2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训11圆锥曲线中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训11圆锥曲线中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了解答新定义型创新题的基本思路是，解决圆锥曲线新定义问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc22479" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc22479 \h 2
\l "_Tc20538" 题型一：卡西尼卵形线 PAGEREF _Tc20538 \h 2
\l "_Tc20850" 题型二：心形线 PAGEREF _Tc20850 \h 6
\l "_Tc4177" 题型三：四叶草曲线 PAGEREF _Tc4177 \h 11
\l "_Tc17994" 题型四：蔓叶线 PAGEREF _Tc17994 \h 16
\l "_Tc24080" 题型五：双纽线 PAGEREF _Tc24080 \h 21
\l "_Tc30048" 题型六：曲线族 PAGEREF _Tc30048 \h 25
\l "_Tc12407" 题型七：其他新定义 PAGEREF _Tc12407 \h 29
\l "_Tc25930" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc25930 \h 36
\l "_Tc6398" 巩固过关 PAGEREF _Tc6398 \h 36
\l "_Tc14859" 创新提升 PAGEREF _Tc14859 \h 45
一、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
二、解决圆锥曲线新定义问题
（1）精准解读新定义，提炼核心特征。将题目给出的新定义（如新型曲线、距离关系、斜率条件等）转化为数学表达式，明确其与椭圆、双曲线、抛物线等已知曲线的联系与区别，抓住定义中的关键约束（如定点、定长、比例关系）。
（2）数形结合转化问题。根据新定义画出示意图，直观分析动点的轨迹或满足的几何条件，将抽象的定义转化为具体的坐标关系或代数方程，借助已知圆锥曲线的性质简化推导。
（3）联立方程规范求解。将新定义转化的表达式与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理、判别式、距离公式等工具计算，验证结果是否符合新定义的范围约束，确保解题过程紧扣定义，不偏离核心条件。
题型一：卡西尼卵形线
典例1-1．（多选）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（ ）
A．C关于x轴和y轴均对称B．的面积的最大值为
C．周长的最小值为6cD．的取值范围为
典例1-2．（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称
C．曲线围成的图形面积不超过D．面积的最大值为1
变式1-1．（多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点在C上，则
C．点N在椭圆上，若，则
D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则
变式1-2．17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
(1)求曲线E的方程;
(2)求的取值范围;
(3)求证：
题型二：心形线
典例2-1．心形线是一种具有独特形状和性质的几何曲线．如图，在平面直角坐标系中，，心形线上任意一点满足，且点是上不在轴上的两点，则（ ）
A．若三点共线，则
B．若三点共线，则
C．内（不含边界）有2个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．上有个整点（横、纵坐标均为整数的点）
典例2-2．（多选）数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，方程表示的曲线C为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形．传说著名的心形线方程是由法国数学家笛卡尔提出的．关于此心形线的性质，正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C关于原点对称
C．曲线C与坐标轴有4个交点
D．曲线C上的点到原点距离的最大值为
变式2-1．（多选）某学习小组用曲线：和抛物线部分曲线围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于两点，点是坐标原点，点是或上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．的最大值为
变式2-2．（多选）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意，已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（ ）
A．B．曲线经过
C．当在曲线上时，D．当在曲线上时，
题型三：四叶草曲线
典例3-1．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线围成的图形面积为B．的最小值是
C．直线PQ的斜率的最大值为1D．的取值范围为
典例3-2．（多选）如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（ ）

A．曲线有4条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
D．四叶草面积小于
变式3-1．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程（如图所示）进行图案绘制.试求曲线围成的封闭图形的面积 .
变式3-2．在平面直角坐标系xOy中，曲线的图象是四叶草曲线，设为E上任意一点，且满足或，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
题型四：蔓叶线
典例4-1．蔓叶线是公元前2世纪古希腊数学家狄奥克勒（Dicle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名.如图所示的曲线就是一条蔓叶线，其方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．点在上
B．直线是的渐近线
C．点到上的点的距离最小值为
D．若过原点（多选）的直线与和抛物线分别交于点（异于点），则
典例4-2．数学的和谐美表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为，该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆与该蔓叶线恰有两个交点，则 ．

变式4-1．（多选）公元前180年，古希腊数学家狄奥克勒斯研究倍立方问题时发现了蔓叶线．已知蔓叶线，，，线段与曲线C交于点M，过点A作x轴的垂线，与直线交于点D，以为直径作圆，交直线于点Q．下列命题正确的是（ ）
A．若点在蔓叶线C上，则
B．
C．
D．
变式4-2．蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下左图所示．在平面直角坐标系中，圆，点是直线上在第一象限内的任一点，直线的倾斜角为（为坐标原点），且交圆于点（与不重合），第一象限内的点在直线上，且满足，一蔓叶线的方程为，如下右图所示．

(1)求蔓叶线上任一点横坐标的取值范围；
(2)证明：点在蔓叶线上；
(3)设直线与蔓叶线交于不同的三点，，，且直线，，的斜率之和为2025，证明：直线过定点．
参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若，，是关于一元三次方程的三个根，则，，．
题型五：双纽线
典例5-1．（多选）数学上“无限大”的符号是“”，该符号的形状常被认为来自几何中的双纽线．已知双纽线过坐标原点，且上的点满足：到两个定点，的距离之积为常数．则（ ）
A．点在上
B．双纽线上满足的点有两个
C．双纽线上点的纵坐标的最大值为1
D．当点在上时，
典例5-2．数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论：
①；
②；
③若点在第一象限，则；
④的周长可以等于．
其中，所有正确结论的序号是 ．
变式5-1．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．已知，，为双纽线上任意一点，则
C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D．曲线关于直线对称的曲线方程为
变式5-2．（多选）中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的最大值是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
题型六：曲线族
典例6-1．几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点；③过定点，则的最大值是（ ）
A．5B．7C．9D．11
典例6-2．若一曲线不属于某曲线族，但该曲线上每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，满足上述条件的曲线叫做该曲线族的包络线．若圆是直线族的包络线，则a，b满足的关系式为 ；若圆是直线族的包络线，则的周长为 ．
变式6-1．（多选）一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这点处相切.下列说法正确的是（ ）
A．若圆是直线的包络线，则有
B．若曲线是直线族的包络线，则的长为
C．曲线是三条过点的直线的包络线，其中则
D．若两曲线和是同一条直线的包络线，则的取值范围是
变式6-2．已知曲线族 （为参数），直线与曲线族交于两点．
(1)若曲线族过定点时，求的值；
(2)求弦长的最大值．
题型七：其他新定义
典例7-1．（多选）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为
B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称
C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆
D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线
典例7-2．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；

