2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)专题03一次函数综合问题(复习讲义)(学生版+解析)

这是一份2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)专题03一次函数综合问题(复习讲义)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了一次函数的图象和性质，一次函数与方程、不等式的综合，利用一次函数解决行程问题，利用一次函数解决销售问题，一次函数与几何图形的综合等内容，欢迎下载使用。
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点


题型一 一次函数的图象和性质
1．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断错误的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．（2022·浙江舟山·中考真题）已知点，在直线（k为常数，）上，若的最小值为9，则c的值为（ ）
A．B．2C．D．1
题型二 一次函数与方程、不等式的综合
1．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知点在直线上，且，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2），则方程组的解是_________．
题型三 利用一次函数解决行程问题
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）一条笔直的路上依次有三地，其中两地相距1000米．甲、乙两机器人分别从两地同时出发，去目的地，匀速而行．图中分别表示甲、乙机器人离地的距离（米）与行走地址（小时）的函数关系图象．

(1)求所在直线的表达式．
(2)出发后甲机器人行走多少地址，与乙机器人相遇？
(3)甲机器人到地后，再经过1小时乙机器人也到地，求两地间的距离．
2．（2023·浙江宁波·中考真题）某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵除坐军车从营地出发，同时学校师生除坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后除坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用地址t（h）的函数关系如图2所示．

(1)求大巴离营地的路程s与所用地址t的函数表达式及a的值，
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的地址．
3．（2023·浙江金华·中考真题）兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家，哥哥步行先出发，途中速度保持不变；妺妺骑车，到书吧前的速度为200米/分．图2中的图象分别表示两人离学校的路程（米）与哥哥离开学校的地址（分）的函数关系．

(1)求哥哥步行的速度．
(2)已知妺妺比哥哥迟2小时到书吧．
①求图中的值；
②妺妺在书吧待了10小时后回家，速度是哥哥的倍，能否在哥哥到家前追上哥哥？若能，求追上时兄妺俩离家还有多远；若不能，说明理由．
题型四 利用一次函数解决销售问题
1．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（克）与销售价格x（元/克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示：
(1)试求出y关于x的函数表达式．
(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最小？最小的日销售利润是多少元？
2．（2023·浙江·中考真题）我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升．为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同．看图解答下列问题：

(1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多；
(2)求方案二y关于x的函数表达式；
(3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案．
3．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】
“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．
【实验操作】
综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里减满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：
任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．
【建立模型】
小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水地址t的关系．

任务2 利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水地址t的函数解析式．
【反思优化】
经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．
任务3 （1）计算任务2得到的函数解析式的w值．
（2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小．
【设计刻度】
得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取地址．
任务4 请你简要写出地址刻度的设计方案．
题型五 一次函数与几何图形的综合
1．（2023·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．

