2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03概念中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学一轮复习考点精讲精练(新高考通用重难点专训03概念中的新定义问题(高效培优专项训练)(学生版+解析)，共7页。试卷主要包含了新定义型创新题的基本思路，处理概率新定义问题等内容，欢迎下载使用。
\l "_Tc16961" 题型通法及变式提升 PAGEREF _Tc16961 \h 2
\l "_Tc22569" 题型一：似然函数 PAGEREF _Tc22569 \h 2
\l "_Tc28300" 题型二：卡特兰数 PAGEREF _Tc28300 \h 2
\l "_Tc14911" 题型三：信息熵 PAGEREF _Tc14911 \h 5
\l "_Tc9474" 题型四：切比雪夫不等式 PAGEREF _Tc9474 \h 6
\l "_Tc28672" 题型五：随机游走 PAGEREF _Tc28672 \h 8
\l "_Tc4043" 题型六：其它定义新概念 PAGEREF _Tc4043 \h 10
\l "_Tc18662" 重难专题分层过关练 PAGEREF _Tc18662 \h 12
\l "_Tc23499" 巩固过关 PAGEREF _Tc23499 \h 14
\l "_Tc4459" 创新提升 PAGEREF _Tc4459 \h 14
一、新定义型创新题的基本思路：
（1）正确理解新定义；
（2）根据新定义建立关系式；
（3）结合所学的知识、经验将问题转化为熟悉的问题；
（4）运用所学的公式、定理、性质等合理进行推理、运算，求得结果．
二、处理概率新定义问题
核心是“精准拆解定义→转化为已知概率知识→规范推导验证”，具体分三步：
首先，逐句解析新定义，提取关键信息。圈出定义中的核心要素（如特殊规则、公式、约束条件），明确新概念的本质（是新概率模型、新统计量，还是新运算），避免因遗漏细节导致思路偏差。
其次，将新定义转化为熟悉的概率框架。若定义涉及新公式，先代入简单值验证理解；若涉及新场景，用具体案例具象化，再关联已知的期望、方差、分布列等知识，搭建转化桥梁。
最后，按“定义→推导→验证”规范解题。先依据定义列表达式，结合概率性质或公式化简；再用特殊值（如参数取0、1）验证结果合理性，确保不偏离定义核心，同时兼顾概率问题的逻辑严谨性。
题型一：似然函数
典例1-1．“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采用最大似然估计的方法．最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，其原理是从总体中抽出具有个值的采样，求出似然函数，似然函数表示样本同时取得的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的最大似然估计值．
(1)已知一工厂生产产品的合格率为，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取20件进行检测，有2件不合格；
（i）估计该批次产品合格率；
（ii）若用随机变量表示产品是否合格，表示不合格，表示合格，求合格率的最大似然估计值，并判断与（i）中估计值是否相等；
(2)设一次试验中随机变量的概率分布如下：
现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值；
(3)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和．
典例1-2．现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品的不合格率均为．
(1)在抽取的100件产品中，恰有2件不合格品，以频率估计概率，若从该批产品中共抽取件，记不合格品的数量为．
（i）求的期望；
（ii）当概率（其中）取得最大值时，求的值．
(2)极大似然估计是用给定观察数据来估计模型参数的一种统计方法，其基本思想是概率最大化原则：一个随机试验有若干个可能的结果，，，…，若在一次试验中，结果出现，则一般认为试验条件对出现有利，即出现的概率很大，也就是找到参数的最优值，使得在该参数下观测数据出现的概率最大（即似然函数最大）．现对该批产品估计其不合格品率，对其进行次独立观测，每次从中抽取个产品，记录不合格品数分别对应为，，…，，求的极大似然估计值．
变式1-1．在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球次，红球出现次．假设每次摸出红球的概率为，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率的估计值为．
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为，则．
（注：表示当每次摸出红球的概率为时，摸出红球次数为的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
（ⅱ）在统计理论中，把使得的取值达到最大时的，作为的估计值，记为，请写出的值．
(2)把（1）中“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值．已知的参数的对数似然函数为，其中．求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．
变式1-2．在统计中似然函数是指设总体的分布律或概率密度是未知参数，是总体的样本，称的联合分布律或概率密度函数为样本的似然函数，简记为.如果样本似然函数在处达到最大值，则称为参数的最大似然估计值.例如三亚某学校一次调研考试中数学科目及格率为，现任选20名同学的成绩作为样本进行分析，发现有2人不及格，此时可估计该学校本次模考中数学科目及格率为0.9.同时也可设及格率为，令样本似然函数为，，令解得，当时，单调递增，当时，单调递减，则当时，取得最大值，即的最大似然估计值为0.9，与及格率的估计值相等；
(1)设一次试验中随机变量的概率分布如下：
（i）现做4次独立重复试验，出现了1次，出现了2次，出现了1次，求的最大似然估计值；
（ii）现做次独立重复试验，出现了次，出现了次，出现了次，求的最大似然估计值；
(2)泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为，设一次试验中随机变量的取值服从泊松分布，进行次试验后得到的值分别为，已知的最大似然估计值为2，求数列的前项和.