(3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
变式7-1．对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：.
(1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标；
(2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在；
(3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值.
变式7-2．已知双曲线的右焦点为，离心率为．
(1)求的标准方程；
(2)设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值；
(3)已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．
巩固过关
1．已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ）
A．B．C．D．
2．一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为 ；若曲线是直线族的包络线，则的长为 .
3．（多选）已知圆，定直线，以原点O为顶点的射线与圆C、直线l分别交于两点，P为上的动点，满足，则点P的轨迹为蔓叶线，且其方程为．下列关于蔓叶线的说法正确的是（ ）
A．
B．若蔓叶线E与抛物线的一个交点的横坐标为3，则
C．的最小值为
D．若点在蔓叶线E上，则
4．（多选）如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上
C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为
D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则
5．（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．的离心率为
6．（多选）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（ ）
A．双纽线是轴对称图形B．的面积的最大值为
C．D．直线与双纽线有三个交点
7．（多选）我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ）
A．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为
B．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于
C．若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则
D．若为拉梅曲线上第一象限内一点，则
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”．
(1)若为“－相伴”，求直线的斜率．
(2)若为“－相伴”．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
创新提升
1．（多选）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ）

A．
B．的面积为16
C．的值比32小
D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为
2．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔：
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线．
3．一般地，平面曲线（为实常数且）在点处的切线方程为.对于椭圆上不同的两点，，称为椭圆在两点处的线性积，并记为.
(1)证明：.
(2)已知，椭圆在两点处的切线交点的轨迹为曲线.
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）已知为椭圆的上顶点，若点与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的方程.
4．已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为．
(1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积；
(2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由；
(3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值．
重难点专训11 圆锥曲线中的新定义问题
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc27913" 解题方法及技巧提炼 PAGEREF _Tc27913 \h 1
\l "_Tc22479" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc22479 \h 2
\l "_Tc20538" 题型一：卡西尼卵形线 PAGEREF _Tc20538 \h 2
\l "_Tc20850" 题型二：心形线 PAGEREF _Tc20850 \h 6
\l "_Tc4177" 题型三：四叶草曲线 PAGEREF _Tc4177 \h 11
\l "_Tc17994" 题型四：蔓叶线 PAGEREF _Tc17994 \h 16
\l "_Tc24080" 题型五：双纽线 PAGEREF _Tc24080 \h 21
\l "_Tc30048" 题型六：曲线族 PAGEREF _Tc30048 \h 25
\l "_Tc12407" 题型七：其他新定义 PAGEREF _Tc12407 \h 29
\l "_Tc25930" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc25930 \h 36
\l "_Tc6398" 巩固过关 PAGEREF _Tc6398 \h 36
\l "_Tc14859" 创新提升 PAGEREF _Tc14859 \h 45
一、解答新定义型创新题的基本思路是：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
二、解决圆锥曲线新定义问题
（1）精准解读新定义，提炼核心特征。将题目给出的新定义（如新型曲线、距离关系、斜率条件等）转化为数学表达式，明确其与椭圆、双曲线、抛物线等已知曲线的联系与区别，抓住定义中的关键约束（如定点、定长、比例关系）。
（2）数形结合转化问题。根据新定义画出示意图，直观分析动点的轨迹或满足的几何条件，将抽象的定义转化为具体的坐标关系或代数方程，借助已知圆锥曲线的性质简化推导。
（3）联立方程规范求解。将新定义转化的表达式与圆锥曲线方程联立，结合韦达定理、判别式、距离公式等工具计算，验证结果是否符合新定义的范围约束，确保解题过程紧扣定义，不偏离核心条件。
题型一：卡西尼卵形线
典例1-1．（多选）在平面内，到两定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线．已知曲线C上的动点P到两定点，的距离之积为，O为坐标原点，则（ ）
A．C关于x轴和y轴均对称B．的面积的最大值为
C．周长的最小值为6cD．的取值范围为
【答案】ACD
【详解】设，因为在平面直角坐标系中，，，动点满足，
所以，
化简得，
对于A，将换成可得，将换成可得，
所以C关于x轴和y轴均对称，故A正确；
对于B，设，则，
所以，故，则，
故面积的最大值为，故B不正确；
对于C，因为，所以，
当且仅当时，周长的最小值为6c，故C正确；
对于D，，所以，
由，可得，所以，所以，
故的取值范围为，故D正确.
故选：ACD.
典例1-2．（多选）平面内到两定点的距离之积为定值的点的轨迹叫做卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是天文学家卡西尼在研究卫星运行规律时发现的.已知曲线上的点到与的距离之积为2，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线的方程为B．曲线关于轴对称
C．曲线围成的图形面积不超过D．面积的最大值为1
【答案】BCD
【详解】设，由题意，，
即，化简得，
即曲线的方程为，故A错误；
对于B，将点代入曲线的方程得：
，即，
所以曲线关于轴对称，故B正确；
对于C，由，
得，解得，
又因为，所以，
所以，
又因为，所以，
所以曲线围成的图形面积不超过，故C正确；
对于D，由C选项知，面积的最大值为，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.
变式1-1．（多选）双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理．椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线．已知曲线C（如图所示）过坐标原点O，且C上的点满足到两个定点，的距离之积为4，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点在C上，则
C．点N在椭圆上，若，则
D．过作x轴的垂线交C于A，B两点，则
【答案】ACD
【详解】由题意，，即，
对于A，因曲线过原点，将代入，解得，故A正确；
对于B，由点在上，得，
化简得，解得，故错误；
对于，椭圆的焦点坐标恰好为与，则，
由，得：，
则，，故C正确；
对于D，设，则，而，则，
又根据勾股定理得，则，化简得，
解得，因此，故D正确；
故选：ACD．
变式1-2．17世纪80年代，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，我们称之为卡西尼卵形线.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，已知两定点，，动点满足，动点P的轨迹为曲线E，直线与曲线E相交于A，B两点，线段AB的中点为M，直线OM的斜率为
(1)求曲线E的方程;
(2)求的取值范围;
(3)求证：
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由题意，
整理可得，
曲线E的方程为；
（2），
由曲线E的方程可知，
，即，
解得，，
，
的取值范围为；
（3）设，，，
由题意可知，
则，
，
由题意可知，
，
由题意，，
，
由可知，，
则，，
，
，
【点睛】方法点睛：涉及中点弦问题，利用点差法列式求解.
题型二：心形线
典例2-1．心形线是一种具有独特形状和性质的几何曲线．如图，在平面直角坐标系中，，心形线上任意一点满足，且点是上不在轴上的两点，则（ ）
A．若三点共线，则
B．若三点共线，则
C．内（不含边界）有2个整点（横、纵坐标均为整数的点）
D．上有个整点（横、纵坐标均为整数的点）
【答案】AD
【详解】设，则由，得，
即，又过点，当三点共线时，
设直线：，，，
由得，
不妨设，，得，，
所以，A正确；
，B错误；
当时，由，得，因为，所以方程无解，即直线与心形线无交点；
又当时，或，结合图形可知，则的整数取值为，
当时，或；
当时，，解得，
此时不为整数，且，
故曲线上或曲线内部的整点的横坐标的取值为，
如图所示，内有，，三个整点；
当时，．
综上，内有个整点，C错误；上有个整点，分别为，，，，D正确．
故选：AD.
典例2-2．（多选）数学上有很多美丽的曲线令人赏心悦目，例如，方程表示的曲线C为心形线，它对称优美，形状接近心目中的爱心图形．传说著名的心形线方程是由法国数学家笛卡尔提出的．关于此心形线的性质，正确的是（ ）
A．曲线C关于y轴对称
B．曲线C关于原点对称
C．曲线C与坐标轴有4个交点
D．曲线C上的点到原点距离的最大值为
【答案】AC
【详解】以换，方程不变，曲线关于轴对称，选项A正确；
同时以换，方程改变，曲线不关于原点对称，选项B错误；
令，得，曲线与轴有两个交点，
令，得，令， ，又在上递增，所以，在上有唯一解，
故方程有两解，即曲线与轴有两个交点，选项C正确；
取，则，
若，
则，
，选项D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用替换法判断曲线对称性，换为判断轴对称，同时换为、为判断原点对称.
变式2-1．（多选）某学习小组用曲线：和抛物线部分曲线围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于两点，点是坐标原点，点是或上的动点，下列说法正确的是（ ）

