2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)专题03中考几何压轴---三角形与四边形综合(重难专练)(学生版+解析)

这是一份2026年中考数学二轮复习讲练测(浙江专用)专题03中考几何压轴---三角形与四边形综合(重难专练)(学生版+解析)，共20页。试卷主要包含了定义，已知，综合与实践等内容，欢迎下载使用。
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
题型1 特殊三角形综合问题
1．（2026·浙江·模拟预测）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A,B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E．作EN⊥BC，垂足为N．
(1)若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长．
(2)求BMPN的值．
(3)如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD．
2．（2026·浙江·一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连接AE，CD，DE，AB=CD，EB=ED，DE平分∠BDC．
(1)求证：∠DEB=∠AEC．
(2)若BE=4，CE=6，求AC．
(3)如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求EGDF的值．
3．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE=BD，连接AE．
(1)直接判断AE与AD的位置关系
(2)如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若AE=2，CE=2，求EG的长．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，AB=6，求BC的长．
【证明体验】（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2．
【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转到△BEF，当E，F，C三点共线时，求线段CF的长．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在△ABC中，BC=5,AC=35,tan∠BCA=2．
(1)如图1，求△ABC的面积．
(2)如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合．
①连接AA1,CA1．求△AA1C的面积．
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连接CE．当CD=2AD时，求CE2−BD2的最小值．
6．（2025·浙江杭州·二模）综合与实践
我们已经学过，在△ABC中，若∠ABC=90°，则三角形四边满足勾股定理：AC2=AB2+BC2．
【知识应用】
（1）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC>AB，则AC2−AB2=BCCD−BD，请说明理由．
【拓展探究】
（2）如图4，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC的中点，连接BE．
求证：BE2−14AC2=BD⋅BC．
【拓展应用】
（3）如图5，在△ABC中，点E在边AB上（不与点A，B重合），点F在边BC上（不与点B，C重合），连接EF，∠BEF=∠BCA，点O为△BEF的外心，连接OA，OC，求证：OC2−OA2=BC2−BA2．
题型2 平行四边形综合问题
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】
（1）如图（1），在△ABC和△EDB中，点E在BC上，AC∥BD，∠A=∠BED，求证：△ABC∽△EDB．
【尝试应用】
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结CD．若∠BCD=90°,AC=EC=2,BE=4，求DE的长．
【拓展提高】
（3）如图（3），在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=90°，点E是边CD上一点，DE=2CE，连结AE交BD于点F，线段AE与BC的延长线交于点P，若∠AFB=∠ABC，OF=1，求平行四边形ABCD的面积．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在▱ABCD中，AB=5,AD=10,tan∠DAB=3．
(1)求AC的长，
(2)把△ABC绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线AC上时，EF与DC的交点为G，求四边形ADGE的面积；
②如图2，点E在对角线AC下方时，线段EF的反向延长线交BD与点P，连接AP，求DP−AP的最小值．
3．（2025·浙江·模拟）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4点，D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，DE与AC相交于F，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．

(1)如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时，求线段DF的长；
(2)如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，连接BD，若B，D，E共线，求线段AE的长；
