八年级下册（2024）19.3 矩形、菱形、正方形课堂教学课件ppt

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1.掌握平行线等分线段定理及相关结论2.了解三角形的中位线的概念并掌握三角形中位线定理3.能运用三角形的中位线定理解决有关问题
如图，有一块三明治，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
已知，直线l1、l2、l3互相平行，直线AC和直线A1C1分别交直线l1、l2、l3于点A、B、C和点A1、B1、C1，且AB=BC.求证：A1B1=B1C1.
过点B1作EF∥ AC，
分别交直线l1、l3于点E、F.
∴ 四边形ABB1E和四边形BCFB1都是平行四边形
∴ △A1B1E≌△C1B1F
∴ A1B1=B1C1
∴ ∠A1EB1=∠C1FB1
在△A1B1E和△C1B1F中
∠A1B1E=∠C1FB1
∠A1EB1=∠B1FC1
那么在其他直线上截得的线段也相等.
平行线等分线段定理推论：
问题1：一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？
如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF.
问题2：画出△ABC中的中线，说出三角形的中位线与中线的区别.
定义：连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线.
中位线是连接三角形两边中点的线段.
中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段.
问题3：如图，DE是△ABC的中位线，与BC有怎样的关系？
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
延长DE到F，使EF=DE．
连接AF、CF、DC ．
∵AE=EC，DE=EF ，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴ DE∥BC， ．
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
1.三角形中位线定理：
△ABC中，若D、E分别是边AB、AC的中点，则DE∥BC，DE= BC．
探究 三角形中位线定理的运用
问题提出1：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．
题中已知三个中点，可以联想到运用 的性质解题.由中位线的性质可知PM=PN，
再利用平行线两直线平行，同旁内角 的性质可求出∠MPN的度数.
最后根据 的性质即可求出∠PMN的度数.
解：∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，
∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，
∴△PMN是等腰三角形，
∵PM∥AB，PN∥DC，
∴∠MPD=∠ABD=20°，∠NPD+∠BDC=180°，
∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+110°=130°，
∴∠PMN=(180°−130°)÷ 2 =25°．
问题提出2：如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．BE的延长线与AC边相交于点D，求证：2EF=AC-AB.
已知AE平分∠BAC，BE⊥AE可推出AB AD，结合BE⊥AE，通过等腰三角形的 性质可得BE=DE，点F是BC的中点，三角形中位线定理可得出DC= ，通过线段等量关系可证明2EF=AC-AB.
证明：∵AE⊥BD∴∠BAE+∠ABE=90°，∠DAE+∠ADE=90°∵AE平分∠BAC∴∠ABE=∠ADE∵AE⊥BD∵BF=FC
∴∠AED=∠AEB=90°
∴2EF=DC=AC-AD=AC-AB
△ABC的中线BD，CE相交于O，F，G分别是BO，CO的中点，求证：EF∥DG，且EF=DG．
∵BD，CE是△ABC的中线
∴D，E是AB，AC的中点
∴DE∥FG，DE=FG
∴四边形DEFG是平行四边形
∴EF∥DG，EF=DG
1. 如图，如果AD= AC，AE= AB，DE=2cm，那么BC= cm.
2.如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC中点．
（1）若DE=5，则BC= ．
（2）若∠B=65°，则∠ADE= °．
（3）若DE+BC=12，则BC= ．
3.如图，△ABC是等边三角形，D、E分别为AB、AC的中点，连接CD，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F．求证：DE=CF.
证明：∵D、E分别为AB、AC的中点∴DE∥BC∵EF∥CD∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE=CF．
4.如图，在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，∠ABC的平分线交线段DE于点F，若EF=3，BC=18，求线段AB的长.
解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点∴DE∥BC，DE= BC=9∴∠DFB=∠FBC，DF=DE-EF=9-3=6∵BF平分∠ABC∴∠ABF=∠FBC∴∠ABF=∠DFB∴DB=DF=6