A．B．
C．D．的最大值为
【答案】ACD
【详解】可变形为，表示以为圆心，2为半径的圆的右半部分，可变形为，表示以为圆心，2为半径的圆的右半部分.
对于A选项，抛物线过点，解得，故A正确；
对于B选项，当点三点共线时，，故B选项错误；
对于C选项，因为是抛物线的焦点弦，所以当为通径时，；
如图：

直线的方程为，由对称性可设，可得，
代入抛物线并整理得，可得
所以
即直线的方程为， ，此时弦最长，
且，故C正确；
对于D选项，由对称性不妨设，当在点时，，
所以，显然离最远的点在上，
且.（：到距离，：到距离）
联立，整理得，则，
则，
所以，
设，
由在上单调递增，
易得在上单调递增，所以的最大值为，故D正确，
故选：ACD.
变式2-2．（多选）数学家笛卡尔研究了很多曲线，传说笛卡尔给公主克里斯蒂娜寄的最后一封信上只有一个数学表达式：，克里斯蒂娜用极坐标知识画出了该曲线图象“心形线”，明白了笛卡尔的心意，已知利用关系式和可将信中表达式转化为直角坐标系下的曲线方程.如图，该曲线图象过点，则（ ）
A．B．曲线经过
C．当在曲线上时，D．当在曲线上时，
【答案】ABD
【详解】因为，所以，
利用关系式得（*），
A选项：因为曲线图象过点，所以此时，
代入（*）得，所以，故A正确；
B选项：因为，所以（*）化为，
所以直角坐标系下的曲线方程为，
代入点，得，满足方程，故B正确；
C选项：因为，所以，故C错误；
D选项：因为，
所以，
当时，；当时，；
所以，故D正确.
故选：ABD
题型三：四叶草曲线
典例3-1．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功，幸福，平安，健康，表达了人们对美好生活的向往，梵客雅宝公司在设计四叶草吊坠时，利用了曲线，进行绘制，点在曲线上，点，则下列结论错误的是（ ）
A．曲线围成的图形面积为B．的最小值是
C．直线PQ的斜率的最大值为1D．的取值范围为
【答案】B
【详解】对曲线方程：，
当时，可化为，即，
故曲线在第一象限是圆心为，半径为的圆上的一段圆弧；
根据对称性可知，该曲线关于轴，轴，以及坐标原点均对称，故其曲线绘制如下：

对A，记点，，显然在曲线上，如下图所示：

因为，故三点共线，则该曲线在第一象限内的面积为一个半圆的面积和面积之和；故曲线围成的图形面积，故A正确；
对B：设点到直线的距离为，则 ，
根据对称性可知，曲线在第三象限内的部分是在圆心为，半径为的圆弧，
数形结合可知，点到直线的距离最小值为，
故，故B错误；
对C：根据题意，作图如下：