(3)如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，当∠DPE=150°时，若DP=2，PE=23，求线段AP的长．
题型3三角形综合问题
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三角形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是边AD上的动点，连结CE，以CE为边作三角形CEFG（点D、G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．
(1)如图1，当点E在AD的中点时，点B、E、F在同一直线上，求BF的长；
(2)如图2，当∠BCE=30°时，求证：线段BF被CE平分．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，三角形ABCD中，AB=3，AD=4．

(1)点E是边BC上一点，将△ABE沿直线AE翻元，得到△AFE．
①如图1，当AF平分∠EAD时，求BE的长；
②如图2，连接DF，当BE=1时，求△ADF的面积；
(2)点E为射线BC上一动点，将三角形ABCD沿直线AE进行翻元，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
3．（2023·浙江温州·一模）如图1，在三角形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足DQCP=35，E是射线AD上一点，AP=EP，设DQ=x，AP=y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
4．（2025·浙江·二模）综合与实践
【动手操作】如图①，四边形ABCD是一张三角形纸片，AB=6，AD=5．先将三角形ABCD对元，使BC与AD重合，元痕为MN，沿MN剪开得到两个三角形．三角形AMND保持不动，将三角形MBCN绕点M逆时针旋转，点N的对应点为N′．
【探究发现】（1）如图②，当点C与点D重合时，MN′交AD于点E，BC交MN于点F，此时两个三角形重叠部分四边形MEDF的形状是______，面积是______；
（2）如图③，当点N'落在AD边上时，BC恰好经过点N，N′C与DN交于点G，求两个三角形重叠部分四边形MN′GN的面积；
【引申探究】（3）当点N′落在三角形AMND的对角线MD所在的直线上时，直线N′C与直线DN交于点G，请直接写出线段DG的长．
题型4 菱形综合问题
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC平分∠BAD，OA=OC．
(1)如图1，求证：四边形ABCD是菱形；
(2)如图2，AB=AC，CH⊥AD于点H，交BD于点E，连接AE，点G在AB上，连接EG交AC于点F，若∠AGE=45°，在不添减任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条与线段AG相等的线段（线段AG除外）．
2．（2026·浙江·模拟预测）在菱形ABCD中，BD=6，AC=8
(1)如图1，求AB的长．
(2)如图2，以点A为旋转中心，逆时针转动△ABC，记点B，C旋转得到的对应点分别为E，F．当EF第一次平行于BD时，停止旋转．
①当EF∥BD时，求sin∠BAE的值．
②如图3，设旋转停止前，直线EF交射线DB于点P，连接AP，求DP−AP的最小值．
3．（2025·浙江·模拟预测）已知菱形ABCD，AB=2，∠B=60°，点E为射线BC上的一个动点，连结EA，ED
(1)如图1，若ED⊥AD，求EA的长；
(2)如图2，点F为AE上一点，且∠ADF=∠AED，求证：AF⋅AE=4；
(3)如图3，在（2）的条件下，连结BF，（i）∠AFB的大小是否为定值？如果是定值，请求出定值，否则说明理由，（ⅱ）求EDEA的最小值．
4．（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形ABCD的面积为406，cs∠ABC=15．
(1)如图1，求菱形ABCD的边长．
(2)若点E是射线AD上的一点（不与端点A，D重合），连接EB，EC．
①如图2，点A关于BE的对称点为点A′，当点A′落在线段EC上时，求AE的长．
②如图3，求EBEC的最小值．
题型5 正方形综合问题
1．（2025·浙江杭州·模拟预测）在正方形ABCD中，G是BC上一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F．
(1)如图1，求证：DE−BF=EF；
(2)如图2，过点C作CH⊥AG于点H，连接BE、CF，若点G为BC中点，在不添减任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使得每个三角形的面积等于四边形DEFC面积的15．
2．（2026·浙江·二模）如图，已知正方形ABCD,AB=6,E,F是AD,AB上的两个动点，CE⊥DF,CE,DF交于点G．
(1)求证：CE=DF；
(2)若四边形AEGF的面积为45，求CE的长；
(3)求EFDF的最小值．
3．（2026·安徽·模拟预测）在边长为4的正方形ABCD中，M是AD边的中点，点E是AB边上的一个动点，连接EM并延长交射线CD于点F．
(1)如图1，连接CM，当AE=1时，求证：CM⊥EF；
(2)过点M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG，FG．
（ⅰ）如图2，求证：MG=2ME；
（ⅱ）如图3，当△BEG∽△CGF时，求tan∠BGE的值．
4．（2024·浙江·模拟）已知在正方形ABCD中，对角线BD=4，点E、F分别在边AD、CD上，DE=DF．
(1)如图，如果∠EBF=60°，求线段DE的长
(2)过点E作EG⊥BF，垂足为点G，与BD交于点H．
①求证：EHBE=DHBD；
②设BD的中点为点O，如果OH=1，求BGGF的值．
题型6 动点与存在性综合问题
