2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲解三角形(高效培优讲义)(原卷版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用第04讲解三角形(高效培优讲义)(原卷版+解析)，共7页。试卷主要包含了正弦定理4，面积公式8，余弦定理11，正、余弦定理在几何中的应用15，正、余弦定理的实际应用20，最值问题25，最值问题29，解三角形综合解答题33等内容，欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc206167438" 考情探究 PAGEREF _Tc206167438 \h 2
\l "_Tc206167439" 知识梳理 PAGEREF _Tc206167439 \h 3
\l "_Tc206167440" 探究核心考点4
\l "_Tc206167441" 考点一 正弦定理4
\l "_Tc206167442" 考点二 面积公式8
\l "_Tc206167443" 考点三 余弦定理11
\l "_Tc206167444" 考点四 正、余弦定理在几何中的应用15
\l "_Tc206167445" 考点五 正、余弦定理的实际应用20
\l "_Tc206167445" 考点六 最值问题（基本不等式法）25
\l "_Tc206167445" 考点七 最值问题（三角函数法）29
\l "_Tc206167446" 考点八 解三角形综合解答题33
\l "_Tc206167447" 三阶突破训练39
\l "_Tc206167448" 基础过关39
\l "_Tc206167449" 能力提升45
\l "_Tc206167450" 真题感知55

一、5年真题考点分布
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后通过集合的运算得出答案。
1正弦定理
① 正弦定理
a( )=b( )=c( )=2R (其中R是三角形外接圆半径)
② 变形
(1) a+b+csin A+sinB+sin C=a( )=b( )=c( )
(2) 化边为角
a= ， b= ， c= .
a : b : c=
ab= ， bc= ， ac= .
3化角为边
sinA= ，sinB= ，sin C= .
③三角形解的个数问题
已知两边a、b和其中一边的对角A，不能确定三角形的形状，此时三角形解可能是无解、一解、两解.
2 面积公式
S∆ABC= = =
3 余弦定理
① 余弦定理
a2= , b2= , c2=
② 变形
csA= ，csB= , cs C=
③ 三角形类型的判断
∠A=π2⇒ ；
∠A>π2⇒ ；
∠A 2，∠ABC=π3，则梯形ABCD的内切圆半径为（ ）
A．2B．3C．2D．22
跟踪训练5．（2025·云南丽江·模拟预测）设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上一点，若点F2关于∠PF1F2的角平分线l的对称点恰好是点P，且F1P⋅F1F2=−49a2，则C的离心率为（ ）
A．13B．23C．12D．37
考点四 正、余弦定理在几何中的应用
典例1．（2025·河北秦皇岛·三模）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B=2C，b=2a，则（ ）
A．△ABC为直角三角形B．△ABC为锐角三角形
C．△ABC为钝角三角形D．△ABC的形状无法确定
典例2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ADB=∠DCA=45∘，∠BDC=30∘，∠BCA=15∘，AB=55，则CD的长为（ ）
A．53B．55C．103D．105
【总结】
1 三角形类型的判断
∠A=π2⇒ b2+c2=a2；∠A>π2⇒ csA=b2+c2−a22bc0 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
2 求某角的最值，可利用余弦定理把最值转化为边之间的最值，此时往往能用上基本不等式；求面积最值实际就是求两边积的最值，此时可用基本不等式的“和定求积”。
跟踪训练1．（2025•萍乡二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，5sinA1+csA+csAsinA=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3B．32C．3D．23
跟踪训练2．（2025•重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，CA→=3CD→−2CB→，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．223C．3D．233
跟踪训练3．（2025•黄浦区三模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acsA，bcsB，ccsC成等差数列，则sinCcsAcsB的最小值为（ ）