数形结合可知，当且仅当为过且与曲线在第四象限内的圆弧相切时，其斜率取得最大值；
根据对称性，曲线在第四象限的部分是在圆心为，半径为的圆弧，
其方程为，
设过点，且斜率存在的直线为，故可得，
整理得：，，解得（舍去）或，
故斜率的最大值为1，故C正确；
对D：记曲线在第一和第二象限圆弧的圆心分别为，如下图所示：

根据圆上一点到圆外一点距离的最值求解，数形结合可知：当点在第一，第四象限时，可以取到最小值；
当点在第二，第三象限时，可取到最大值，为方便，只讨论第一，第二象限的情况.
当点在第一象限时，的最小值为；
当点在第二象限时，的最大值为；
故的取值范围为，故D正确.
故选：B
典例3-2．（多选）如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为，给出下列结论正确的有（ ）

A．曲线有4条对称轴
B．曲线上的点到原点的最大距离为
C．曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【答案】ACD
【详解】对于A，当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；
综上可知：有4条对称轴，故A正确；
对于B，因为，所以，
所以，所以，取等号时，
所以曲线上的点到原点的最大距离为，故B错误；
对于C，设任意一点，所以围成的矩形面积为，因为，
所以，所以，取等号时，
所以围成矩形面积的最大值为，故C正确；
对于D，由B可知，所以四叶草包含在圆的内部，
因为圆的面积为，所以四叶草的面积小于，故D正确；
故选：ACD．
变式3-1．四叶草也叫幸运草，四片叶子分别象征着：成功､幸福､平安､健康，表达了人们对美好生活的向往.梵克雅宝公司在设计四叶草吊坠的时候，利用了曲线方程（如图所示）进行图案绘制.试求曲线围成的封闭图形的面积 .
【答案】
【详解】当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第一象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第四象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第二象限的部分；
当时，方程可化为它表示圆心在，半径为
的圆在第三象限的部分；
综上，四个部分都是半圆，并且它们正好围成了一个封闭的区域.
这个区域的面积可以割成四个半圆和一个正方形，其中正方形的边长就是半圆的直径.
所以总面积为.
故答案为：.
变式3-2．在平面直角坐标系xOy中，曲线的图象是四叶草曲线，设为E上任意一点，且满足或，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【答案】
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
可知，故满足且的点P仅有，共5个．
令，则，由于的图象关于x轴、y轴、坐标原点、对称，
因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况，
令，则，不妨设，则有，
令，则有，化简有，解得或，
则有两个正根1，．
故结合曲线对称性可知在第一象限，横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：．
故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个，
所以任取一点P，该点为格点的概率为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确四叶草曲线的对称性，由此确定符合题意的点的个数.
题型四：蔓叶线
典例4-1．蔓叶线是公元前2世纪古希腊数学家狄奥克勒（Dicle）为了解决倍立方问题发现的曲线，因形似植物藤蔓而得名.如图所示的曲线就是一条蔓叶线，其方程为，则下列结论正确的是（ ）
A．点在上
B．直线是的渐近线
C．点到上的点的距离最小值为
D．若过原点（多选）的直线与和抛物线分别交于点（异于点），则
【答案】ABD
【详解】对于A，将点 代入方程得，即点 满足方程E，
所以点在E上，故A正确；
对于B，因为，且当且，
所以即，故直线是的渐近线，故B正确；
对于C，由对称性取曲线E上的点，
则点与该点距离为，
则，令（舍去）或，
所以在上恒成立，在上恒成立，
所以在上单调递减，在上单调递增，又
所以，所以，故C错误；
对于D，设直线，联立，
所以，
联立，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD
典例4-2．数学的和谐美表现为它能够为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证．在大自然中一些植物的叶子有着明确的数学方程式，如图①蔓叶中从一点出发散开的叶脉所形成的曲线，可近似为，该曲线即为蔓叶线，其图象如图②，若圆与该蔓叶线恰有两个交点，则 ．

【答案】
【详解】根据蔓叶线和圆的对称性，圆与该蔓叶线恰有两个交点，
即当时，圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点，
即方程有一个实数根，
即方程有一个实数根，
令，则，
令，则或（舍），
所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，
所以，
故当时，圆与该蔓叶线恰有两个交点．
故答案为：.
变式4-1．（多选）公元前180年，古希腊数学家狄奥克勒斯研究倍立方问题时发现了蔓叶线．已知蔓叶线，，，线段与曲线C交于点M，过点A作x轴的垂线，与直线交于点D，以为直径作圆，交直线于点Q．下列命题正确的是（ ）
A．若点在蔓叶线C上，则
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】若点在蔓叶线C上，则，
因此且，解得，故A正确．
直线方程为，联立直线与蔓叶线C的方程消去y，
得，即，
故M的横坐标为，纵坐标为．
因此，故B错误．
直线的方程为，所以，所以，故C正确．
对于D，只需验证．连接，则．
由于，而，，，
因此．
在直角中，，即．
因此，所以，故D正确．
故选：ACD
变式4-2．蔓叶线是古希腊数学家狄奥克勒斯在公元前180年为了解决倍立方问题发现的曲线，蔓叶线与半个圆周一起，形状看上去像常春藤蔓的叶子，如下左图所示．在平面直角坐标系中，圆，点是直线上在第一象限内的任一点，直线的倾斜角为（为坐标原点），且交圆于点（与不重合），第一象限内的点在直线上，且满足，一蔓叶线的方程为，如下右图所示．