1．（2023·浙江金华·三模）如图，在三角形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C−D−A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．连接PQ交AC于点E．过点E作EF⊥PQ，交直线CD于点F．

(1)当点Q在线段CD上时，求证：CEAE=32．
(2)当DQ=1时，求△APE的面积．
(3)在P，Q的运动过程中，是否存在某一位置，使得以点E，F，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由．
2．（2024·浙江一模）如图，在菱形ABCD中，已知∠BAD=120°，对角线BD长12．

(1)求菱形ABCD的圆长；
(2)动点P从点A出发，沿A→B的方向，以每秒1个单位的速度向点B运动；在点P出发的同时，动点Q从点D出发，沿D→C→B的方向，以每秒2个单位的速度向点B运动．设运动地址为t（s）
①当PQ恰好被BD平分时，试求t的值；
②连接AQ，试求：在整个运动过程中，当t取怎样的值时，△APQ恰好是一个直角三角形？
3．（2024·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=7，tan∠DAB=43，点E是AB上一点．AE=4，P从点E出发，沿元线EA−AD以每秒3个单位长度的速度运动，到D停止．连接PE，将线段PE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．连接PF．设点P的运动地址为t秒．
(1)用t表示线段AP的长度；
(2)连接AC，求tan∠CAB的值；
(3)当点F在平行四边形ABCD的对角线上时，求t的值；
(4)连接DE．当DE分线段PF为1:2的两部分时，直接写出t的值．
题型7 元叠、旋转与几何变换综合
1．（2025·湖南邵阳·三模）如图1，点E在正方形ABCD的边BC上．将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF．边DC分别与AF，EF相交于点H，N．
(1)证明：△ABE∽△ECN．
(2)如图2，连接BD，与线段AF，AE分别相交于点P，Q．
①猜想PE与AF的数量关系，并说明理由；
②设正方形ABCD的边长为3，BE=a0≤a≤1，DPBP=λ，求线段EH的长（用字母a和λ表示）．
2．（2024·浙江·模拟）在三角形ABCD中，AB=5，BC=4．
(1)如图1，P为BC边上一点，将△ABP沿直线AP翻元至△APQ的位置，其中点Q是点B的对称点，当点Q落在CD边上时，请你直接写出DQ的长为 ．
(2)如图2，点E是AB边上一动点，过点E作EF⊥DE交BC边于点F，将△BEF沿直线EF翻元得△B′EF，连接DB′，当△DEB′是以DE为腰的等腰三角形时，求AE的长；
(3)如图3，点M是射线AB上的一个动点，将△ADM沿DM翻元，其中点A的对称点为A′，当A′，M，C三点在同一直线上时，请直接写出AM的长．
3．（2025·浙江·二模）如图1，正方形ABCD中，点E是边AB上一点，连接DE，取DE中点F，连接BF并延长交CD延长线于点G．
(1)求证：BF=GF．
(2)将BF绕点F逆时针旋转90°至HF（如图2），连结BH，CH，DH，
①求∠DCH的度数；
②求证：∠ADE+∠CDH=45°．
4．（2023·浙江嘉兴·一模）如图1，在正方形纸片ABCD中，点E是AD的中点．将△ABE沿BE元叠，使点A落在点F处，连结DF．
(1)求证：∠BEF=∠DFE．
(2)如图2，延长DF交BC于点G，求DFDG的值．
(3)如图3，将△CDG沿DG元叠，此时点C的对应点H恰好落在BE上．若记△BEF和△DGH重叠部分的面积为S1，正方形ABCD的面积为S2，求S1S2的值．
5．（2023·浙江嘉兴·二模）如图1，正方形ABCD中，点E，F为边AD，CD上的点，若DE=DF，点G为BE中点，连结AG．

(1)探索并证明AG与BF有怎样的位置和数量关系；
(2)转动△DEF至如图2位置时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明：若不成立，请说明理由．
(3)若DE=12AD=2，△DEF绕着点D旋转过程中，请直接写出CG的取值范围．
题型8 几何新定义与阅读理解综合问题
1．（2024·浙江·二模）定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可元四边形”．
例：如图1，在四边形ABCD中，∠ABD=∠DBC，则四边形ABCD是“可元四边形”．
利用上述知识解答下列问题．
(1)在平行四边形、三角形、菱形、正方形中，一定是“可元四边形”的有：__________．
(2)在四边形ABCD中，对角线BD平分∠ABC．
①如图1，若∠ABC=60°，BD=4，求AD+CD的最小值．
②如图2，连接对角线AC，若DC刚好平分∠ACE，且∠BDC=25°，求∠DAC的度数．
③如图3，若∠ABC=60°，AD=CD，对角线AC与BD相交于点E，当BC=6，且△AEB为等腰三角形时，求四边形ABCD的面积．
2．（2024·浙江·模拟）定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．
概念理解
如图①，在四边形ABCD中，若AB=AC，∠ADC=90°，则四边形ABCD______“等对邻直角四边形”；
A．是 B．不是
问题探究
(1)如图②，在“等对邻直角四边形ABCD”中，AB=AC，∠ADC=90°，E是AC的中点，F是BC的中点．则DE与EF的数量关系是______；
(2)如图③，在（1）的条件下，AC平分∠BCD，CD∥AB，问四边形CDEF为何种特殊四边形，并说明理由；
拓展探究：
(3)在△ABC中，AB=AC，E是AC的中点，F是BC的中点．AB=5，BC=6，以EF为直角边作等腰直角△DEF，且∠DEF=90°，求以C、D、E、F为顶点的四边形的面积．

3．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③三角形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形ABCD是垂美四边形，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．