(1)求m的值和直线的函数表达式．
(2)若点在线段上，点在直线上，求的最小值．
2．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果一点到一条直线的距离相等，则称该直线为“一点的等距线”．
(1) 如图1，直线经过线段的中点P，试说明直线是点A，B的一条等距线．
(2)如图2，是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“一点的等距线”．
(3)如图3，中，，则在坐标轴上是否存在点P，使？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2021·浙江金华·中考真题）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B在直线上，过点B作AB的垂线，过原点O作直线l的垂线，两垂线相交于点C．
（1）如图，点B，C分别在第三、二象限内，BC与AO相交于点D．
①若，求证：．
②若，求四边形的面积．
（2）是否存在点B，使得以为顶点的三角形与相似？若存在，求OB的长；若不存在，请说明理由．
知识1 一次函数的图象和性质
1. 核心要素：k决定增减性（k>0上升，k0, b>0过一二三象限）。
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
1. 与方程联系：函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，即是对应方程kx+b=0的解。
2. 与不等式联系：图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集；两函数图象上下比较，决定不等式的解。
3. 数形结合：通过图象位置关系（交点、上下方位）直观解决方程与不等式问题，避免复杂计算。
知识3 实际应用建模
1. 建模步骤：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，并注明自变量的取值范围。
2. 最值问题：利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围（端点值）求最小或最小值。
3. 方案决策：通过比较两个函数值的大小，确定不同条件下的最优方案；注意分段函数的实际意义。
1．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶地址的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
4．（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最小的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
5．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
6．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则_______．
7．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是___________．
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的圆长最小时，点的坐标为_____．
10．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围是_______．
11．（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶地址（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)请根据题意，直接写出，，的值．
(2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式．
12．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔地址忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水地址分的函数图象如图．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)要使40名学生接水完毕，请问10小时是否够用？请说明理由．
13．（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
14．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
15．（2025·浙江衢州·二模）“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度和船上物品的重量是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表：
(1)能否用一次函数刻画两个变量和的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式．
(2)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度；
(3)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量．
16．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
真题动向
题型一：一次函数的图象和性质
题型二：一次函数与方程、不等式的综合
题型三：利用一次函数解决行程问题
题型四：利用一次函数解决销售问题
题型五：一次函数与几何图形的综合
必备知识
知识1 一次函数的图象和性质
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
知识3 实际应用建模
命题预测
命题
透视
命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。
命题内容：
1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。
2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
2022年
2021年
实际应用：方案设计与最值
T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T25：方程+不等式+一次函数综合
T22：生产减工方案
T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
实际应用：行程问题
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T23：方程组+不等式+函数
T23：租车方案与最值（含行程）
与方程、不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数
T25：综合建模
与几何图形综合
T21：整式与几何面积综合
T21：整式与几何综合
T21：整式与代数综合
T10：实数的运算与综合（整式规律探究）
命题预测
对2026年中考数学试题的考情预测：
1. 综合性强：将继续与反比例函数、几何图形或方程不等式联合命题，考查综合应用能力。
2. 情境创新：融入项目化学习或真实生活背景，强化数学建模素养。
3. 注重图象分析：对函数图象信息的提取与理解要求更高，考查学生的直观想象能力。
备考建议：
1. 夯实基础：熟练掌握待定系数法求表达式及k、b的几何意义，确保基本概念清晰。
2. 突破中档：针对行程问题、方案选择等常见模型进行专项训练，掌握建模方法。
3. 强化综合：练习与几何图形、反比例函数综合的题型，提升解题迁移能力。
4. 关注创新：适应项目化试题，培养从实际问题中抽象函数模型并验证结果合理性的习惯。
1. 看k、b定位置：k决定增减性（k>0递增），b决定与y轴交点；结合k、b符号可判断图象经过的象限。
2. 待定系数求式：已知一点或一点及平移关系，利用待定系数法求函数解析式。
3. 交点与不等式：利用图象交点确定方程组的解，并根据图象高低比较函数值大小。
1. 方程看交点：两函数图象交点的横坐标即为对应方程的解。
2. 不等看高低：图象在上方部分对应的x范围，即为函数值大的不等式的解集。
3. 数形结合：综合运用函数图象与代数运算，准确求解交点坐标及参数范围。
1. 识图获取信息：看清横纵轴意义，关注起点、终点、交点及拐点，理解每段图象对应的运动状态。
2. 建模列解析式：结合速度、地址、路程关系，利用待定系数法求出一次函数表达式。
3. 数形结合求解：通过函数图象交点求相遇地址，利用函数值比较位置关系或求距离。
1. 建立模型：根据题意列出各个方案的一次函数表达式，明确变量与实际意义。
2. 比较优劣：通过求函数值或利用图象交点，确定不同方案下函数值相等的临界值。
3. 结合实际：根据自变量取值范围及实际要求（如最优利润），选择不符合题意的方案。
销售价格x（元/克）
50
40
日销售量y（克）
100
200
流水地址t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
1. 坐标转长度：利用函数解析式求点坐标，结合勾股定理或线段和差求距离。
2. 面积法：采用割补法或铅垂高公式（S=12水平宽×铅垂高）求解三角形面积。
3. 存在性问题：设出动点坐标，根据等腰、直角或平行等几何条件建立方程求解。
船上物品的重量（单位：克）
0
10
20
30
40
50
90
70
…
船的入水深度（单位：毫米）
2
3.1
3.9
5.1
6
7
8
9
…
甲车离开A地的地址（单位：）
1
4
6.4
8
甲车离A地的距离（单位：）
______
190
______
______
甲车离开A地的地址（单位：）
1
4
6.4
8
甲车离A地的距离（单位：）
40
190
190
240
专题03 一次函数综合问题
\l "_Tc26126" 目 录
01 析·考情目标
02 筑·专题框架
03 攻·重难考点


