2026届高考一轮复习基础练数学第五章平面向量及其应用、复数 (第1节 平面向量的概念及线性运算)

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知识点48 平面向量的概念及线性运算
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1.[多选][人 A 必修二 P5 习题 6.1 第 3 题变式] 下列说法错误的是（）
A. 非零向量 AB→ 与 BA→ 是两平行向量
B. 若两个向量相等, 则它们的起点和终点分别重合
C. 若α与b都是单位向量, 则α=b
D. 若两个单位向量平行, 则这两个单位向量相等
2.[人 A 必修二 P14 例 6 变式] 在 △ABC 中, D 为 AB 的中点, E 为 CD 的中点, 设 AB→=α,AC→=b, 则 AE→=（）
A. 12α+14b B. 12α−14b C. 14α+12b D. 14α−12b
变式探究
[多选] 已知 P 是 △ABC 所在平面内一点, 且满足 |PB→−PC→|−|PB→+PC→−2PA→|=0, 则 △ABC 不可能是（）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
3.[多选][人 A 必修二 P12 例 4 变式][2024年新高考I卷第6题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AB=2CD, AC 与 BD 相交于点 O, 则下列结论正确的是（）
A. AC→−AD→=12AB→
B. |OA→+2OC→|=0
C. OA→=23CD→+13CB→
D. AB→+BC→+CD→+DA→=0
4.[人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知非零向量α,b 满足|α|=|b|=|α−b|, 则 |α−b||α+b|=（）
A. 33 B. 12 C. 22 D. 13
5.[人 A 必修二 P16 例 8 变式][2025年江苏南京高三调研第8题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量α,b不共线, 且向量 c=α+λb,d=(2λ−1)α+b, 若c 与 d方向相反, 则实数 λ 的值为（）
A. -1 B. −12 C. 1 或 −12 D. -1 或 12
6.[2024年人教A版必修二习题6.2第3题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在平行四边形 ABCD 中, AB→=α,AD→=b, 若 E 为 BC 中点, 则 AE→=（）
A. 12α+b B. α+12b C. 12α−b D. α−12b
7.[2025年浙江杭州高三期末第10题][人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知 △ABC 中, D 为 BC 中点, E 为 AD 中点, 设 AB→=α,AC→=b, 则 BE→=（）
A. 12α+14b B. 14α+12b C. 13α+13b D. −34α+14b
8.[2024年新高考II卷第9题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量α,b 满足 |α|=2, |b|=1, 且 (α+b)⊥b, 则α与b的夹角为（）
A. π3 B. 2π3 C. π6 D. 5π6
9.[2025年北京海淀高三调研第7题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在梯形 ABCD 中, AB∥CD, AB=3CD, AC 与 BD 相交于点 O, 则 |AO→||OC→|=（）
A. 12 B. 3 C. 23 D. 32
10.[2025年山东青岛高三期末第8题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量 α,b 不共线, 且c=2α−3b, d→=kα+b, 若c与d共线, 则 k=（）
A. −23 B. 23 C. −32 D. 32
11.[2025年新高考I卷模拟第7题][人 A 必修二 P16 例 8 变式] 已知向量 α,b满足 |α|=1, |b|=2, 且 (α−b)⊥α, 则α与b的夹角为（）
A. π6 B. π4 C. π3 D. π2
12.[2024年广东深圳高三模考第10题][人 A 必修二 P14 例 6 变式] 已知 △ABC 中, D 为 BC 中点, E 为 AD 中点, 设 AB→=α,AC→=b, 则 AE→=（）
A. 14α+14b B. 14α+12b C. 12α−14b D. 13α+13b
13.[2025年北京西城高三期末第9题][人 A 必修二 P12 例 4 变式] 在平行四边形 ABCD 中, AB→=a→,AD→=b, 若 E 为 CD 中点, 则 BE→=（）
A. 12α−b B. α−12b C. 12α+12b D. α+12b
1.答案：BCD
解析：
A：AB→与BA→方向相反，是非零平行向量，正确。
B：向量相等只需长度和方向相同，与起点终点位置无关，错误。
C：单位向量长度为1，但方向不一定相同，错误。
D：平行的单位向量可能方向相反，不一定相等，错误。
2.答案：C
解析：
AD→=12AB→=12α，
CD→=AD→−AC→=12α−b，
E为CD中点，故CE→=12CD→=14α−12b，
AE→=AC→+CE→=b+14α−12b=14α+12b。
变式探究
答案：AB
解析：
化简得CB→⋅(PA→−PB→)=0，即P在边AB的高线上，故△ABC不可能为钝角三角形或直角三角形（需满足特定条件）
3答案：ABD
解析：
A：AC→−AD→=DC→=12AB→，正确。
B：由相似性，AO:OC=AB:CD=2:1，故OA→=−2OC→，|OA→+2OC→|=0，正确。
C：OA→=23CA→=23(CB→+BA→)=23CB→+43CD→，错误。
D：向量首尾相连和为0，正确。
4.答案：A
解析：
设|α|=|b|=|α−b|=1，由余弦定理，|α−b|2=1=1+1−2csθ，得csθ=12，
|α+b|2=1+1+2csθ=3，故|a−b||a+b|=13=33。
5.答案：B
解析：
c与d共线，设d=kc（k