（3）尝试问题解决：已知AB=52，BC=42，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCE和等腰Rt△ABD；
①如图2，当∠ACB=90°，连接DE，求DE的长；
②如图3．当∠ACB≠90°，点G、H分别是AD、AC中点，连接GH．若GH=26，求S△ABC的面积．
4．（2023·浙江宁波·一模）新定义：垂直于图形的一边且等分这个图形面积的直线叫作图形的等积垂分线，等积垂分线被该图形截的线段叫做等积垂分线段．
问题探究：
(1)如图1，等边△ABC边长为3，垂直于BC边的等积垂分线段长度为______；
(2)如图2，在△ABC中，AB=8，BC=63，∠B=30°，求垂直于BC边的等积垂分线段长度；
(3)如图3，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=BC=6，AD=3，求出它的等积垂分线段长．
重●难●提●分●必●刷
（建议用时：90小时）
1．（2025·浙江杭州·一模）如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，GD．
(1)求证：△ECG≌△GHD；
(2)小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论．
(3)若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
2．（2025·浙江温州·三模）如图1，在△ABC中，∠C=90∘，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，DE=DF，∠DEF=∠B．
(1)若∠AFE=20∘，求∠BDF的度数．
(2)如图2，当点E与点C重合时，求证：F是AB的中点．
(3)如图3，作EG∥BC交边AB于点G（点G在点F的左侧），猜想AG与BF的数量关系，并说明理由．
3．（2024·浙江衢州·一模）已知三角形纸片ABCD，
第①步：将纸片沿AE元叠，使点D与BC边上的点F重合，展开纸片，连结AF，DF，DF与AE相交于点O（如图1）．
第②步：将纸片继续沿DF元叠，点C的对应点G恰好落在AF上，展开纸片，连结DG，与AE交于点H（如图2）．
(1)请猜想DE和DH的数量关系并证明你的结论．
(2)已知 DE=5，CE=4，求tan∠CDF的值和AH的长．
4．（2025·浙江丽水·二模）如图，在正方形ABCD中，E是BC上一点，延长CD使DF=BE，连接AE，AF，EF，过点A作AH⊥EF，交EF于点G．
(1)求证：AE=AF；
(2)求证：∠AGC=2∠AFC；
(3)若CH=GH，求BEEC的值．
5．（2024·浙江宁波·模拟预测）综合与实践．
【问题发现】
（1）如图1，在正方形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，连接EF，求证：BE=BF，
【类比探究】
（2）如图2，在三角形ABCD中，E为对角线AC上的动点，过点B作BE的垂线，过点C作AC的垂线，两条垂线交于点F，且∠ACB=60°，连接EF，求CFAE的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，将E改为直线AC上的动点，其余条件不变，取线段EF的中点M，连接BM，CM，若AB=23，则当△CBM是直角三角形时，请求出CF的长．
2023、2024、2025年考法解读
2026年考法预测
近三年浙江中考几何压轴高频考点，常以动点、元叠、旋转为背景。
重点考查特殊三角形与特殊四边形的判定、性质，相似三角形为核心计算工具。
题型以存在性、最值、线段与面积计算为主，高频使用A 字、8 字、母子相似。
4. 综合性强，常结合相似、勾股、三角函数联用，步骤分要求严谨。
1. 仍作为几何压轴重点考查，题位与难度稳定。
2. 以动点探究为主，相似三角形的分类讨论成为必考难点。
3. 强化模型：将军饮马、胡不归、元叠 + 旋转 + 相似组合。
4. 更隐蔽的相似构造，强调识图、平行导角、比例转化能力。
熟练运用等腰、等边、直角三角形的边、角、三线合一性质。
角度计算常用：内角和、外角、互余、等腰等边对等角。
求线段优先用：相似三角形、勾股定理、面积法、锐角三角函数。
直角三角形中常用：母子相似、射影定理、斜高模型。
5. 等腰三角形必分类：按腰 / 底、顶角 / 底角分三种情况。6. 复杂比例问题：优先构造A 字、8 字相似快速列比例式。
核心性质：对边平行且相等，对角线互相平分。
由平行直接构造A 字、8 字相似，是解题关键突破口。
判定常用：一组对边平行且相等；两组对边分别相等；对角线互相平分。
计算常用：相似比例、勾股定理、面积法、中点坐标公式。
5. 动点问题常结合存在性，用对角线中点重合快速列方程。
核心性质：四个角为直角，对角线相等且互相平分。
三角形中出现平行、直角，极易构造相似三角形。
元叠问题必考：对应边相等、对应角相等，结合勾股定理计算。
判定思路：先证平行四边形，再证一个直角或对角线相等。
5. 线段、面积计算常用：相似比例、射影模型、铅垂高法。
核心性质：四边相等，对角线互相垂直平分，平分内角。
对角线垂直→构造直角三角形 + 相似联用解题。
面积公式：面积 = 对角线除积的一半，常结合相似比例。
判定思路：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。
5. 角度、线段计算：三角函数、相似、勾股定理三者结合。
核心性质：集三角形、菱形性质于一身，四边相等、四角直角、对角线垂直相等平分。
正方形是浙江压轴最爱：旋转 45°、半角模型、元叠、全等 + 相似必考。
常见模型：正方形内垂直线段相等、线段和定值、面积最值。
计算核心：相似三角形、勾股定理、等腰直角三角形性质。
5. 动点、存在性、元叠旋转全覆盖，分类讨论是高频考点。
统一步骤：设点→表线段→列条件→解方程→检验。
动点形成相似：按对应角不同分类讨论，最易漏解。
特殊三角形存在：结合相似比例 + 勾股定理列式。
平行四边形存在：用中点公式 + 相似比例快速求解。
5. 数形结合，先画图标位置，利用平行→相似简化计算。