(1)求蔓叶线上任一点横坐标的取值范围；
(2)证明：点在蔓叶线上；
(3)设直线与蔓叶线交于不同的三点，，，且直线，，的斜率之和为2025，证明：直线过定点．
参考公式：法国数学家弗朗索瓦·韦达提出了三次方程的韦达定理：若，，是关于一元三次方程的三个根，则，，．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】
【详解】（1）因为蔓叶线的方程为，
则且.由于恒成立，所以等价于，解得，
由图知道，蔓叶线的位置，所以，综上，知道.
则蔓叶线上任一点横坐标的取值范围为.
（2）设，已知直线的方程为，将其代入圆的方程，得到.
对进行整理得
解得或，因为点不是原点，所以点横坐标为.
已知，设，，点横坐标为.
根据向量坐标运算，，，因为，所以，.
将代入蔓叶线方程的右边：，
而，即蔓叶线方程右边的值等于，等式成立.
所以点的坐标满足蔓叶线方程，点在蔓叶线上.
（3），齐次化联立直线与曲线，得到，那么，即，
根据方程联立得意义可知，所得的关于的一元三次方程的三个根即为，
结合韦达定理知道，，故 ，则，
代入直线方程，即，化简得，式子恒成立，
则令，解得.故直线过定点.原命题成立.
题型五：双纽线
典例5-1．（多选）数学上“无限大”的符号是“”，该符号的形状常被认为来自几何中的双纽线．已知双纽线过坐标原点，且上的点满足：到两个定点，的距离之积为常数．则（ ）
A．点在上
B．双纽线上满足的点有两个
C．双纽线上点的纵坐标的最大值为1
D．当点在上时，
【答案】ACD
【详解】设上的动点，则．
因为双纽线过坐标原点，所以，即，
所以双纽线的方程为．
A：将点代入方程，满足，所以A正确；
B：由知在的垂直平分线（方程为）上．
将代入得，
即，解得，所以这样的点只有一个，所以B错误；
C：设双纽线上一点，，
因为，，
所以，所以，所以双纽线上点的纵坐标的最大值为1，所以C正确；
D：由，得，
所以当点在上时，，从而，所以D正确.
故选：ACD.
典例5-2．数学中有许多形状优美，应用广泛的曲线．双纽线就是其中之一（如图），其定义为：在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹．设为上一点，给出下列四个结论：
①；
②；
③若点在第一象限，则；
④的周长可以等于．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】对于①中，由双纽线，
令，可得，解得或，所以，所以①正确；
对于②中，设，其中，且，
由，
因为，可得，可得，
所以，所以②正确；
对于③中，若点位于第一象限，要证，
即证，等价于，
由双纽线，可得，所以③正确；
对于④中，设，则三角形的周长为，
在中，由余弦定理得，
即，
即，所以，
即，所以，
因为，所以④错误.
故答案为：①②③.
变式5-1．双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）
B．已知，，为双纽线上任意一点，则
C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D．曲线关于直线对称的曲线方程为
【答案】BCD
【详解】对于A，由，可得，
所以，即，
令，解得，或；
当时，得，无解；
当时，得，无解；
所以曲线C经过整点，故A错；
对于B，由于，，则，
所以为双纽线上任意一点，则，B正确；
对于C，直线与曲线一定有公共点，
若直线与曲线C只有一个交点，
所以，整理得无非零实数解，
，实数k的取值范围为，故C正确；
对于D，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线对称的曲线方程为
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：
（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；
（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；
（3）将已知条件代入新定义的要素中；
（4）结合数学知识进行解答.
变式5-2．（多选）中国结是一种手工编制工艺品，它有着复杂奇妙的曲线，却可以还原（成单纯的二维线条，其中的数字“8”对应着数学曲线中的双纽线.在平面上，把与定点，距离之积等于的动点的轨迹称为双纽线.若是该双纽线上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的横坐标的取值范围是
B．的最大值是
C．面积的最大值为
D．的取值范围是
【答案】BCD
【详解】设是曲线上任意一点，根据双纽线的定义得：，
整理可得曲线的方程为，
对于A：整理可得：，
由可得，
即，解得，故A错误；
对于B，，
因为，所以，
所以，即，故B正确；
对于C：，
令，则，
所以，
所以当时，，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D：，
当且仅当，即时取等号，
，
所以，
所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于读懂题意根据双纽线的定义可得曲线的方程，进而判断各选项即可求解.
题型六：曲线族
典例6-1．几何学中，把满足某些特定条件的曲线组成的集合叫做曲线族.点是椭圆族上任意一点，如图所示，椭圆族T的元素满足以下条件：①长轴长为4；②一个焦点为原点；③过定点，则的最大值是（ ）
A．5B．7C．9D．11
【答案】A
【详解】如图所示
设点所在椭圆的另一焦点为，则
.
故选：A.
典例6-2．若一曲线不属于某曲线族，但该曲线上每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，满足上述条件的曲线叫做该曲线族的包络线．若圆是直线族的包络线，则a，b满足的关系式为 ；若圆是直线族的包络线，则的周长为 ．
【答案】
【详解】由题意，若圆是直线族的包络线，
则，所以．
又由曲线是直线族的包络线，所以曲线也是圆，
则设圆的圆心坐标为，其到直线族的距离为常数半径，
可得，解出圆心为，半径，
所以圆的方程为，其周长为．
故答案为：；．
变式6-1．（多选）一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这点处相切.下列说法正确的是（ ）
A．若圆是直线的包络线，则有
B．若曲线是直线族的包络线，则的长为
C．曲线是三条过点的直线的包络线，其中则
D．若两曲线和是同一条直线的包络线，则的取值范围是
【答案】AC
【详解】对于A，由圆：是直线族的包络线，
可得，可得，A正确；
对于B，设曲线的方程为，
由曲线是直线族的包络线，
可得，即
因为为定值，则，可得，此时，
所以曲线的方程为，所以曲线的周长为，B错误；
对于C，令曲线与过点的直线相切于点，
对求导得，
所以直线的方程为，
即，
因为直线过点，所以，
所以，令
则，又
所以当或时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的极大值为，的极小值为，
因为曲线是三条过点的直线的包络线，
所以关于的方程有三个实数解，
所以，即，C正确；
对于D，两曲线和是同一条直线的包络线，等价于两曲线和有公切线.
当时，曲线和直线相切，符合题意，D错误.
故选：AC
【点睛】方法点睛：
新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
变式6-2．已知曲线族 （为参数），直线与曲线族交于两点．
(1)若曲线族过定点时，求的值；
(2)求弦长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）根据题意，将点代入曲线族
得：
则，则，即，
当时，，当时，，
∴；
（2）根据题意有消去y得：
，即
将变量统一，不难想到，
记，则，于是
不难发现直线与曲线C交于定点，不妨设为点A，即，即，
去分母整理得
∵t存在，，
解得，即，
于是弦长．
题型七：其他新定义
典例7-1．（多选）在平面直角坐标系中，定义原点的“相伴点”是原点，当不是原点时，的“相伴点”为．平面曲线上所有点的“相伴点”所构成的曲线定义为曲线的“相伴曲线”，则下列说法正确的是（ ）
A．若的坐标为，则的“相伴点”的坐标为
B．若不在直线上的点的“相伴点”是点，则直线与直线关于直线对称
C．若曲线是以原点为圆心的圆，则其“相伴曲线”也是圆
D．若曲线是一条直线，则曲线的“相伴曲线”也是一条直线
【答案】ABC
【详解】A.若点的坐标是，则的“相伴点”的坐标为，即，故A正确；
B.若点的坐标为不在直线上，那么点的“相伴点”，若的其中一个为0时，不妨设，则，，直线与直线关于直线对称；
同理可得时，直线与直线也关于直线对称；
当时，直线的斜率是，直线的斜率为，所以点在直线上，所以直线与直线关于直线对称，故B正确；
C.若曲线是以原点为圆心的圆，设为，设点为圆上的任一点，则点的“相伴点”，即，满足，
所以“相伴曲线”是以原点为圆心，1为半径的圆，故C正确；
D.设直线的方程为，点为直线上任一点，
当点为坐标原点时，则；
当时，，则；
当时，，则；
所以直线的“相伴曲线”由三个点组成，故D错误.
故选：ABC.
典例7-2．定义：由椭圆的一个焦点和长轴的一个顶点（焦点与顶点在短轴同侧）及短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“焦顶三角形”.如果两个椭圆的“焦顶三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比.
(1)求证：两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等；
(2)如图，已知椭圆，椭圆的离心率为与相似，且与的相似比为，若的面积为，求的面积（用，k，S表示）；