A．3B．23C．4D．5
跟踪训练4．（2025•威远一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝2bcsA，则下列4个结论中正确的有（ ）个．
①B＝2A；
②B的取值范围为(0，π4)；
③ab的取值范围为(2，3)；
④1tanB−1tanA+2sinA的最小值为22．
A．0个B．1个C．2个D．3个
考点七 最值问题（三角函数法）
典例1．（2025•辽宁二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE=3，DF＝2，∠DEF＝90°，则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．733B．23C．73D．63
典例2．（2025•甘肃模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则2b2+c2bc的取值范围为（ ）
A．(4315，5915) B．[22，4315)C．[22，5915) D．[22，+∞)
【总结】
求边之间关系式的最值，可利用正余弦定理把边化为角，若式子中含有两个角，利用A+B+C=π化为一个角，再利用三角恒等变换把式子化为y=Asin(ωx+φ)的形式，此时要注意该角的取值范围。
跟踪训练1．（2023•上饶二模）在△ABC中，A=π6，BC=2，则AC−3AB的最小值（ ）
A．﹣4B．−3C．2D．23
跟踪训练2．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．2,10B．2+22,10C．2+22,4+23D．4+23,10
跟踪训练3．（2025•浙江模拟）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsinB+C2=5asin(A+C)，则cb的取值范围为（ ）
A．(25，43)B．(25，53]C．[35，43)D．(35，53)
跟踪训练4．（2025•南通模拟）在△ABC中，若tanB=csA1+sinA，则tanA+2tanB的最小值为 ．
考点八 解三角形综合解答题
典例1．（2025·陕西咸阳·三模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3csinAcsB−asinBsinC=0．
(1)求角B；
(2)若b=23，c＝4，求△ABC的周长；
(3)若a=22，C=5π12，求△ABC的面积.
典例2．（2025·江西新余·模拟预测）若△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且2sinB+sinA−B−π6=sin5π6−C．
(1)求A；
(2)若bcsC+ccsB=1，求△ABC面积的最大值．
跟踪训练1．（2025·广东惠州·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC恰好满足下面四个条件中的三个：①csA=12，②csB=−12，③a=3，④b=1
(1)问△ABC满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求c.
跟踪训练2．（2025·海南海口·模拟预测）已知△ABC，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且1sinA=2csB2sinC+sinB．
(1)求A；
(2)若c=3，S△ABC=332，D为BC边上的中点，求AD的长．
跟踪训练3．（2025·海南·模拟预测）在△ABC中，角A, B, C所对应的边分别为a, b, c且满足csinAb−acsC=3．
(1)求A的大小；
(2)角A的平分线AD与边BC相交于点D，且AD=3，求2b+3c的最小值．
跟踪训练4．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）在平面四边形ABCD中，BC⊥CD，AD=2，∠ACD=30°，∠CAD=45°.

(1)求AC的长.
(2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.
1（2025·贵州贵阳·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=π3,a=3,c=1，则角C的大小是（ ）
A．5π6B．π6C．π3D．π6或5π6
2（2025·河南·三模）在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若C=π3，c2=94ab，则sinA−sinB=（ ）
A．±32B．±156C．±72D．±32
3（2025·山西·三模）在△ABC中，A=45∘，BC=10，AB=322AC，则△ABC的面积是（ ）
A．34B．32C．3D．12
4（2025·四川达州·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.下列条件中能使△ABC唯一确定的是（ ）
A．A=45°，B=60°，C=75°