元叠 / 旋转核心：对应边相等、对应角相等，常构造相似三角形。
旋转后出现公共角、等角，立刻判断AA 相似。
元叠出现直角、平行线，优先用A 字、8 字、射影相似。
求线段长套路：设未知数→相似列比例→勾股定理验证。
5. 几何变换必考：全等 + 相似联用，是浙江压轴固定套路。
1.先精读新定义，圈出关键词（边、角、位置关系、特殊条件），严格按定义翻译几何语言。2.从特殊到一般：先代入简单图形、特殊点验证定义，再推广到一般情况。
3.常结合特殊三角形、四边形、相似、平行、垂直等知识，把新定义转化为旧模型。
4.分类讨论是高频考点：按点的位置、图形形状、相似对应关系分情况画图分析。
5. 计算常用：勾股定理、相似比例、三角函数、面积法，注意取值范围与结果取舍。
专题03 中考几何压轴---三角形与四边形综合
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第一部分 重难考向解读 拆解核心难点，明确备考要点
核心模块 重难考向 考法解读/考向预测
第二部分 重难要点剖析 精解核心要点，点拨解题技巧
要点梳理 典例验知 技巧点拨 类题夯基
第三部分 重难提分必刷 靶向突破难点，精练稳步进阶
重●难●考●向●解●读
重●难●要●点●剖●析
题型1 特殊三角形综合问题
1．（2026·浙江·模拟预测）如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A,B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E．作EN⊥BC，垂足为N．
(1)若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长．
(2)求BMPN的值．
(3)如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD．
【答案】(1)2
(2)2
(3)见解析
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可；
（2）设PN=a,MP=b，求出BM=BP−MP=2a，即可求出答案；
（3）根据全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质进行证明即可．
【详解】（1）解：连结AP，如图．
因为AB=AC,P为BC中点，
所以AP⊥BC．
因为DM⊥BC,D为AB中点，
所以DM∥AP，
所以BM=MP=2．
（2）连结AP，由（1）知BP=PC，
同理得MN=CN．
设PN=a,MP=b，
则NC=MN=a+b，BP=PC=PN+NC=2a+b，
所以BM=BP−MP=2a，
所以BMPN=2．
（3）证明：连结AQ，延长QE至点F，使FE=QE，连结AF,CF，分别过点F,Q作FH⊥AC于点H，QI⊥AB于点I，在AH上取点G，使FG=FC．
因为AE⊥QE，
所以AQ=AF．
因为E为CD中点，∠DEQ=∠CEF，
所以△DEQ≌△CEF，
所以DQ=CF=FG，∠DQE=∠CFE，
所以DQ∥CF．
由DM⊥BC，AB=AC，FG=FC，
所以∠ABC=∠ACB，
所以∠QDI=∠FCH=∠FGH，
所以△QDI≌△FGH，
所以QI=FH，
则Rt△QAI≌Rt△FAH，
所以∠QAI=∠FAH，
所以△QAB≌△FAC，
所以QB=FC，
所以QB=QD．
2．（2026·浙江·一模）如图1，在△ABC中，点D，E分别在AB，BC边上，连接AE，CD，DE，AB=CD，EB=ED，DE平分∠BDC．
(1)求证：∠DEB=∠AEC．
(2)若BE=4，CE=6，求AC．
(3)如图2，过点A作AB的垂线交ED延长线于点F，作CG⊥AE，垂足为G，求EGDF的值．
【答案】(1)见解析
(2)215
(3)14
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练应用相关性质定理．
（1）根据等边对等角结合角平分线的性质证明∠EDC=∠EBA，从而证得△ABE≌△CDESAS，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）过点A作AF⊥BC交BC于点F，通过证明AB=AC，根据等腰三角形三线合一得到CF=12BC，进而求得EF，根据勾股定理依次求得AF和AC的长即可.
（3）过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM，通过证明△CEG≌△EANAAS，得到EG=AN，根据等角对等边证得EM=EA，MA=MD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FD=2AM=4AN，从而得解．
【详解】（1）证明：∵EB=ED，
∴∠EBA=∠EDB，
∵DE平分∠BDC，
∴∠EDC=∠EDB=∠EBA，
在△ABE和△CDE中，
AB=CD∠EBA=∠EDCEB=ED，
∴△ABE≌△CDESAS，
∴∠AEB=∠CED，
∴∠AEB−∠AED=∠CED−∠AED，
即∠DEB=∠AEC．
（2）解：如图，过点A作AF⊥BC交BC于点F，
∵△ABE≌△CDE，
∴AE=CE=6，
∴∠EAC=∠ACB，
∵∠DEB=∠AEC，
∴180°−∠DEB2=180°−∠AEC2，即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵BE=4，CE=6，
∴BC=BE+CE=10，AE=CE=6，
∴CF=12BC=5，
∴EF=CE−CF=1，
∴AF=AE2−EF2=62−12=35，
∴AC=AF2+CF2=352+52=215.
（3）解：过点A作BC的平行线交FD于点M，作EN⊥AM，
∴∠CEG=∠EAN，∠CGE=∠ENA，
∵EA=EC，
∴△CEG≌△EANAAS，
∴EG=AN，
∵∠DEB=∠AEC，∠EMA=∠DEB，
∴∠EMA=∠EAM，
∴EM=EA，
∴AM=2AN，
∵∠MAD=∠B=∠BDE=∠MDA，
∴MA=MD，
∵∠FAD=90°，
∴∠F=∠FAM，
∴MF=MA，
∴FD=2AM=4AN，
∴EGDF=14.