(3)若椭圆，写出与椭圆相似且长半轴长为，焦点在轴上的椭圆的标准方程.若在椭圆上存在两点M，N关于直线对称，求椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】
【详解】（1）若两个椭圆是“相似椭圆”，则“焦顶三角形”的三个对应角相等.
如图，以焦点为顶点的三角形内角必为钝角，故相等，则相等，

所以相等，而，所以相等，即离心率相等；
若离心率相等，则相等，则相等，则相等；
同理，相等，则相等，所以相等；
所以两个椭圆的“焦顶三角形”相似，所以两个椭圆是“相似椭圆”.
故两个椭圆是“相似椭圆”的充要条件是离心率相等.
（2）设椭圆的半焦距为.
因为椭圆的离心率为，椭圆与椭圆相似，所以椭圆的离心率也为，
若的面积为，又的面积与的面积之比为，
所以的面积为．
因为与的相似比为，
所以的面积与的面积的比为，
所以的面积为．
（3）由离心率相等可知椭圆的方程为，
如图，设直线MN的方程为的中点为．

由消去并整理得，
则，即，
由MN的中点在直线上，得，解得，
因此，而，解得，
椭圆中，短半轴长，半焦距，
所以椭圆的“焦顶三角形”的周长为
故椭圆的“焦顶三角形”的周长的取值范围是．
变式7-1．对于椭圆E：，定义其“椭圆值函数”.对于平面上的点，以及，，若，则称A，B关于点P“-共轭”，它们互为“-共轭点”；如果A，B还满足同时在椭圆E上，则称A，B为点P的“-共轭点对”，对于椭圆：.
(1)已知点，，若A，B关于点P“-共轭”，求点B的坐标；
(2)对椭圆外任意点P，证明：点P的“-共轭点对”必存在；
(3)若点P在直线上运动，，且A，B为点P的“-共轭点对”，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）依题意，，
则，，而，
因此，，所以点.
（2）设，，，并记，
则，因此，
即，
于是，即，
因此只要证明方程组有解即可，令，，，，
则只要证明方程组有解即可，而点P在椭圆外，则，即，
圆的圆心到直线的距离，
因此直线和圆相交，即方程组有解，
所以存在点A，B使得它们关于点P构成“-共轭点对”.
（3）设，，，由（2）知直线的方程为，
由消去得，，
又，则
，令，函数在上单调递增，
当时，，即当时，，
所以面积的最大值为.

