2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题5.1平面向量及其应用(八类重难点题型精练)(学生版+解析)

这是一份2026年高考数学第一轮复习(全国通用)专题5.1平面向量及其应用(八类重难点题型精练)(学生版+解析)，共47页。试卷主要包含了在中，已知，且，则 等内容，欢迎下载使用。

重难点题型1 平面向量的线性运算及其表示
1．（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则 （ ）
A．B．C．D．
4．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，且，则 ．
5．（2025·山西晋中·三模）（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2025·河北·三模）在中，，点和分别在和边上，且满足，若，则（ ）
A．B．10C．5D．
7．（2025·湖北·模拟预测）若是边长为的等边三角形，点满足，则（ ）
A．B．5C．D．4
重难点题型2 平面向量的共线定理及其应用
1．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
A．2B．C．0D．1
2．（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ）
A．B．2C．6D．
3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知正八边形的边长为1，O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为 ．
5．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ．
6．（2022·山东泰安·三模）如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝ ，的最小值为 ．
重难点题型3 平面向量的基本定理及其应用
1．如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
4．（2025·四川成都·模拟预测）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时， ．
5．（2025·天津河东·二模）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .

6．（2025·河北·模拟预测）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理．如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中，O为正八边形的中心，则 ．

7．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 .
重难点题型4 平面向量的数量积运算
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
2．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．和的面积之和的最大值为1
D．若，则
7．（2025·陕西汉中·一模）（多选题）已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量坐标是
8．（2025·福建厦门·一模）（多选题）已知平面向量，，则（ ）
A．，不可能垂直B．，不可能共线
C．不可能为5D．若，则在方向上的投影向量为
9．（2025·辽宁·模拟预测）（多选题）已知向量，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量的夹角为
D．若共线，则
11．（2025·四川·三模）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
重难点题型5 平面向量的投影或投影向量
1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．2
3．（2025·甘肃庆阳·三模）已知单位向量的夹角为，则向量与向量的数量积为（ ）
A．-1B．-2C．D．
4．（2025·河北石家庄·三模）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．-1B．C．0D．1
5．（2025·云南·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
7．（2025·贵州黔南·模拟预测）（多选题）已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．（2025·福建漳州·一模）（多选题）在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．边上的高为B．
C．D．边上的中线为
9．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 .
10．（2025·河北沧州·模拟预测）已知非零向量、、满足，若，、的夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为 ．
重难点题型6 平面向量的模长问题
1．（2025·福建龙岩·二模）已知向量，，且向量与的夹角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平面向量，，且，则（ ）
A．5B．C．37D．
3．（2025·海南·三模）在同一平面内，向量满足，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知，为单位向量，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ．
7．（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 .
8．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ．
重难点题型7 平面向量的夹角问题
1．（2025·江西·模拟预测）若向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·江苏南京·模拟预测）若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选题）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 .
6．（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 .
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是 ．
重难点题型8 平面向量的平行与垂直
1．（2025·广西河池·二模）已知向量且，求（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·辽宁·三模）已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．2D．
3．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．与垂直的充要条件是
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
4．（24-25高二上·湖南·期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．5D．10
5．（2017·河北石家庄·二模）已知向量，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．（2025·山东威海·三模）已知向量满足，则与的夹角为 ．
7．（2025·四川成都·三模）已知向量满足，则 .
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知向量，，若，则 ．
题型
平面向量的线性运算及其表示
平面向量的共线定理及其应用
平面向量的基本定理及其应用
平面向量的数量积运算
平面向量的投影或投影向量
平面向量的模长问题
平面向量的夹角问题
平面向量的平行与垂直
1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线．
2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线．
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
专题5.1 平面向量及其应用
目录●重难点题型分布
重难点题型1 平面向量的线性运算及其表示
1．（2025·浙江嘉兴·三模）在所在平面内，点满足，记，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.94
【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量数乘的有关计算、向量的线性运算的几何应用
【分析】由向量的线性运算法则即可算得结果.
【详解】由向量的线性运算可知.
故选：C.
2．（2025·甘肃甘南·三模）中，若，，，则向量可用，表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】平面向量的混合运算、用基底表示向量
【分析】根据平面向量的线性运算直接求解即可.
【详解】在中，，
则
.
又因为，所以.