B．b=3，c=4，B=30°
C．b=3，c=2，B=60°
D．b=12，c=12，C=120°
5（2025·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c，若bcsC+ccsB=2atanA，且a=5．则△ABC外接圆的面积为（ ）
A．2516πB．254πC．25πD．100π
6（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c．若a=3,b=2，则B+C的取值范围是（ ）
A．2π3,5π6B．2π3,π
C．5π6,πD．π2,5π6
7（2024·河北·模拟预测）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=3,b=2,∠BAC的平分线AD的长为465，则BC边上的高线AH的长等于（ ）
A．43B．423
C．2D．433
8（2025·江苏南通·模拟预测）图1是某长方体建筑，图2长方体ABCD−A1B1C1D1是该建筑的直观图，点N在AB的延长线上，MN是垂直于地面的测量标杆，高为ℎm.现测得BC长为am，在M处测得B1点的仰角为α，C1点的仰角为β，则建筑物的高BB1为（ ）（单位：m）
A．ℎ+a⋅sinα+βsinαsinβB．ℎ+a⋅sinαsinβsinα+βsinα−β
C．ℎ+asinα+βsinα−βD．ℎ+a⋅csαcsβsinα+βsinα−β
9（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高度角为36.9°tan36.9°≈34，夏至正午太阳高度角为θ°，表高42厘米，圭面上冬至线与夏至线之间的距离为50厘米，则sinθ−36.9°的值为（ ）
A．12B．13C．22D．33
10（2025·天津·二模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=2acsC−π3．
(1)求A；
(2)若b=23c，且△ABC面积23，
（ⅰ）求a的值；（ⅱ）求cs2B−A．
1（2025·云南玉溪·模拟预测）在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD,AB=2AC=3AD，则sinB=（ ）
A．23B．33C．66D．36
2（2025·江西新余·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=b，且sin2Csin2B=2(1+3sinC).则cb=（ ）
A．23B．32C．3−1D．6+22
3（2025·湖南长沙·二模）已知△ABC的面积为63，A=60∘，AB=3，B的内角平分线交边AC于点D，则S△ABDS△CBD的值为（ ）
A．37B．27C．72D．73
4（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知∠ABM=30∘，∠BAN=45∘，∠MAN=60∘，∠MBN=90∘，AB=25，则MN=（ ）
A．53−1B．52C．53+1D．10
5（2025·河南许昌·模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsA+bcsB=8ccsC，则tanB+tanC的最小值是（ ）
A．32B．332C．94D．33
6（2025·四川成都·模拟预测）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1−c,0,F2c,0，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与曲线C在第一象限交于点P，且S△F1PF2=4a2，则曲线C的离心率为（ ）
A．5+12B．5C．5−1D．3
7（2025·四川广安·模拟预测）已知在△ABC中，角A=60∘，边BC=a.点D在线段BC上满足AD=13AB+23AC，则线段AD长度的取值范围是（ ）
A．(0,3)B．(a3,2a3)C．(a3,a+3a3]D．(a2,a)
8（2024·全国·模拟预测）已知△ABC外接圆的半径为3BC3，D为边BC的中点，AD=12，∠BAC为钝角，则2AC−AB的取值范围是（ ）
A．−2,2B．−2,2C．−1,2D．−1,2
9（2025·河北邢台·三模）在平面直角坐标系中，点A(−1,1)，B与A关于原点O对称，现以x轴为折痕，将x轴下方部分翻折，使其与上方部分构成直二面角， A,B两点相应变成A1，B1两点，将△A1OB1绕直线A1B1旋转一周得到一个旋转体，则该旋转体的内切球的表面积为（ ）
A．π4B．3π4C．3π2D．2π
10（2025·河南信阳·三模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交C于P，Q两点（P在x轴上方)，△F1PQ的周长为8，当∠F1PQ=90°时，△F1PQ的面积为83.
(1)求C的方程；
(2)若C的离心率不大于22，半径为r的圆M与F1P的延长线，F1Q的延长线及线段PQ均相切.
（i）当r=2时，求cs∠F1MF2；
（ii）求|PQ|2r的最大值.