3．（2024·浙江·模拟预测）如图1，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC,BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE=BD，连接AE．
(1)直接判断AE与AD的位置关系
(2)如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；
(3)在（2）的条件下，若AE=2，CE=2，求EG的长．
【答案】(1)AE⊥AD
(2)FG=2AB，见解析
(3)1
【分析】（1）证明△ACE≌△ABD，由全等三角形的性质得出∠EAC=∠BAD，再根据余角的性质得到∠DAE=∠BAE+∠BAD=90°，即可判断；
（2）过点B作BM⊥BD交DF于点M，证得△BDM为等腰直角三角形，则BD=BM，证明△CEG≌△BMF，由全等三角形的性质得出CG=BF，由直角三角形的性质可得出结论；
（3）设EG=FM=x，则DF=2+x，证明△CEG∽△CDF，由相似三角形的性质得出EGDF=CECD，则可得出答案．
【详解】（1）解：AE⊥AD；
理由如下：设AB与CD交于O，
∵∠BDO=∠BAC=90°,∠DOB=∠AOC，
∴∠DBA=∠ACE，
∵CE=BD，AB=AC，
∴△ACE≌△ABDSAS，
∴∠EAC=∠BAD，
∵∠BAE+∠EAC=90°，
∴∠BAE+∠BAD=90°，即∠DAE=90°，
∴AE⊥AD；
（2）解：FG=2AB，
证明：过点B作BM⊥BD交DF于点M，
∵△ACE≌△ABD，
∴AE=AD，∠CAE=∠BAD，CE=BD，
∵AE⊥AD，
∴∠BAE+∠BAD=90°，
∴∠ADE=45°，
∵BD⊥CD，
∴∠BDM=45°，
∴△BDM为等腰直角三角形，
∴BD=BM，
∴CE=BM，
∵EG∥AF，
∴∠EGC=∠MFB，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠FBM+∠ABD=45°，又∠GCE+∠ACE=45°，
∴∠FBM=∠GCE，
∴△CEG≌△BMFAAS，
∴CG=BF，
∴CG+BG=BF+BG，
∴FG=BC，
∵BC=2AB，
∴FG=2AB；
（3）解：∵AD=AE=2，△ADE为等腰直角三角形，
∴DE=2AE=22，
∵CE=2，
∴DC=32，
∵BD=CE=2，
∴DM=2BD=2，
∵△CEG≌△BMF，
∴EG=FM，
设EG=FM=x，
∴DF=2+x，
∵EG∥DF，
∴△CEG∽△CDF，
∴EGDF=CECD，
∴xx+2=232=13，
解得，x=1，经检验不符合题意；
∴EG=1．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是错误构造全等三角形解决问题．
4．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义：若连结三角形一个顶点及其对边上一点的线段将该三角形分割成的两个小三角形中，有一个与原三角形相似，则称该线段为三角形的相似分割线；若分割成的两个小三角形都与原三角形相似，则称该线段为全相似分割线．
【基础巩固】（1）如图1，在△ABC中，∠ABC为钝角，相似分割线AD是BC边上的中线，AB=6，求BC的长．
【证明体验】（2）如图2，在△ABC中，AD是△ABC的全相似分割线，求证：1AD2=1AB2+1AC2．
【拓展延伸】（3）如图3，在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是△ABC的全相似分割线，将△BAD绕B点顺时针旋转到△BEF，当E，F，C三点共线时，求线段CF的长．
【答案】（1）23（2）见解析（3）CF=4534−125
【分析】（1）根据AD是相似分割线，得出△ABD与△ACD中有一个与△ABC相似．又因为∠ABC是钝角，且∠ADC>∠ABC，故△ABD∽△CBA，再结合AD为△ABC中线，整理得BC2=2AB2=2×6=12，即可作答．
（2）根据AD是全相似分割线，得△BAD∽△BCA，△CAD∽△CBA，即∠BAD=∠BCA，∠CAD=∠CBA，结合三角形内角和性质，得∠ABC+∠BCA=90°，即∠BAC=90°，运用等面积法进行整理得1AD=BCAB⋅AC，即可作答．
（3）由（2）知△ABC为直角三角形，得∠BAC=∠BDA=90°，再结合旋转性质得EF=AD，BE=BD，∠E=∠ADB=90°，运用勾股定理得BC=AB2+AC2=5，代入数值得AD=AB⋅ACBC=125，则BD=AB2−AD2=95，EC=52−952=4534，即可作答．
【详解】解：（1）∵AD是相似分割线，
∴△ABD与△ACD中有一个与△ABC相似．
∵∠ABC是钝角，且∠ADC>∠ABC，
∴△ACD与△ABC不可能相似，
∴△ABD∽△CBA，
∴ABCB=BDBA．
∵AD为△ABC中线，
∴BD=12BC，
∴ABCB=12CBBA
∴BC2=2AB2=2×6=12，
即BC=23，
∴BC的长为23．
（2）∵AD是全相似分割线，
∴△BAD∽△BCA，△CAD∽△CBA，
∴∠BAD=∠BCA，∠CAD=∠CBA．
则∠BAC+∠ABC+∠BCA
=∠BAD+∠CAD+∠ABC+∠BCA
=2×∠BAD+∠BCA
=180°，
∴∠ABC+∠BCA=90°，
则∠BAC=90°，
∴△ABC为直角三角形．
∵S△ABC=12AB⋅AC=12AD⋅BC，
∴2S△ABC=AB⋅AC=AD⋅BC
∴1AD=BCAB⋅AC，
∴1AD2=BC2AB2⋅AC2=AB2+AC2AB2⋅AC2=1AB2+ 1AC2．
（3）由（2）知△ABC为直角三角形，
∴∠BAC=∠BDA=90°．
∵将△BAD绕B点顺时针旋转到△BEF，
∴EF=AD，BE=BD，∠E=∠ADB=90°
∵在△ABC中，AB=3，AC=4，AD是△ABC的全相似分割线，
∴BC=AB2+AC2=5，
由（2）得AB⋅AC=AD⋅BC，
∴AD=AB⋅ACBC=3×45=125，