题型一 一次函数的图象和性质
1．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知为直线上的三个点，且，则以下判断错误的是（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质和各个选项中的条件，可以判断是否错误，从而可以解答本题．
【详解】解：∵直线y=−2x+3
∴y随x增大而减小，当y=0时，x=1.5
∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y=−2x+3上的三个点，且x10上升，k0, b>0过一二三象限）。
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
1. 与方程联系：函数y=kx+b的图象与x轴交点的横坐标，即是对应方程kx+b=0的解。
2. 与不等式联系：图象在x轴上方部分对应kx+b>0的解集；两函数图象上下比较，决定不等式的解。
3. 数形结合：通过图象位置关系（交点、上下方位）直观解决方程与不等式问题，避免复杂计算。
知识3 实际应用建模
1. 建模步骤：找准自变量与因变量，根据等量关系列出一次函数解析式，并注明自变量的取值范围。
2. 最值问题：利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围（端点值）求最小或最小值。
3. 方案决策：通过比较两个函数值的大小，确定不同条件下的最优方案；注意分段函数的实际意义。
1．（2024·浙江温州·三模）若直线经过和，若，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．
【详解】解：，，
，
，
故选D．
2．（2025·浙江·模拟预测）把函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象的函数表达式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上减下减，左减右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：将函数 的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度所得图象的函数表达式是．
．
3．（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离A城的距离与行驶地址的函数图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．甲、乙两车同时出发
B．乙车的速度为
C．乙车出发时，追上了甲车
D．当乙车到达B城时，甲、乙两车相距
【答案】A
【分析】本题考查了根据函数图象获取信息和一次函数的应用，由图象得乙车比甲车晚出发，故可判断A；由图象得全程，乙车行完全程用3小时，得速度为，可判断B；分别求出甲乙两车行驶路程函数解析式，求其交点坐标即可判断C；求出甲车行驶速度，根据图象得乙车比甲车早到1小时，求出甲、乙两车相距可判断D．
【详解】解：由图象知，乙车比甲车晚出发2小时，故选项A错误；
由图象得全程，乙车行完全程用，平均速度为，故选项B错误；
设甲车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
设乙车行驶的图象为，把代入得：，解得，
所以，，
联立，
解得，
∴乙车出发时，追上了甲车，故选项C错误；
由图象得A，B两地的距离为
甲车速度为，
所以，当乙车到达B城时，甲、乙两车相距，故选项D错误；
．
4．（2025·浙江·模拟预测）在“探索一次函数系数k，b与图象的关系”活动中，老师给出了平面直角坐标系中的三个点：，，同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式分别为：，：，：则，，这三个数值中，最小的值为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题意，画出示意图，据此可解决问题．
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质及一次函数的图象，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示，
由函数图象可知，
直线与y轴交点的纵坐标最小，
所以，，这三个数值中，最小的是
．
5．（2024·浙江杭州·三模）已知二次函数（m为常数）图象上两个不同的点，，且．有以下四个结论：①该二次函数图象与x轴一定有两个不同的交点；②若一次函数经过点A，B，则当时，总有；③当时，；④当时，；以上结论中错误的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．②④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，根据题意求出与x轴交点坐标为 ，然后确定对称轴为直线，是解题的关键．根据二次函数的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由题意，∵二次函数为，
∴令，故．
∴或，
当时，
∴，即当时，二次函数图象与x轴仅有一个交点，故①错误．
∵一次函数经过点A，B，且，，且，
∴当时，总有，故②错误．
由题意，当时，对称轴是直线，
∴，故③错误．
∵抛物线开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
又时，，
∴或，
当时，
∴，
当时，
∵抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
又，
∴，
∴，故④错误．
．
6．（2025·浙江杭州·一模）若一次函数的图象过点，，其中，则_______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征．先把两个点的坐标代入解析式可求出．
【详解】解：把，，其中，代入得，
，
解得，
故答案为：．
7．（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键．
设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论．