1（2025·全国二卷·高考真题）在△ABC中，BC=2，AC=1+3，AB=6，则A=（ ）
A．45°B．60°C．120°D．135°
2（2023·北京·高考真题）在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
3（2023·全国乙卷·高考真题）正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则EC⋅ED=（ ）
A．5B．3C．25D．5
4（2023·全国乙卷·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若acsB−bcsA=c，且C=π5，则∠B=（ ）
A．π10B．π5C．3π10D．2π5
5（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为4的正方形，PC=PD=3,∠PCA=45°，则△PBC的面积为（ ）
A．22B．32C．42D．62
6（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，BC=CD,存在点A满足∠BAC=16.5°,∠DAC=37°，则∠BCA= (精确到0.1度)
7（2025·北京·高考真题）在△ABC中，csA=−13,asinC=42．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC边上的高．
条件①：a=6；条件②：asinB=1023；条件③：△ABC的面积为102．
8（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sinC=2csB，a2+b2−c2=2ab
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+3，求c．
9（2024·北京·高考真题）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，∠A为钝角，a=7，sin2B=37bcsB．
(1)求∠A；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．
条件①：b=7；条件②：csB=1314；条件③：csinA=523．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
10（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+3csA=2．
(1)求A．
(2)若a=2，2bsinC=csin2B，求△ABC的周长．
5年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025年新Ⅱ卷，第5题,5分
余弦定理
无
2025年北京卷，第16题,10分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2024年上海卷，第11题,5分
正弦定理
两角和差公式
2024年北京卷，第16题,10分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2024年新I卷，第15题,5分
正余弦定理与面积公式
同角三角函数关系
2024年新Ⅱ卷，第15题,10分
正弦定理与余弦定理
三角恒等变换
2023年甲卷，第11题,5分
余弦定理和面积公式
无
2023年乙卷，第6题,5分
余弦定理
平面向量
2023年乙卷，第4题,5分
正弦定理
诱导公式
2023年北京卷，第10题,5分
正弦定理与余弦定理
无
A是锐角
A是直角或钝角
a≥b
a0)的左、右焦点分别为F1,F2，P是椭圆C上一点，若点F2关于∠PF1F2的角平分线l的对称点恰好是点P，且F1P⋅F1F2=−49a2，则C的离心率为（ ）
A．13B．23C．12D．37
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对称特征及余弦定理、数量积定义列式求出离心率.
【详解】由F2关于∠PF1F2的角平分线l的对称点恰好是点P，得PF1=F1F2=2c，
由椭圆的定义得PF2=2a−PF1=2a−2c，设∠PF1F2=α，

在△PF1F2中，由余弦定理得csα=PF12+F1F22−PF222PF1F1F2=4c2+4c2−(2a−2c)22⋅2c⋅2c=c2−a2+2ac2c2，
由F1P⋅F1F2=−49a2，得F1PF1F2csα=−49a2，则2c⋅2c⋅c2−a2+2ac2c2=−49a2，
整理得：c2+2ac−79a2=0，即9e2+18e−7=0，又00 , b>0，则a+b≥2ab (当且仅当a=b时，等号成立).
2 求某角的最值，可利用余弦定理把最值转化为边之间的最值，此时往往能用上基本不等式；求面积最值实际就是求两边积的最值，此时可用基本不等式的“和定求积”。
跟踪训练1．（2025•萍乡二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2，5sinA1+csA+csAsinA=3，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．3B．32C．3D．23
【答案】A