故选：A
3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，若 ，，则 （ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量
【分析】根据向量的加法运算求解即可.
【详解】因为为的中点，
所以，
故选：B
4．（2025高三·全国·专题练习）在中，已知，且，则 ．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数
【分析】根据向量加减法的运算法则，拆解向量，化简求值.
【详解】因为，
则带入，得，
整理得．又，
所以，解得．
故答案为:4.
5．（2025·山西晋中·三模）（多选题）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦．如图所示是八卦模型图以及根据该图抽象得到的正八边形ABCDEFGH，其中，O为正八边形的中心，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】二倍角的余弦公式、向量加法的法则、数量积的运算律
【分析】由向量的线性运算及向量数量积的定义，余弦二倍角公式逐个判断即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，如图，连接AC交OB于点M，可知M为AC的中点，所以，故B错误；
对于C，在中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故C正确；
对于D，连接，则，所以，故D正确．
故选：ACD
6．（2025·河北·三模）在中，，点和分别在和边上，且满足，若，则（ ）
A．B．10C．5D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】向量加法的法则、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】设利用平面向量的线性运算得到结合数量积公式计算即可.
【详解】设
点为线段的中点，
所以点为线段上靠近点的五等分点，
，
.
故选：B.
7．（2025·湖北·模拟预测）若是边长为的等边三角形，点满足，则（ ）
A．B．5C．D．4
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律
【分析】由数量积的运算性质即可求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以.
故选：A.
重难点题型2 平面向量的共线定理及其应用
1．（2025·江苏南通·三模）已知，为平面内一组基底，，，，若A，B，D三点共线，则a的值为（ ）
A．2B．C．0D．1
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】向量加法的法则、已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量
【分析】根据向量的减法运算求出，再由共线向量定理求解即可.
【详解】，，
因为与共线，，
故选：A．
2．（2025·广东广州·三模）已知向量不共线，与共线，则实数的值为（ ）
A．B．2C．6D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知向量共线（平行）求参数
【分析】由向量共线得到，求解即可.
【详解】因为与共线，
所以，
解得：，
故选：A
3．（2025·全国·模拟预测）（多选题）如图，已知正八边形的边长为1，O为正八边形的中心，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【难度】0.65
【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的运算律、用定义求向量的数量积、向量加法的法则
【分析】A先证，再利用即可；B利用即可；C利用数量积的定义；D利用向量的加法法则得即可判断.
【详解】在正八边形中，
由于，则，
因，且，所以，故A正确；
由于，故B正确；
连接，可得，
所以，故C正确；
由于，且，又，
所以，故D错误，
故选：ABC.
4．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）等比数列中，，，满足：（P点在直线上），则的最大值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、基本不等式求积的最大值
【分析】由题意得，根据等比数列的性质有，结合重要不等式即可求解.
【详解】等比数列中，，有，
，满足：（P点在直线上），则有，
所以，当且仅当时等号成立，
又，有，所以的最大值为.
故答案为：.
5．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示 ；若，则的值为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、数量积的运算律
【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可.
【详解】设，，则，
若，则，
因为B，M，D三点共线，则，得，
所以；
设，，则，
又B，M，D三点共线，则，得，
因为菱形ABCD的边长为1，，，，
所以，．
又，
所以，
整理，得，
解得，或（舍去）．故．
故答案为：、
6．（2022·山东泰安·三模）如图，在中，，，点P在线段CD上（P不与C，D点重合），若的面积为，，则实数m＝ ，的最小值为 ．
【答案】 /0.25
【难度】0.65
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用定义求向量的数量积、基本不等式求和的最小值
【分析】用表示出与，利用两个向量共线可求出m,求出后利用基本不等式可求出最值.
【详解】因为,所以
而
因为与为非零共线向量,故存在实数使得
故 所以
的面积为，
所以
当且仅当时等号成立,故的最小值为;
故答案为：；.
重难点题型3 平面向量的基本定理及其应用
1．如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量
【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断.
【详解】由题意得，∽，所以，
所以，所以.
故选：A.
2．（2025·甘肃甘南·模拟预测）如图，在中，为线段上一点，且，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用
【分析】先利用基底表示，再设，即可构造关于的方程组.