变式7-2．已知双曲线的右焦点为，离心率为．
(1)求的标准方程；
(2)设的右顶点为，过点的直线与的右支交于两点，记直线的斜率分别为，证明：为定值；
(3)已知点是上任意一点，直线：是在点处的切线，点是上异于点的动点，且过点与（为坐标原点）平行的直线交于两点，定义为双曲线在点处的切割比，记为，求切割比．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】
【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，所以，
所以的离心率为，所以，，
故的标准方程为．
（2）由（1）知，由题意知的斜率不为0，
设的方程为，，，
联立方程，得，得，
所以，
，，
所以
．
（3）由题意知， 所以在点处的切线方程为．
易知直线的斜率，
可设直线的方程为，，．
由方程组，解得，
所以点的坐标为，所以．
由方程组，消去可得，
则，
所以，，
所以，
同理可得，
所以
，
所以，即．
巩固过关
1．已知分别为曲线（包含点与直线）上的点，定义曲线之间的最短距离为（其中表示点与点距离的最小值）.已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】记，设椭圆上的点为，由椭圆的性质可知，
则
，
当时，最小，，所以.
故选：B.
2．一曲线族的包络线（Envelpe）是这样的曲线：该曲线不包含于曲线族中，但过该曲线上的每一点，都有曲线族中的一条曲线与它在这一点处相切，若圆：是直线族的包络线，则，满足的关系式为 ；若曲线是直线族的包络线，则的长为 .
【答案】 .
【详解】由题意，若圆：是直线族的包络线，
可得，可得；
又由曲线是直线族的包络线，
可得为定值，则，可得，此时，
所以曲线的方程为，所以曲线的周长为.
故答案为：；.
3．（多选）已知圆，定直线，以原点O为顶点的射线与圆C、直线l分别交于两点，P为上的动点，满足，则点P的轨迹为蔓叶线，且其方程为．下列关于蔓叶线的说法正确的是（ ）
A．
B．若蔓叶线E与抛物线的一个交点的横坐标为3，则
C．的最小值为
D．若点在蔓叶线E上，则
【答案】ABD
【详解】对于选项A，当点A的坐标为时，易得点B的坐标为，
由，可知点P与点A重合，故点在曲线上，
可得，解得，故A项正确．
对于选项B，因为蔓叶线的方程为，当时，，
所以，B项正确．
对于选项C，点与点间的距离为，
当时，，C项错误．
对于选项D．由，可得，解得．
（方法一）因为，
设函数，则，
易知在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
所以，所以，故D项正确．
（方法二）因为，所以，又，
所以，故，故D项正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：通过构造函数，利用导数得其单调性可求得结论.
4．（多选）如图所示的曲线称为双纽线，是到两定点，的距离之积为定常数的点的轨迹，其对称中心为坐标原点，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．若曲线与圆心在坐标原点的圆相交，则交点必在某等轴双曲线上
C．在第一象限，曲线上的点的纵坐标的最大值为
D．过双曲线上一点，作圆的两条切线，切点分别为，，若直线与的交点在曲线上，则
【答案】ABD
【详解】A选项，从图中可以看出在两定点，的距离之积为定常数，
其中，所以，A正确；
B选项，设曲线上的任意一点，则，
化简得，即，，
设以坐标原点为圆心的圆的方程为，又，故，
，故，
所以，则交点必在某等轴双曲线上，B正确；
C选项，在第一象限时，，，
令，则，故，
故当，即时，取得最大值，最大值为，
所以的最大值为，曲线上的点的纵坐标的最大值为，C错误；
D选项，切点为的切线方程为，
切点为的切线方程为，
设，则，直线为，
在切线和上，
故，故直线的方程为，
联立与得，解得，
故，故直线与的交点坐标为，
又在曲线上，
故，
即，又，故，
因为，则，D正确
故选：ABD
5．（多选）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”（其中）．如图，其中点是相应椭圆的焦点，“果圆”与轴的左、右交点分别为，与轴的上、下交点分别为，若是等边三角形，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．的离心率为
【答案】ABD
【详解】对于A项，，故A正确；
对于B项，，，
因为是等边三角形，
所以，
即，即，
所以，所以，得，
所以，
因为，所以，
即，故B正确；
对于C项，的离心率，故C错误；
对于D项，的离心率，故D正确．
故选：ABD．
6．（多选）已知，若平面内动点满足，则称点P的轨迹为双纽线，下列结论正确的是（ ）
A．双纽线是轴对称图形B．的面积的最大值为
C．D．直线与双纽线有三个交点
【答案】AD
【详解】对于A，由，
则曲线方程为，
由关于轴的对称点为，显然当满足方程时，也满足方程，
则双纽线关于轴对称，故A正确；
对于B，由方程，
整理可得关于的方程，
由，解得，
由，则其最大值为，故B错误；
对于C，当点不在原点，则构成，则，故C错误；
对于D，将代入方程，
整理可得，解得或，故D正确.
故选：AD.
7．（多选）我们把形如的曲线叫作拉梅曲线，该曲线是法国数学家加布里埃尔•拉梅在研究圆锥曲线方程时进行拓展而得的．下列说法正确的是（ ）
A．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为
B．若，则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于
C．若拉梅曲线与曲线恰有4个公共点，则
D．若为拉梅曲线上第一象限内一点，则
【答案】BCD
【详解】当时，拉梅曲线方程为为菱形，与坐标轴交于点，，
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积为2ab，A不正确．
当时，根据对称性，不妨考虑拉梅曲线在第一象限的情形，
此时由可得，下证，
即证，即证，
即证，即证，即证，
即证，即证，这显然成立．
因为（）表示圆心为，半径为a的四分之一圆弧，
所以其与第一象限围成的封闭区域的面积为，
则拉梅曲线与第一象限围成的封闭区域的面积小于，
则拉梅曲线围成的封闭区域的面积小于，B正确．
当拉梅曲线与曲线恰有4个公共点时，
根据对称性可知，它们在第一象限恰有1个公共点，由，
整理得恰有1个正根，则，
解得，即，C正确．
若为拉梅曲线上第一象限内一点，
则，从而，D正确．
故选：BCD．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，抛物线以坐标原点为顶点，为焦点，的一个公共点为．若，则称为“－相伴”．
(1)若为“－相伴”，求直线的斜率．
(2)若为“－相伴”．
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）若，，的方程为，直线与交于点，判断是否存在定点，使得直线与的倾斜角互补，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)或．
(2)（ⅰ）；（ⅱ）存在定点
【分析】
【详解】（1）设，由题意知的焦点为，准线为直线，
由抛物线定义得点到的准线的距离．
易知点在第二象限或第三象限．
当点在第二象限时，设直线的倾斜角为，则，
所以，，所以，即直线的斜率为．
当点在第三象限时，由对称性可得直线的斜率为．
综上，直线的斜率为或．
（2）（ⅰ）设，由（1）知的焦点为，
因为点在上，所以，因为点在轴左侧，故，故
因为点在上，所以，
所以，解得，所以．
由椭圆的定义得，又，所以，
所以，即．
设，则，且，
由，可得，
所以，解得，即的取值范围是．
（ⅱ）
因为的方程为，所以，
由，及（ⅰ）中，得，
解得（舍去）或，
所以，
所以的方程为．
设，，由，得，
所以，，，
假设存在定点，使得直线与的倾斜角互补，则直线与的斜率之和为0，
即
，
所以，
所以，即，
所以存在定点，使得直线与的倾斜角互补且．
【点睛】思路点睛：第二问中：根据点在上，且点在上列出等式，得到，
进而得到，又，列出关于的等式，
利用对勾函数的性质即可得到结果.；由，及第一小问中得出a的值，
进而求出的方程为，设出直线方程与的方程联立，用韦达定理即可得到结果.
创新提升
1．（多选）如图“四角花瓣”图形可以看作由抛物线绕坐标原点分别旋转，，后所得三条曲线与共同围成的区域（阴影区域），分别为与另外两条曲线在第一象限、第二象限的交点，若，阴影部分的面积为，则（ ）