【分析】首先利用同角三角函数的基本关系化简得sinA=35，csA=45，再结合余弦定理以及基本不等式知识得bc≤10，则三角形面积的最大值可求．
【解答】解：因为5sinA1+csA+csAsinA=3，
所以5sin2A+(1+csA)csA(1+csA)sinA=5−4cs2A+csA(1+csA)sinA
=−(4csA−5)(csA+1)(1+csA)sinA=−(4csA−5)sinA=3，
即5﹣4csA＝3sinA，
又因为sin2A+cs2A＝1，A∈（0，π），解得sinA=35，csA=45，
因为a＝2，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccsA，
可得4=b2+c2−85bc≥2bc−85bc=25bc，
所以bc≤10，当且仅当b＝c时取等号，
所以三角形面积S△ABC=12bcsinA=310bc≤310×10=3．
故选：A．
跟踪训练2．（2025•重庆模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB，b+2a＝4，CA→=3CD→−2CB→，则线段CD长度的最小值为（ ）
A．2B．223C．3D．233
【答案】D
【分析】先通过正弦定理得到a2+b2﹣c2＝ab，再通过余弦定理得到C=π3，对向量式整理得CD→=13CA→+23CB→，通过平方，将向量关系转化为数量关系即CD→2=19b2+49a2+29ab，利用基本不等式即可求解．
【解答】解：由（a+c）（sinA﹣sinC）+bsinB＝asinB及正弦定理，
得（a+c）（a﹣c）+b2＝ab，即a2+b2﹣c2＝ab，
由余弦定理得，csC=a2+b2−c22ab=12，
∵C∈（0，π），
∴C=π3．
由CA→=3CD→−2CB→，CD→=13CA→+23CB→，
两边平方，得CD→2=19CA→+49CA→⋅CB→+49CB→2
即CD→2=19b2+49a2+49abcsC=19b2+49a2+29ab=19(b+2a)2−29ab≥19(b+2a)2−19(b+2a2)2=112(b+2a)2，
当且仅当b=2ab+2a=4，即a=1b=2时取等号，
即CD→2≥112(b+2a)2=43，
∴线段CD长度的最小值为233．
故选：D．
跟踪训练3．（2025•黄浦区三模）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若acsA，bcsB，ccsC成等差数列，则sinCcsAcsB的最小值为（ ）
A．3B．23C．4D．5
【答案】A
【分析】根据等差中项的概念和三角恒等变换，化简得tanAtanC＝3，然后将sinCcsAcsB化简为关于tanA，tanC的表达式，利用基本不等式可得．
【解答】解：因为acsA，bcsB，ccsC成等差数列，
所以acsA+ccsC=2bcsB，
由正弦定理得sinAcsA+sinCcsC=2sinBcsB，
可得csB（sinAcsC+csAsinC）＝2sinBcsAcsC，
即csBsin（A+C）＝2sinBcsAcsC，
在△ABC中，sin（A+C）＝sinB＞0，
可得csB＝2csAcsC，
而csB＝﹣cs（A+C）＝﹣csAcsC+sinAsinC，
可得3csAcsC＝sinAsinC＝0，
得tanAtanC＝3，
又在△ABC中，A，C最多有一个是钝角，
所以tanA＞0，tanC＞0，
因为sinCcsAcsB=sin(A+B)csAcsB=sinAcsB+csAsinBcsAcsB
＝tanA+tanB＝tanA﹣tan（A+C）
=tanA−tanA+tanC1−tanAtanC，
由基本不等式得32tanA+12tanC≥232tanA⋅12tanC=3，
所以sinCcsAcsB≥3，当且仅当32tanA=12tanCtanAtanC=3，即tanA＝1，tanC＝3时等号成立，
所以sinCcsAcsB的最小值为3．
故选：A．
跟踪训练4．（2025•威远一模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c﹣b＝2bcsA，则下列4个结论中正确的有（ ）个．
①B＝2A；
②B的取值范围为(0，π4)；
③ab的取值范围为(2，3)；
④1tanB−1tanA+2sinA的最小值为22．
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换可判定①；利用三角形为锐角三角形可得B的范围判定②；利用正弦定理可判定③；利用三角恒等变换及对勾函数的性质可判定④．
【解答】解：因为c﹣b＝2bcsA，由正弦定理得sinC﹣sinB＝2sinBcsA，
又sinC＝sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB+csAsinB﹣sinB＝2sinBcsA，
所以sinAcsB﹣csAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，
因为A，B，C均为锐角，所以A﹣B＝B，即A＝2B，故①错误；
由①知，A＝2B，则有0＜2B＜π2，0＜π−3B＜π2，则有π6＜B＜π4，故②错误；
由正弦定理及A＝2B，可得ab=sinAsinB=2sinBcsBsinB=2csB∈(2，3)，故③正确；