【详解】因，则，
故，
因三点共线，故设，则，
因，则，解得．
故选：D．
3．（2025·甘肃定西·模拟预测）已知在梯形中，，，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用
【分析】根据题意，由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为，，，
所以，
因为，，
所以，，
所以.
故选：B.
4．（2025·四川成都·模拟预测）在平行四边形中，，是平行四边形内（包括边界）一点，，若，当时， ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积
【分析】根据题意，得到点的轨迹，根据，且，得点为的中点，计算即可求解.
【详解】因为，所以，
所以点在的角平分线上，
因为，且，所以三点共线，
因为，所以是等腰三角形，
即点为的中点，故.
故答案为：2.
5．（2025·天津河东·二模）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号.树人中学数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动.如图，正八边形，边长为，，点在线段上且，则的值为 ；若点为线段上的动点，则的最小值为 .

【答案】
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示
【分析】建立平面直角坐标系，求向量，，，的坐标，根据数量积的坐标运算公式求，，再求的最小值可得结论.
【详解】因为多边形为正八边形，
所以，，，，，
，
由正八边形性质可得，
由已知，
过点作，垂足为，
则，又，，故，
如图，以点为原点，为轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
因为，
所以，
又点在线段上，所以，所以，
所以，
所以，
因为点为线段上的动点，故可设点的坐标为，
则，，，
所以，且，
因为二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
所以当或时，取最小值，最小值为，
即当点为线段的端点或端点时，取最小值，最小值为，
故答案为：，.

6．（2025·河北·模拟预测）《易经》是中华民族智慧的结晶，易有太极，太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦，易经包含了深刻的哲理．如图所示是八卦模型图以及根据八卦图抽象得到的正八边形，其中，O为正八边形的中心，则 ．

【答案】
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】首先运用正八边形性质求出相关角度，，相关边长大小，再根据向量共线得到，将数量积进行转换，最后运用投影性质计算数量积.
【详解】在正八边形中，因为，在等腰梯形里，可得.
计算长度，.
正八边形内角为，即，所以，也就是.
因为，所以与共线，且，那么.
由于，在方向上的投影就是，所以.
已知，则.
所以，化简得.
故答案为：

7．（2025·天津·二模）在中，点D在边BC上，且，E为线段AD的中点.已知，，则 （用，表示）；若，，且，则 .
【答案】 /
【难度】0.65
【知识点】平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积、向量夹角的计算
【分析】根据几何图形，结合向量的线性运算，即可用基底表示，首先用基底表示，再利用数量积公式，求，即可求解.
【详解】由条件可知，
,
所以；
由，得，
得，
所以，
得，且，，
所以，
得,,所以.
故答案为：
重难点题型4 平面向量的数量积运算
1．（2025·福建福州·模拟预测）已知向量，，，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示
【分析】先计算的坐标，再利用模长公式计算即可.
【详解】由题意可得，，
则，解得.
故选：A
2．（2025·辽宁·一模）已知，向量，且的最小值为，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、平面向量共线定理的推论
【分析】延长至，使，依题意可得共线，则是等边三角形，取的中点，求出，再由数量积的运算律计算可得.
【详解】延长至，使，则，
所以共线，又的最小值为，且，
所以为等腰三角形，当且仅当时取得最小值，则，

所以是等边三角形，取的中点，则，当且仅当时取等号，
所以，即的最小值为.
故选：C
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）在中，，，，则（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】向量加法的法则、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、已知模求数量积
【分析】根据得出，再利用向量的线性运算得出，即可求出.
【详解】因为，所以，
即，
所以，即，
因为，则，
则，
所以.
故选：C.
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知向量，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、向量夹角的计算、坐标计算向量的模
【分析】由向量夹角的公式变形后再讨论夹角范围可得.
【详解】设向量的夹角为，则，
设的起点在原点，与轴正方向的夹角为
由可得与轴正方向的夹角为，
由可得的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大，
当的终点趋于正方向时，夹角趋近于，
所以，则，所以．
故选：A.
5．（2025·四川乐山·三模）已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案.
【详解】解法一：由余弦定理可知：，
所以，；
解法二：由余弦定理可知，
因为，则，
所以，
即，
故选：B.