∴BD=AB2−AD2=95，
∴EF=AD=125，BE=BD=95．
∴EC=52−952=4534，
∴CF=4534−125．
【点睛】本题考查了新定义，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转性质，三角形内角和性质，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在△ABC中，BC=5,AC=35,tan∠BCA=2．
(1)如图1，求△ABC的面积．
(2)如图2，点D在边AC上，将△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，使得点B与点D重合．
①连接AA1,CA1．求△AA1C的面积．
②如图3，将△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，边A2C2与线段BD的延长线交于点E，连接CE．当CD=2AD时，求CE2−BD2的最小值．
【答案】(1)15
(2)①15；②15+85
【分析】（1）过点B作BF⊥AC于点F，则：设CF=xx>0，则BF=2x，结合勾股定理可得：x=5，进一步求解即可．
（2）①如图2，连结CC1，证明四边形ACC1A1是平行四边形，求解△A1DC1的面积=△ABC的面积=15，可得△AA1C的面积=15．
②如图3，过点B作BF⊥AC于点F，求解BD=BC=5，过点C作CG⊥BD于点G，则△BCD的面积为：求解CG=4，结合只需DE最小，则CE2−BD2最小，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：过点B作BF⊥AC于点F，则：
CF2+BF2=BC2，tan∠BCA=BFCF=2，
设CF=xx>0，则BF=2x，
∵BC=5，
∴x2+2x2=52，解得：x=5，
∴CF=5,BF=25，
∴△ABC的面积为：12AC×BF=12×35×25=15．
（2）解：①如图2，连接CC1，
∵△ABC沿射线BD方向平移至△A1DC1，
∴△A1DC1≌△ABC，A1C1∥AC，A1D∥AB，
∴A1C1=AC，
∵A1C1∥AC且A1C1=AC，
∴四边形ACC1A1是平行四边形，
∴△AA1C的面积=△CA1C1的面积=△A1DC1的面积，
∵△A1DC1≌△ABC，
∴△A1DC1的面积=△ABC的面积=15，
∴△AA1C的面积=15．
②如图3，过点B作BF⊥AC于点F，
由（1）得：CF=5,BF=25，
当CD=2AD时，AD=5,CD=25，
∴DF=5，
∴BD=BC=5，
过点C作CG⊥BD于点G，则△BCD的面积为：12BD×CG=52CG，
∵△BCD的面积为：12CD×BF=12×25×25=10，
∴52CG=10，解得CG=4，
∴BG=3,DG=2，
∵CE2−BD2=CE2−BC2=EG2+CG2−BG2+CG2=EG2−BG2=DE+22−9，
∴只需DE最小，则CE2−BD2最小，
∵△A1DC1绕点D旋转至△A2DC2，
∴△A2DC2≌△A1DC1≌△ABC，
∴DE的最小值=BF=25，
∴CE2−BD2的最小值为：25+22−9=15+85．
6．（2025·浙江杭州·二模）综合与实践
我们已经学过，在△ABC中，若∠ABC=90°，则三角形四边满足勾股定理：AC2=AB2+BC2．
【知识应用】
（1）如图3，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AC>AB，则AC2−AB2=BCCD−BD，请说明理由．
【拓展探究】
（2）如图4，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC的中点，连接BE．
求证：BE2−14AC2=BD⋅BC．
【拓展应用】
（3）如图5，在△ABC中，点E在边AB上（不与点A，B重合），点F在边BC上（不与点B，C重合），连接EF，∠BEF=∠BCA，点O为△BEF的外心，连接OA，OC，求证：OC2−OA2=BC2−BA2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）利用勾股定理可得AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，进而相减即可求证；
（2）过点E作EF⊥BC于点F，由勾股定理得BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2，又由点E是AC的中点得14AC2=EF2+CF2，进而相减可得BE2−14AC2=BF+CFBF−CF，再根据平行线等分线段定理可得CF=DF，进而即可求证；
（3）连接BO、EO、FO，延长BO交AC于点M，由三角形外心可得BO=EO=FO，即可得2∠OBE+∠OFB+∠OFE=180°，得到∠OBE+∠BFE=90°，利用补角性质可得∠BFE=∠BAC，即得∠OBE+∠BAC=90°，即得到∠AMB=90°，再利用勾股定理解答即可求证．
【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，
∴AC2−AB2=AD2+CD2−AD2+BD2
=CD2−BD2
=CD+BDCD−BD
=BCCD−BD；
（2）证明：如图，过点E作EF⊥BC于点F，则∠BFE=∠CFE=90°，
∴BE2=BF2+EF2，CE2=EF2+CF2，
∵点E是AC的中点，
∴CE=12AC，
∴14AC2=EF2+CF2，
∴BE2−14AC2=BF2+EF2−EF2+CF2
=BF2−CF2
=BF+CFBF−CF，
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∵CE=AE，
∴CF：DF=CE:AE=1，即CF=DF，
∴BF−CF=BF−DF=BD，
又∵BF+CF=BC，
∴BE2−14AC2=BD·BC；
（3）证明：如图，连接BO、EO、FO，延长BO交AC于点M，