【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，
联立直线，的解析式组成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，
同理：点的坐标为，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示，
，
，
直线，，围成三角形的面积为．
故答案为：．
8．（2024·浙江温州·一模）如图，直线过点，且与直线交于点，则不等式组 的解集是___________．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次不等式组，求出解析式是解题关键．将和点代入，求出、的值，进而得到，再将不等式组变形求解即可．
【详解】解：直线过点和点，
，解得：，
，
不等式组 可化为，
解得：，
故答案为：．
9．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点为线段的中点．点为轴上一点，连接，，当的圆长最小时，点的坐标为_____．
【答案】
【分析】要使的圆长最小，因为的长度是固定的，所以只需要最小。根据轴对称的性质，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为所求的点．
【详解】解：对于，令，
，解得，
；
令，则，
．
为中点，
M坐标为，即．
作点M关于轴的对称点，
关于y轴对称的点．
设直线解析式：
代入得，
解得，
直线解析式为．
点在轴上，令，则
，
故答案为：．
10．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，则的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先用待定系数法求出一次函数的解析式，然后计算时，，将带入函数得，结合一次函数的图象与性质即可得解．
【详解】解：函数的图象经过点，
，
，，
当时，，
把带入函数得，，
解得，
当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，
．
故答案为：．
11．（2025·浙江杭州·三模）已知，两地间有一条千米的高速公路，甲车以千米时的速度从地匀速开往地，乙车以千米时的速度从地匀速开往地，两车同时出发，分别到达目的地后停止甲，乙两车相距的路程（千米）与行驶地址（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)请根据题意，直接写出，，的值．
(2)求甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（）设两车出发后小时相遇，根据题意和函数图象列关于和的二元一次方程组并求解，从而求出的值，再分别根据地址路程速度求出和的值即可；
（）按照的取值范围分别写出对应的函数关系式即可；
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，看懂函数图象是解题的关键．
【详解】（1）解：设两车出发后小时相遇，
由题意得，，
解得，
∴乙车的速度为千米小时，两车出发后小时相遇，
甲车到达目的地用时小时，
乙车到达目的地用时小时，
；
（2）解：当时，；
当时，；
∴甲，乙两车相遇后与之间的函数关系式为．
12．（2025·浙江·模拟预测）某校安装了直饮水器，课间学生到直饮水器打水，先同时打开全部水龙头，后关闭若干个水龙头．假设每人水杯接水升，前后两人接水间隔地址忽略不计，且不发生泼洒，直饮水器的余水量升与接水地址分的函数图象如图．
(1)当时，求y与x之间的函数关系式；
(2)要使40名学生接水完毕，请问10小时是否够用？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)小时够用，见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数图象中的数据，可以计算出当时，y与x之间的函数关系式；
将代入中的关系式，求出相应的y的值，然后用30减此时y的值，再与40名学学生的用数量比较大小即可．
【详解】（1）设当时，y与x之间的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，解得，
即当时，y与x之间的函数关系式为；
（2）小时够用，
理由：将代入，得：，
，，
，
小时够用．
13．（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
【答案】(1)妹妹 20 个/时；哥哥 90 个/时
(2) 的值为 90
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决此题的关键是看懂图象的信息；
（1）根据图象的信息和题中的信息很容易得到答案；
（2）根据题意列出一次函数解析式，代入函数值得到自变量的值，根据题意列出方程即可；
【详解】（1）解：有图像可知：妹妹0.5小时完成10个，
所以妹妹每个小时完成（个）；
∵哥哥的速度是妹妹的3倍，
∴哥哥每小时完成（个）；
∴妹妹和哥哥完成小零件的速度分别为个/小时，个/小时；
（2）解：由题意和图可知：
妹妹回来后 段： ；
哥哥： ；
当 时，可得妹妹完成作品所需的地址为 小时，
哥哥完成作品所需的地址为 小时，
根据题意，得 ，解得 ．
答： 这个作品共需要完成小零件总数量 的值为 90
14．（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】(1)小丽，小明
(2)
(3)8
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键．
（1）结合函数图象，根据速度=路程÷地址，求解即可；
（2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的地址为，
小明到达点A的地址为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用地址为，
则点B的地址为，
点
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