6．（2025·河南·模拟预测）（多选题）已知为坐标原点，点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则
C．和的面积之和的最大值为1
D．若，则
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】根据向量的数量积的坐标运算及数量积运算可判断A；根据向量的定义及向量的模长公式可判断B；根据两点间的距离公式、同角关系式、三角形面积公式计算可判断C；由在单位圆上，结合题意分析可知当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，再由向量的数量积的坐标运算及模长运算可判断D.
【详解】对于A：由题意得，，故A正确；
对于B：若，则，又因为，所以或，
若，则，此时，
若，则，此时，故B正确；
对于C：，
，，
所以，
整理得，
所以和的面积之和的最大值为，故C错误；
对于D：若，注意到在单位圆上，
当且仅当与单位圆相切时，取最大值，此时恰为，
故为以为斜边的等腰直角三角形，
所以，故D正确.
故选：ABD.
7．（2025·陕西汉中·一模）（多选题）已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．
D．在方向上的投影向量坐标是
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、求投影向量
【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误.
【详解】对于A：，错误；
对于B：，正确；
对于C：，错误；
对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确.
故选：BD.
8．（2025·福建厦门·一模）（多选题）已知平面向量，，则（ ）
A．，不可能垂直B．，不可能共线
C．不可能为5D．若，则在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】根据向量数量积的坐标运算及模长公式结合正弦函数值域计算判断A，C，再应用平行向量坐标运算判断B，应用投影向量公式计算判断D.
【详解】，A选项正确；
若向量，共线，则，解得，所以向量，可能共线，B选项错误；
，所以，C选项正确；
若，则，，所以在方向上的投影向量为，D选项正确；
故选：ACD．
9．（2025·辽宁·模拟预测）（多选题）已知向量，则下列选项正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则向量的夹角为
D．若共线，则
【答案】AB
【难度】0.65
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数
【分析】由向量垂直的数量积表示可得A正确；由坐标计算模长可得B正确；由坐标计算向量的夹角可得C错误；由坐标表示向量平行可得D错误.
【详解】对于A，若，则，则，解得，故A项正确；
对于B，若，则，解得，故B项正确；
对于C，若，则，解得，则，
所以向量夹角的余弦值为，故C项错误；
对于D，若共线，则，解得或，故D项错误.
故选：AB.
11．（2025·四川·三模）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、求投影向量
【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求.
【详解】设与的夹角为，则，
因为在上的投影向量为，可得，
故，即与的夹角为.
故答案为：.
重难点题型5 平面向量的投影或投影向量
1．（2025·江西南昌·模拟预测）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、求投影向量
【分析】根据投影向量的求法及已知得，进而有，即可求夹角.
【详解】由题设，即，又，
所以，又，则.
故选：D
2．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知向量，，若在上的投影向量的模为，则k的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量
【分析】由投影向量的模长公式求解即可.
【详解】向量，，所以，
在上的投影向量的模为：，解得.
故选：B.
3．（2025·甘肃庆阳·三模）已知单位向量的夹角为，则向量与向量的数量积为（ ）
A．-1B．-2C．D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律
【分析】由题意及数量积运算律可得数量积
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
4．（2025·河北石家庄·三模）已知平面向量，是两个单位向量，在上的投影向量为，则（ ）
A．-1B．C．0D．1
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求投影向量
【分析】由投影向量的概念求得，从而求出，再利用向量数量积的运算律展开运算即可.
【详解】因为平面向量，是两个单位向量，
故在上的投影向量为,
所以,
所以,
故选：B.
5．（2025·云南·三模）已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】已知模求数量积、求投影向量
【分析】根据平面向量的模长与数量积的关系就得的值，再根据投影向量的定义求解即可.
【详解】由，，，
得，则，
所以在上的投影向量为.
故选：A．
6．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、已知模求数量积、求投影向量
【分析】根据给定条件，结合数量积的运算律求出，再利用投影向量的意义求解.
【详解】单位向量，满足，得，解得，
因此，，
所以在上的投影向量为.
故选：A
7．（2025·贵州黔南·模拟预测）（多选题）已知向量，且在方向的投影向量为，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BD
【难度】0.65
【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、求投影向量
【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误.
【详解】对于A，因为，故，故，故A错误；
对于B，因为，故，整理得，
故，故，故B正确；
对于C，由题设有在方向的投影向量为，故，
故即，故C错误，
对于D，由C的分析可得，故，故D成立.