（公式：）
题型二：卡特兰数
典例2-1．以走网格为例，从格点走到格点，只能向右或向上走，且在对角线的右下方（不能越过对角线）的路径的条数，就是卡特兰数，记为.则（ ）
A．B．C．D．
典例2-2．元旦小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列；
(2)记 为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求 ，并判断当i为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的姐姐，姐姐告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将n个0和n个1排成一排，若对任意的 在前k个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有 种，其中， 的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2） 中的，有
变式2-1．清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数.如图，现有的格子，每一步只能往上或往右走一格，则从左下角走到右上角共有 种不同的走法；若要求从左下角走到右上角的过程中只能在直线的右下方，但可以到达直线，则有 种不同的走法.

变式2-2．设点集，从集合中任取两个不同的点，，定义A，B两点间的距离．
(1)若，当且仅当时，，求数列的前70项和；
(2)从集合中任取两个不同的点A，B，用随机变量X表示它们之间的距离，求X的分布列与期望；
(3)已知点，且满足如下条件：
①；②；③对于任意的，，．
证明：所有满足条件的点C的个数为．
（“卡特兰数”可以帮助解决上述问题：将n个0和n个1排成一排，若对任意的，，在前m个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中的结果被称为卡特兰数．）
题型三：信息熵
典例3-1．（多选）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量所有可能的取值为1，2，…，n，且，，定义的信息熵.下列正确的为（ ）
A．若，则
B．若，则随着的增大而增大
C．若，则随着的增大而增大
D．若，随机变量所有可能的取值为1，2，…，m，且，则
典例3-2．信息熵是信息论之父香农（Shannn）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量所有可能的取值为，且，，定义的信息熵.
(1)当时，计算；
(2)当时，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(3)若，随机变量所有可能的取值为，且，证明:.
变式3-1．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量和的分布列分别为：，，其中．定义的信息熵：，和的“距离”：．
(1)若，求；
(2)已知发报台只发出信号和，接收台只收到信号和．现发报台发出信号的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号接收台收到信号的概率为，发出信号接收台收到信号的概率也为．
（ⅰ）若接收台收到信号为，求发报台发出信号为的概率；
（ⅱ）记和分别为发出信号和收到信号，证明：．
变式3-2．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即熵）.熵的单位通常为比特，但也用、、计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1的信息，而掷次就为位.更一般地，你需要用位来表示一个可以取个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量所有取值为，定义的信息熵，（，）.
(1)若，试探索的信息熵关于的解析式，并求其最大值；
(2)若，（），求此时的信息熵.
题型四：切比雪夫不等式
典例4-1．某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔科夫（Markv）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等式，这两个不等式都可以使人们在随机变量的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．马尔科夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式，且，由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种，且这两个不等式之间相互关联．请你根据以上材料和所学相关知识，确定该形式是（ ）
A．B．C．D．
典例4-2．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
（i）若，证明：；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）
变式4-1．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由两位俄国数学家马尔可夫和切比雪夫分别提出的马尔可夫不等式和切比雪夫不等式.马尔可夫不等式的形式如下：设为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有，马尔可夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数学期望间的关系.当为非负离散型随机变量时，马尔可夫不等式的证明如下：设的分布列为，，其中，，，则对任意，，其中符号表示对所有满足的指标所对应的求和.切比雪夫不等式的形式如下：设随机变量的期望为，方差为，则对任意，均有.