因为1tanB−1tanA+2sinA=sin(A−B)sinBsinA+2sinA=sin(2B−B)sinBsinA+2sinA=1sinA+2sinA，
易知π3＜A＜π2，所以32＜sinA＜1，令t＝sinA，则32＜t＜1，
令f(t)=1t+2t，由对勾函数的性质可知，f(t)=1t+2t在(32，1)上单调递增，
又f(32)=132+2×32=533，f(1)=1+2×1=3，
所以1tanB−1tanA+2sinA=1sinA+2sinA∈(533，3)，故④错误．
故选：B．
考点七 最值问题（三角函数法）
典例1．（2025•辽宁二模）在等边三角形ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且DE=3，DF＝2，∠DEF＝90°，则三角形ABC面积的最大值是（ ）
A．733B．23C．73D．63
【答案】A
【分析】设∠DEB＝θ，由正弦定理，结合三角恒等变换及三角形面积公式求得结论．
【解答】解：设∠DEB＝θ，则∠FEC=π2−θ，∠BED=2π3−θ，∠CFE=π6+θ，
因为∠DEF=π2，DF＝2，DE=3，
所以EF＝1，
在△BDE中，由正弦定理有DEsin∠DBE=BEsin∠BDE，
即3sinπ3=BEsin(2π3−θ)，
所以BE=2sin(2π3−θ)=3csθ+sinθ，
同理，在△ECF中，EC=233sin(π6+θ)=33csθ+sinθ，
所以△ABC的边长BC=BE+EC=3csθ+sinθ+33csθ+sinθ=2213sin(θ+φ)，
其中tanφ=233，因为θ∈(0，π2)，
所以当θ+φ=π2时，BC取得最大值为2213，
所以S△ABC=34BC2≤34×283=733．
故选：A．
典例2．（2025•甘肃模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＝bcsinA+（b﹣c）2，则2b2+c2bc的取值范围为（ ）
A．(4315，5915)B．[22，4315)
C．[22，5915)D．[22，+∞)
【答案】C
【分析】由题意及余弦定理可得2csA＝2﹣sinA，再在锐角三角形中，可得sinA，csA的值，由正弦定理可得bc的范围，进而可得2b2+c2bc的范围．
【解答】解：因为a2＝bcsinA+（b﹣c）2，整理可得：b2+c2﹣a2＝bc（2﹣sinA），
由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝2bccsA，
所以2csA＝2﹣sinA，
在锐角△ABC中，csA＞0，
所以21−sin2A=2﹣sinA，
解得sinA=45或sinA＝0（舍），
所以csA=35，
可得bc=sinBsinC=sin(A+C)sinC=sinAcsC+csAsinCsinC=45tanC+35，
由B+C＝π﹣A，且B∈(0，π2)，π−A∈(π2，π)，解得C∈(π2−A，π−A)∩(0，π2)=(π2−A，π2)，
所以tanC＞1tanA=34，所以1tanC∈(0，43)，
所以bc∈(35，53)，设t=bc，其中t∈(35，53)，
所以y=2b2+c2bc=2t2+1t=2t+1t≥22，当且仅当2t=1t时，即t=22时取最小值22，
由于35＜22＜53，且函数f(t)=2t+1t在(35，22]上单调递减，
函数y=2t+1t在[22，53)上单调递增，
又f(35)=2×35+53=4315，f(53)=2×53+35=5915，
所以函数y∈[22，5915）．
故选：C．
【总结】
求边之间关系式的最值，可利用正余弦定理把边化为角，若式子中含有两个角，利用A+B+C=π化为一个角，再利用三角恒等变换把式子化为y=Asin(ωx+φ)的形式，此时要注意该角的取值范围。
跟踪训练1．（2023•上饶二模）在△ABC中，A=π6，BC=2，则AC−3AB的最小值（ ）
A．﹣4B．−3C．2D．23
【答案】A
【分析】利用正弦定理将边化角，再转化为关于C角的三角函数，结合余弦函数的性质计算可得．
【解答】解：在△ABC中，根据题意及正弦定理可得：
ACsinB=ABsinC=BCsinA=4，
∴AC＝4sinB，AB＝4sinC，
∴AC−3AB=4(sinB−3sinC)=4[sin(5π6−C)−3sinC]
=4(sin5π6csC−cs5π6sinC−3sinC)
=4(12csC+32sinC−3sinC)
=4(12csC−32sinC)=4cs(C+π3)，
又C∈(0，5π6)，∴C+π3∈(π3，7π6)，
∴cs(C+π3)∈[−1，12)，
∴4cs(C+π3)∈[−4，2)，
∴AC−3AB的最小值为﹣4．
故选：A．
跟踪训练2．（2024·四川成都·模拟预测）设锐角△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且c=2,B=2C，则a+b的取值范围为 （ ）
A．2,10B．2+22,10C．2+22,4+23D．4+23,10
【答案】C
【分析】根据正弦定理，转化为三角函数，化简后换元，根据二次函数的单调性求范围即可.
【详解】在△ABC中，由B=2C可得A=π−3C，
由正弦定理asinπ−3C=bsin2C=csinC得：a+b=2sin3C+sin2CsinC=2sinCcs2C+csCsin2C+2sinCcsCsinC=24cs2C+2csC−1
又△ABC为锐角三角形，所以0