故选：BD.
8．（2025·福建漳州·一模）（多选题）在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A．边上的高为B．
C．D．边上的中线为
【答案】ABD
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、求投影向量
【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D.
【详解】如图，过点C作于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知，所以，
设，则，又，所以，所以，
在中，，又，所以，
所以，，，所以，
在中，易得，
所以边BC的高为，故选项A正确；
在中，由余弦定理的推论得，
又因为，
所以，故选项B正确；
，故选项C错误；
设的中点为，则，
所以，
则，故选项D正确，
故选：ABD.
9．（2025·安徽六安·模拟预测）若向量，向量满足，则在上的投影向量的坐标为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】垂直关系的向量表示、求投影向量
【分析】由条件可得，再由投影向量的定义代入计算，即可求解.
【详解】由，可得，即，
所以在上的投影向量为.
故答案为：.
10．（2025·河北沧州·模拟预测）已知非零向量、、满足，若，、的夹角为，则向量在向量上的投影向量的模为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求投影向量、数量积的运算律、用定义求向量的数量积
【分析】设、的夹角为，利用平面向量数量积的定义与运算性质计算出的值，即可得解.
【详解】设、的夹角为，
因为，则，
即，所以，
所以向量在向量上的投影向量的模为．
故答案为：.
重难点题型6 平面向量的模长问题
1．（2025·福建龙岩·二模）已知向量，，且向量与的夹角为，则（ ）
A．1B．2C．3D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】应用平面向量夹角公式结合数量积坐标公式计算求解.
【详解】因为向量，，且向量与的夹角为，
所以，化简，
所以，则.
故选：B.
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知平面向量，，且，则（ ）
A．5B．C．37D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模
【分析】由向量共线的坐标表示及模长公式即可求解.
【详解】，
因为，
可得：，即，所以，
所以，
故选：B
3．（2025·海南·三模）在同一平面内，向量满足，则的最小值为（ ）
A．3B．2C．1D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模
【分析】由题意用向量的坐标运算求出的坐标，结合二次函数性质求出的最小值即可.
【详解】由题意，不妨设，则由得，
则，所以，所以，
所以当时，的最小值为3.
故选：A
4．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知，均为平面上的单位向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】根据单位向量的定义，和求出，再根据向量模长的计算方法，求出答案.
【详解】由题意知，，
可得，
，
故选：C.
5．（24-25高三下·山东·阶段练习）已知，为单位向量，且，则（ ）
A．B．2C．D．4
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】由得，即，根据求向量的模即可求解.
【详解】因为，所以，即，所以，
因此，即．
故选：C．
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量
【分析】根据投影向量的公式可得，计算模长可得结果.
【详解】由题意得，在上的投影向量为，
∵，∴，
∴，
∴.
故答案为：.
7．（2025·江西南昌·二模）已知向量，，则的最小值是 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示
【分析】设，由平面向量数量积的运算可出，再利用平面向量的模长公式结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】设，则，可得，
故，
当且仅当时，取最小值.
故答案为：.
8．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示
【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可.
【详解】因为向量，，
则，
因为，则，所以，
所以．
故答案为：
重难点题型7 平面向量的夹角问题
1．（2025·江西·模拟预测）若向量，，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示
【分析】根据向量的数量积的坐标表示和向量垂直的性质,求出参数,使用向量夹角余弦值的坐标公式,求出向量夹角余弦值.
【详解】已知,则，可得,解得.
所以,则.
故选：D.
2．（2025·江苏南京·模拟预测）若向量 满足 ，且 ，则向量 和向量 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】利用向量垂直、数量积的运算可得答案.
【详解】因为 ，所以，
即，
可得，因为，所以.
故选：C.
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）（多选题）若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】利用单位向量的定义结合数量积的定义求出，，，最后利用数量积的定义求解夹角即可.
【详解】因为是夹角为的单位向量，，，
所以，
，
而，故，
，故，
所以，
而，解得，
则向量与的夹角为，故C正确.
故选：C
4．（2025·黑龙江吉林·模拟预测）已知，且，则向量与的夹角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】由已知条件得出，结合平面向量数量积的运算性质和定义可求出的值，结合平面向量夹角的取值范围可得出向量与的夹角.
【详解】因为，且，则
，所以，
因为，故，即向量与的夹角是.
