学第四章 三角函数与解三角形(第4节 三角函数的图象与性质)

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知识点40 三角函数的性质及三角函数图象的对称性
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注意：函数y=Asin(ωx+φ)、y=Acs(ωx+φ)的最小正周期T=2π|ω|，函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=π|ω|，其中A≠0，ω≠0。
教材素材变式
1.[多选][人A必修一P214习题5.4第12题变式]下列函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,π)上单调递减的是（ ）
A. y=|sinx| B. y=2csx C. y=−tanx D. y=sin2x
2.[2023年全国乙卷理数第6题改编]已知函数f(x)=sin(ωx+φ)在区间(π6,2π3)单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数f(x)的图像的两条相邻对称轴，若将函数f(x)图像上所有点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图像，则g(x)是（ ）
A. 奇函数且在区间(−π6,π12)上单调递增
B. 偶函数且在区间(−π12,π6)上单调递增
C. 奇函数且在区间(π12,π6)上单调递减
D. 偶函数且在区间(π6,π3)上单调递减
3.[2023年全国甲卷理数第10题改编]函数f(x)的图象由函数y=cs(2x+π6)的图象向左平移π6个单位长度得到，若函数g(x)=f(x)+m在区间[0,π2]上有两个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A. [−1,−12) B. (−1,−12] C. [−12,0) D. (−12,0]
4.[多选][人A必修三P59练习B第1.5题变式]已知A，B是函数f(x)=tan(3x+π6)+1的图象与直线y=3的两个交点，则下列结论正确的是（ ）
A. |AB|min=π3
B. f(x)的定义域为{x∈R|x≠π9+kπ3,k∈Z}
C. f(x)在区间(0,π6)上单调递增
D. f(x)的图象的对称中心为(kπ6−π18,1)，k∈Z
5.[人B必修三P65习题7 - 3B第4(4)题变式]函数f(x)=sin2x+csx(x∈[0,π2])的最大值为（ ）
A. 1 B. 54 C. 32 D. 2
6.[多选][人A必修一P213习题5.4第3题变式]下列定义域均为R的函数是偶函数的是（ ）
A. y=sin(sinx) B. y=cs(sinx) C. y=cs(csx) D. y=sin(csx)
7.[多选][人A必修一P255复习参考题第21题变式]已知函数f(x)=2cs(ωx+φ)(ω>0,00)，x1，x2是方程f(x)=0的两个不相等的实根，且|x1−x2|的最小值为π。
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[π6,m]时，f(x)的值域是[−12,0]，求m的取值范围。
知识点41 三角函数图象的变换
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1.振幅变换：由函数y=sinx的图象变换得到y=Asinx(A>0)的图象，需要将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的A倍。
2.相位变换：由函数y=sinx的图象变换得到y=sin(x+φ)的图象，需要将函数y=sinx的图象上的所有点向左(φ>0)或向右(φ0)的图象，需要将函数y=sinx的图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的1ω。
注意：1.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中A称为振幅，ωx+φ称为相位，φ称为初相。
2.图象平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。
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1.[人A必修一P240习题5.6第1题变式]将函数f(x)=sin2x−12的图象向右平移π6个单位长度，再将所得图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，则g(5π6)=（ ）
A. −12 B. 12 C. −32 D. 32
2.[人A必修一P240习题5.6第3题变式]把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩小到原来的12，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π6个单位长度，得到函数y=sin(4x−5π12)的图象，则f(x)=（ ）
A. sin(8x−π4) B. sin(8x+π4) C. sin(2x−π4) D. sin(2x+π4)
3.[人B必修三P65习题7 - 3B第2题变式]为了得到函数y=2cs(2x−2π3)的图象，只需将函数y=2sinx（ ）
A. 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再向右平移π12个单位长度
B. 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移π12个单位长度
C. 图象向右平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
D. 图象向左平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变
4.[多选][苏教必修一P212练习第5题变式]将函数f(x)=3cs(ωx+π3)−1的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，且与f(x)的图象重合，则ω的值可以为（ ）
A. -6 B. 6 C. 8 D. 12
5.[变式探究]将函数f(x)=sinx的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的值可能是（ ）
A. π6 B. π3 C. π2 D. 3π4
知识点42 由图象确定解析式
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确定y=Asin(ωx+φ)+b的解析式的步骤与方法：
1.求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A=M−m2，b=M+m2。
2.求ω：图象相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为T2（T为函数的最小正周期）；图象相邻的两个最高点（或最低点）的横坐标之差的绝对值为T。再根据T=|2πω|确定ω 。
3.求φ，常用方法如下：
代入法：把图象上的一个已知点的坐标代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与x轴的交点坐标求解（此时要注意交点在递增区间上还是在递减区间上）。
特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口。具体如下：“最大值点”，即图象的“峰点”；“最小值点”，即图象的“谷点”。
平移法：先确定y=Asinωx的图象，再平移得到y=Asin(ωx+φ)的图象。
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1.[一题多变][人A必修一P241习题5.6第4题变式]
变式1正弦型函数：已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|0,−π0,−π20,0