A．
B．的面积为16
C．的值比32小
D．直线截第二象限“花瓣”的弦长可能为
【答案】BCD
【详解】设抛物线绕原点顺时针旋转，，后得到的三条曲线分别为，，.
抛物线的焦点为，故的焦点为，的焦点为，的焦点为.
故，，，.
对于：为曲线与交点，联立方程，解得，即.
为曲线与交点，联立方程，解得，即.
又因为，故.故错误.
对于：由上述过程可得，，，的面积为.故正确.
对于：由于对称性，阴影部分在四个象限的图形全等，故只讨论第一象限部分.
第一象限部分依然根据对称性，可分为两份，以下只讨论曲线与直线围成的部分.
设该阴影部分面积为，显然.

设函数，则.故过点的切线斜率为.
因此过点的切线方程为.该切线与轴交于，故.
.故.故正确.
对于：第二象限的“花瓣”图形由曲线和曲线围成，两者关于对称.
直线与曲线相交，联立方程化简得，且交点在第二象限，
所以，故，所以交点坐标.
由于“花瓣”图形仅限阴影部分区域，故，即.
由于与关于直线对称，直线亦关于直线对称，
所以直线与的交点坐标为.
故弦长
设，则，故.
因此当或时，即或时，直线与两曲线交于一点，弦长为；
当时，即时，弦长最长，此时.故弦长的取值可能为，故正确.
故选：BCD.
2．在平面直角坐标系中，对于直线和点，记，当且仅当时，称点被直线分隔．若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分隔，则称直线是曲线的分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔：
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为1，设动点的轨迹为曲线，证明：经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线．
【答案】(1)点能被直线分隔；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】
【详解】（1）点，直线，则，
所以点被直线分隔.
（2）由直线是曲线的分隔线，得方程组无解，即方程无解，
而当且仅当时，方程无解，因此；
显然点在曲线上，，
因此点被直线分隔，
所以实数的取值范围是.
（3）设点，依题意，，则曲线的方程为，
显然当时，方程无解，
点都在曲线上，且，即点被直线分隔，
因此直线为曲线的分隔线；
设过原点的直线，由消去得，
令函数，当时，，
函数的图象连续不断，则函数在上有解，即方程有实数解，
当时，方程有实数解，即直线与曲线有公共点，
因此直线不是曲线的分隔线，
所以经过原点的直线中，有且只有一条直线是曲线的分隔线，即.
3．一般地，平面曲线（为实常数且）在点处的切线方程为.对于椭圆上不同的两点，，称为椭圆在两点处的线性积，并记为.
(1)证明：.
(2)已知，椭圆在两点处的切线交点的轨迹为曲线.
（ⅰ）求曲线的方程；
（ⅱ）已知为椭圆的上顶点，若点与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，求椭圆的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】
【详解】（1）法一：因为点，在椭圆上，
所以，，
所以，
当且仅当，时等号成立.
故.
法二：因为点，在椭圆上，
所以，.
设，，，，其中，，
则，
所以，当时等号成立.
（2）（ⅰ）由得.
由题可得椭圆在点处的切线的方程为，
椭圆在点处的切线的方程为，
则由得.
当切线的斜率都存在且都不为0时，设与交于点（且），
过点的椭圆的切线方程为，
由得，
则，
整理得.
显然，是上述方程的两个根，故，
所以（且）.
当切线中一条切线的斜率不存在，一条切线的斜率为0时，
可得点的坐标为或或或，
此时点也满足.
综上，，
故曲线的方程为.
（ⅱ）易知，由（ⅰ）知曲线是以坐标原点为圆心，为半径的圆，
因为与曲线上的点之间的距离的最大值为3，最小值为1，
所以，得，，
所以椭圆的方程为.
4．已知双曲线的两条渐近线分别为，，若点，分别在，上（，不同于原点），且直线是的切线，则称是的“渐切三角形”．已知在点处的切线方程为．
(1)写出的一个“渐切三角形”的顶点，的坐标及切线的方程，并求出其面积；
(2)已知点，分别在，上，的面积为，试问是否是的“渐切三角形”？并说明理由；
(3)若是的“渐切三角形”，与相切的切点的横坐标大于0，为的左焦点，证明：为定值．
【答案】(1)，，（答案不唯一）；
(2)是，理由见解析；
(3)证明过程见解析.
【分析】
【详解】（1）由题意可得，双曲线的渐近线方程为，故，
则，且在点处的切线方程为，
不妨取切点为，则切线方程为，此时，
则.
（2）若直线斜率不存在，不妨设，则，
则，得，
此时直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”，
若直线斜率存在，设，
联立，得，
则，即，
则，
又点到直线的距离，
则，
得，
联立，得，
则，
则直线与曲线相切，即是的“渐切三角形”，
综上可得，若的面积为，则是的“渐切三角形”.
（3）若切点为时，直线的方程为，此时，
因，则，即，
利用对称性可知；
若切点不为，可设切点为，则直线，
联立，得，
则由，可得，
联立，得，即，
设点，，则，
则，
，
则
，
（说明：由图知，与始终同号，故成立）
，
则
，
因，则，故为定值.