故选：A.
5．（2025·浙江·二模）若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】求投影向量、向量夹角的计算、数量积的运算律
【分析】根据投影向量定义计算得出数量积，再根据夹角公式计算求出余弦值，最后根据夹角范围计算夹角即可.
【详解】在上投影向量，，，
则，由于，.
故答案为：.
6．（2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则 .
【答案】
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算
【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可.
【详解】由题意可得： ，
故： ，即向量 与的夹角为 .
故答案为：
7．（2025·湖南娄底·模拟预测）设非零向量，，满足，且，．若向量在上的投影向量为，则向量与的夹角是 ．
【答案】或
【难度】0.65
【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、求投影向量
【分析】先根据向量等式推出，并得到.接着由坐标求其模长，再根据投影向量条件算出.然后用向量数量积公式求出与夹角.最后结合前面的结论，求出与的夹角.
【详解】因为，即，所以，
且，即．
由，得，因为向量在上的投影向量为，
由题意得，所以．设向量与的夹角为，
因为，所以，
所以，即与的夹角是．所以与的夹角是或.
故答案为：或.
重难点题型8 平面向量的平行与垂直
1．（2025·广西河池·二模）已知向量且，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示
【分析】根据向量线性运算坐标表示计算，，再有向量垂直数量积为0列式计算可得，即可求得.
【详解】因为，所以，，
由得，，
则有，解得或，
因为，所以，即.
故选：C
2．（2025·辽宁·三模）已知向量，向量在向量上的投影的数量为．若，则实数的值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】平面向量数量积的几何意义、数量积的运算律、垂直关系的向量表示、向量垂直的坐标表示
【分析】根据向量在向量上的投影及向量垂直，利用数量积运算及向量的模计算即可.
【详解】因为向量在向量上的投影的数量为，
所以，即，
又，所以，
又，所以，
所以，解得，
故选：A
3．（2025·山东枣庄·二模）已知向量，则（ ）
A．的充要条件是
B．的充要条件是
C．与垂直的充要条件是
D．若与的夹角为锐角，则的取值范围是
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】充要条件的证明、已知向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算、利用向量垂直求参数
【分析】根据给定条件，利用充要条件的定义求解判断ABC；利用向量夹角公式列式求出范围判断D.
【详解】对于A，，则或，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，由与的夹角为锐角，得且与不共线，由选项B知，，D错误.
故选：B
4．（24-25高二上·湖南·期末）已知向量，，且，则实数（ ）
A．B．C．5D．10
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知向量共线（平行）求参数、由向量共线（平行）求参数
【分析】由已知条件可求得，再根据向量平行的条件，即可求得的值.
【详解】由已知可得：，
因为，所以有，解之得：.
故选：C.
5．（2017·河北石家庄·二模）已知向量，，则“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、已知向量共线（平行）求参数
【分析】由，可得，解得，即可判断出结论.
【详解】解：由，可得：，解得，
“”是“”成立的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定知识，属于基础题型.
6．（2025·山东威海·三模）已知向量满足，则与的夹角为 ．
【答案】/
【难度】0.85
【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示
【分析】利用垂直向量的数量积为0可求得，然后由向量夹角公式可解.
【详解】因为，所以，得,
因为，
所以与的夹角为.
故答案为：
7．（2025·四川成都·三模）已知向量满足，则 .
【答案】2
【难度】0.94
【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模、垂直关系的向量表示
【分析】先根据垂直关系求出数量积，再利用模长公式可求答案.
【详解】因为，所以，所以.
又因为，所以.
故答案为：2
8．（2025·甘肃·模拟预测）已知向量，，若，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示
【分析】根据向量坐标运算得，再利用向量垂直的坐标表示和向量模的坐标表示即可得到答案.
【详解】，又因为，则，
即，解得，则，则.
故答案为：.
题型
平面向量的线性运算及其表示
平面向量的共线定理及其应用
平面向量的基本定理及其应用
平面向量的数量积运算
平面向量的投影或投影向量
平面向量的模长问题
平面向量的夹角问题
平面向量的平行与垂直
1、证明向量共线：若存在实数λ，使，则与非零向量共线．
2、证明三点共线：若存在实数λ，使，与有公共点A，则A，B，C三点共线．
3、求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．