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量成立.
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%.现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信.
变式4-2．某芯片厂生产高端人工智能芯片须经过性能测试.已知通过测试Ⅰ的概率为40%，未通过测试I的芯片须进入测试Ⅱ，通过率为，通过任意一次测试即为合格芯片.已知一枚芯片合格，则该芯片是通过测试Ⅰ的概率为θ.
(1)求θ（结果用p表示）；
(2)切比雪夫不等式是概率论中关于随机变量偏离其均值的概率定理，其形式如下：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.请结合该定理解决下列两个问题：
（ⅰ）若厂商声称该厂芯片通过测试Ⅱ的概率为50%.现质量检测部门随机抽取了该厂生产的100枚芯片，经检测有40枚合格.请说明该厂商的说法是否可信（注：当随机事件A发生的概率小于0.05时，可称事件A为小概率事件）；
（ⅱ）为估计θ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试Ⅰ，记.若要使得总能不超过0.01，试估计最小样本量）.
题型五：随机游走
典例5-1．小明对数学课上的随机游走模型充满兴趣，思维也进入丰富的想象，他将自己想象成一颗粒子，在一个无限延展的平面上，从平面直角坐标系的原点出发，每秒向上、向下、向左、向右移动一个单位，且向四个方向移动的概率均为，记第秒末小明回到原点的概率为，求 ， （与有关的式子，附：）.
典例5-2．一个质点在一条直线上“随机游走”，向左走一步和向右走一步的概率均为，试探讨下列问题：
(1)若质点进行了4次“随机游走”，在其中恰有2次向右游走的情况下，求第二次向左游走的概率；
(2)记为次游走中恰有2次向右游走的概率，令.记为不超过次游走的情况下，向右游走2次后停止游走（若向右游走一直不足2次，在游走到次时也停止游走），此时一共游走的次数，的数学期望为.请比较与的大小，并说明理由.
变式5-1．随机游走也称随机漫步，随机行走等是指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向.核心概念是指任何无规则行走者所带的守恒量都各自对应着一个扩散运输定律，接近于布朗运动，是布朗运动理想的数学状态，现阶段主要应用于互联网链接分析及金融股票市场中.规定：在直角坐标系中，一个粒子从坐标原点开始等可能地向上、下、左、右四个方向随机移动，每次走一个单位．
(1)求该粒子随机移动4个单位回到出发点有多少种移动方法；
(2)证明：；
(3)求该粒子经次随机移动后回到出发点的概率．
变式5-2．数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k次后质点回到原点位置的概率为，其中k为偶数.
(1)求，，；
(2)证明：.
题型六：其它定义新概念
典例6-1．为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）：
从该动物种群中任取1只，记事件表示此动物发病，事件表示此动物使用药物，定义的优势，在发生的条件下的优势，则（ ）
A．可化简为，估计其值为B．可化简为，估计其值为
C．可化简为，估计其值为D．可化简为，估计其值为
典例6-2．在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”.
(1)若，求的分布列和；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
（ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率；
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：.
变式6-1．已知离散型随机变量的分布列为.定义随机变量为自然对数的底数，的分布列如下：
随机变量的数学期望称为随机变量的生成函数，记为.是函数在处的导数，则（ ）
A．
B．若服从两点分布，，则
C．若，则
D．若实数为常数，则
变式6-2．在平面直角坐标系中，动点的移动规则为：从原点出发，每次都等可能地向上或向右移动1个单位长度.定义“合法路径”为动点的坐标始终满足的路径.
(1)列举出点移动3次时的所有路径，并求时“合法路径”的数量.
(2)已知点从原点出发到达点.
（ⅰ）若，“合法路径”的数量为，证明：；
（ⅱ）若，从点的所有路径中随机选取一个路径，记选取的路径为“合法路径”的概率为，求的表达式.
巩固过关
1．切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为 .