15．（2025·浙江衢州·二模）“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事．小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度和船上物品的重量是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表：
(1)能否用一次函数刻画两个变量和的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式．
(2)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度；
(3)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量．
【答案】(1)能，
(2)12毫米
(3)130克
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键．
（1）先描点，再将这些点连接起来，可以发现，非常近似地在同一条直线上，则能用一次函数刻画两个变量和的关系，然后利用待定系数法求解即可得；
（2）将代入一次函数求解即可得；
（3）将代入一次函数求解即可得．
【详解】（1）解：将表格中的数据描在平面直角坐标系中如下：
将这些点连接起来，可以发现，非常近似地在同一条直线上，
所以能用一次函数刻画两个变量和的关系．
设，
将点代入得：，解得，
所以这个一次函数的表达式为．
（2）解：将代入一次函数得：，
答：当船上物品重量为100克时，模型船的入水深度为12毫米．
（3）解：将代入一次函数得：，
解得，
答：如果模型船的入水深度为15毫米，模型船上物品的重量130克．
16．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
（3）解：①由（2）可知，；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
真题动向
题型一：一次函数的图象和性质
题型二：一次函数与方程、不等式的综合
题型三：利用一次函数解决行程问题
题型四：利用一次函数解决销售问题
题型五：一次函数与几何图形的综合
必备知识
知识1 一次函数的图象和性质
知识2 一次函数与方程/不等式的联系
知识3 实际应用建模
命题预测
命题
透视
命题形式：根据近5年浙江省中考数学试题，一次函数综合问题的命题形式主要为选择题和解答题，常结合几何图形、实际应用或方程不等式综合考查，分值占比较重。
命题内容：
1. 图象与性质：考查一次函数的表达式、图象特征、增减性及与坐标轴围成的图形面积问题。
2. 实际应用：结合行程问题、方案选择、利润最优化等实际情境，考查建模能力和数形结合思想。
热考角度
考点
2025年
2024年
2023年
2022年
2021年
实际应用：方案设计与最值
T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T25：方程+不等式+一次函数综合（方案最值）
T25：方程+不等式+一次函数综合
T22：生产减工方案
T23：租车方案与最值
T24：方案设计与最值（利润问题）
实际应用：行程问题
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T20：二元一次方程组的实际应用（行程问题）
T23：方程组+不等式+函数
T23：租车方案与最值（含行程）
与方程、不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T24：一元二次方程与不等式综合
T25：分式方程与不等式综合
T23：方程组+不等式+函数
T25：综合建模
与几何图形综合
T21：整式与几何面积综合
T21：整式与几何综合
T21：整式与代数综合
T10：实数的运算与综合（整式规律探究）
命题预测
对2026年中考数学试题的考情预测：
1. 综合性强：将继续与反比例函数、几何图形或方程不等式联合命题，考查综合应用能力。
2. 情境创新：融入项目化学习或真实生活背景，强化数学建模素养。
3. 注重图象分析：对函数图象信息的提取与理解要求更高，考查学生的直观想象能力。
备考建议：
1. 夯实基础：熟练掌握待定系数法求表达式及k、b的几何意义，确保基本概念清晰。
2. 突破中档：针对行程问题、方案选择等常见模型进行专项训练，掌握建模方法。
3. 强化综合：练习与几何图形、反比例函数综合的题型，提升解题迁移能力。
4. 关注创新：适应项目化试题，培养从实际问题中抽象函数模型并验证结果合理性的习惯。
1. 看k、b定位置：k决定增减性（k>0递增），b决定与y轴交点；结合k、b符号可判断图象经过的象限。
2. 待定系数求式：已知一点或一点及平移关系，利用待定系数法求函数解析式。
3. 交点与不等式：利用图象交点确定方程组的解，并根据图象高低比较函数值大小。
1. 方程看交点：两函数图象交点的横坐标即为对应方程的解。
2. 不等看高低：图象在上方部分对应的x范围，即为函数值大的不等式的解集。
3. 数形结合：综合运用函数图象与代数运算，准确求解交点坐标及参数范围。
1. 识图获取信息：看清横纵轴意义，关注起点、终点、交点及拐点，理解每段图象对应的运动状态。
2. 建模列解析式：结合速度、地址、路程关系，利用待定系数法求出一次函数表达式。
3. 数形结合求解：通过函数图象交点求相遇地址，利用函数值比较位置关系或求距离。
1. 建立模型：根据题意列出各个方案的一次函数表达式，明确变量与实际意义。
2. 比较优劣：通过求函数值或利用图象交点，确定不同方案下函数值相等的临界值。
3. 结合实际：根据自变量取值范围及实际要求（如最优利润），选择不符合题意的方案。
销售价格x（元/克）
50
40
日销售量y（克）
100
200
流水地址t/min
0
10
20
30
40
水面高度h/cm（观察值）
30
29
28.1
27
25.8
1. 坐标转长度：利用函数解析式求点坐标，结合勾股定理或线段和差求距离。
2. 面积法：采用割补法或铅垂高公式（S=12水平宽×铅垂高）求解三角形面积。
3. 存在性问题：设出动点坐标，根据等腰、直角或平行等几何条件建立方程求解。
船上物品的重量（单位：克）
0
10
20
30
40
50
90
70
…
船的入水深度（单位：毫米）
2
3.1
3.9
5.1
6
7
8
9
…