2．世纪以来，人工智能迅猛发展，在人工智能算法中，精确率、召回率、卡帕（）系数是衡量算法性能的重要指标在对某型号扫雷机器人的测试中，记表示事件“选择的位点实际有雷”，表示事件“选择的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中，则（ ）
A．B．
C．D．
3．五一小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利.
(1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为步，求的分布列和期望；
(2)记为设定机器人一共行走步时游戏胜利的概率，求，并判断当为何值时，游戏胜利的概率最大；
(3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的哥哥，哥哥告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将个0和个1排成一排，若对任意的，在前个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有种，其中，的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2）中的，有
4．在信息论中，熵（entrpy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分布的对数的相反数，设随机变量的所有取值为，定义信息熵：
(1)若，且，求随机变量的信息熵；
(2)若，求随机变量的信息熵；
(3)设和是两个独立的随机变量，求证：.
5．概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属分别由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫不等式和切比雪夫不等式．切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有．
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
6．“随机游走”在空气中的烟雾扩散等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左、向右、向上或向下移动一个单位.
(1)求质点移动6次后位于的概率；
(2)设质点在第2秒末移动到点，记xy的取值为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
(3)记第n秒末质点回到原点的概率为.
（i）求，；
（ii）求.
参考公式：.
创新提升
1．生物研究工作中，统计鸟类主要是研究鸟类种群数量和分布规律.统计人员发现某鸟类在区域经常出没，在区域统计时发现该鸟类有两个品种，分别记为I种和II种.统计人员在区域随机捕获了50只该鸟，再将捕获的鸟全部放回，作为一次试验结果.记第次试验中I种的数目为随机变量.设该区域中I种的数目为，II种的数目为.
(1)（i）求在第1次试验中随机变量的分布列.
（ii）假设每一次试验均相互独立，统计人员完成所有试验后，得到的实际取值分别为，其平均值，方差.记随机变量.采用和分别代替期望和方差，试给出，的估计值（结果保留整数）.
参考公式：从含件次品的件产品中，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取件，设抽取的件产品中次品数为，如果采取有放回抽样，则方差；如果采取不放回抽样，则方差为.随机变量与满足.若随机变量与相互独立，则.
(2)假设统计人员每次随机捕获一只该鸟，统计种类，再将捕获的鸟放回，重复进行次.“使得的取值达到最大时的作为的估计值”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.具体步骤：先对参数构建对数似然函数，再对其关于参数求导，得到似然方程，最后求解参数的估计值.已知的参数的对数似然函数为，其中，求参数的估计值，并且说明频率估计概率的合理性.
2．伯努利-欧拉的装错信封问题是一个十分有趣的数学问题．现有共个元素及共个位置，的对应位置为，定义错排数为将共个元素排列在共个位置上，其中有个元素不在其对应位置上的情况数，例如．另外，规定．
(1)计算：；
(2)在概率论中常使用协方差来衡量两个离散型随机变量之间的总体偏差，定义协方差为．当时，记错排的元素个数为，正确排列的元素个数为，求证：；
(3)定义错排概率为随机将共个元素排列在，共个位置上，其中恰有个元素不在其对应位置上的概率，证明：．
3．错排问题最早由伯努利与欧拉系统研究，历史上称为伯努利－欧拉的装错信封问题．现在定义错排数为将编号为，共个小球放入编号为共个盒子中，每个盒子中恰有一个小球，其中有个小球不在其对应的盒子中的情况数（编号为的小球对应的盒子为编号为的盒子，）．容易得到，，规定．
(1)计算；
(2)在概率论和统计学中用协方差来衡量两个变量的总体误差，对于离散型随机变量，定义协方差为．当时，记所放小球号码与盒子号码相同的个数为，不同的个数为，求证；并结合实例，解释协方差的实际含义．
(3)定义错排概率为随机将编号为共个小球放入编号为共个盒子中，其中有个小球不在其对应的盒子中的概率，证明：．
1
2
3
0
1
2
3
测试指标
元件数（件）
2
18
36
40
4
发病
未发病
合计
使用药物
10
40
50
未使用药物
30
20
50
合计
40
60
100