∵点O为△BEF的外心，
∴BO=EO=FO，
∴∠OBE=∠OEB，∠OBF=∠OFB，∠OEF=∠OFE，
∴2∠OBE+∠OFB+∠OFE=180°，
∴∠OBE+∠OFB+∠OFE=90°，
即∠OBE+∠BFE=90°，
∵∠BEF=∠BCA，∠BEF+∠AEF=180°，
∴∠BCA+∠AEF=180°，
∴∠BAC+∠EFC=180°，
∵∠BFE+∠EFC=180°，
∴∠BFE=∠BAC，
∴∠OBE+∠BAC=90°，
∴∠AMB=90°，
∴∠OMC=90°，
∴OA2=OM2+AM2，OC2=OM2+CM2，
∴OC2−OA2=OM2+CM2−OM2+AM2
=CM2−AM2，
∵BC2=BM2+CM2，BA2=BM2+AM2，
∴BC2−BA2=BM2+CM2−BM2+AM2=CM2−AM2，
∴OC2−OA2=BC2−BA2．
【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外心，补角性质，平行线等分线段定理，等腰三角形的性质，错误作出辅助线是解题的关键．
题型2 平行四边形综合问题
1．（2024·浙江宁波·模拟预测）【基础巩固】
（1）如图（1），在△ABC和△EDB中，点E在BC上，AC∥BD，∠A=∠BED，求证：△ABC∽△EDB．
【尝试应用】
（2）如图（2），在（1）的条件下，连结CD．若∠BCD=90°,AC=EC=2,BE=4，求DE的长．
【拓展提高】
（3）如图（3），在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BAC=90°，点E是边CD上一点，DE=2CE，连结AE交BD于点F，线段AE与BC的延长线交于点P，若∠AFB=∠ABC，OF=1，求平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）47；（3）20
【分析】（1）根据平行可得∠C=∠CBD，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据△ABC∽△EDB可得BD的长，再直角△BCD中，根据勾股定理即可求解；
（3）如图3，延长AE，BC交于点P，证明△ADE∽△PCE，得ADCP=DECE=2，设CP=a，则AD=BC=2a，证明△ADF∽△PBF和△DAB∽△BFP，可得AB和AC的值，最后由平行四边形的面积公式可得结论．
【详解】（1）证明：∵AC∥BD，
∴∠C=∠CBD，
∵∠A=∠BED，
∴△ABC∽△EDB；
（2）解：∵EC=2，BE=4，
∴BC=2+4=6，
∵△ABC∽△EDB，
∴ACEB=BCBD，即24=6BD，
∴BD=12，
∵∠BCD=90°，
∴CD=122−62=63，
∴ED=22+632=47；
（3）解：如图，延长AE，BC交于点P，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，AC=2AO，
∴∠ADE=∠PCE，∠DAE=∠P，
∴△ADE∽△PCE，
∴ADCP=DECE=2，
设CP=a，则AD=BC=2a，
∴BP=3a，
同理可得：△ADF∽△PBF，
∴DFBF=ADBP=23，
∴BF=35BD，
∵OF=1，
∴BF−OB=35BD−12BD=1，
∴BD=10，BF=6，OB=5，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠DAB=180°，∠ADB=∠FBP，
∵∠AFB+∠BFP=180°，∠AFB=∠ABC，
∴∠DAB=∠BFP，
∴△DAB∽△BFP，
∴ADBF=BDPB，即2a6=103a，
∴a=10（负值舍），
∴BC=210．
∵AC=2AO,∠BAC=90°，
∴2102−AB2=4×52−AB2，
∴AB=25，
∴AC=BC2−AB2=25，
∴平行四边形ABCD的面积=AB⋅AC=25×25=20．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识的综合，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在▱ABCD中，AB=5,AD=10,tan∠DAB=3．
(1)求AC的长，
(2)把△ABC绕点A逆时针旋转，点B、C的对应点分别为E、F．
①当点B的对应点E落在对角线AC上时，EF与DC的交点为G，求四边形ADGE的面积；
②如图2，点E在对角线AC下方时，线段EF的反向延长线交BD与点P，连接AP，求DP−AP的最小值．
【答案】(1)35
(2)①905−10514；②2+36−3102
【分析】（1）作CH⊥AB延长线于H，由平行四边形性质得BC=AD=10，tan∠CBH=tan∠DAB=3，进而通过勾股定理进行求解即可；
（2）①由旋转得AE=AB=5，CE=35−5，作GM⊥AC，利用tan∠DCA=12、tan∠MEG=3设GM=m，列方程13m+2m=35−5求m，算出S△CGE，再由S四边形ADGE=S△CDA−S△CGE得面积；②先求BD=5，AQ⊥BD得AQ=3，DQ=1，将DP−AP转化为1−9AP+QP，利用旋转性质得EF=10，当AP⊥EF时AP最小，代入求得DP−AP最小值．
【详解】（1）解：如图，作CH⊥AB，交AB的延长线H，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC=AD=10，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠CBH=∠DAB，
∵tan∠DAB=tan∠CBH=3,BC=10，
∴tan∠CBH=CHBH=3，即CH=3BH，
在Rt△CBH中，可得CH2+BH2=BC2，
∴3BH2+BH2=102，解得BH=1（负值舍去），
∴CH=3，则AH=5+1=6，
∴AC=AH2+CH2=62+32=35；
（2）解：①如图，作GM⊥AC，交AC于点M，
由旋转可得，AB=AE=5，∠ABC=∠AEF，
∴∠ABC+∠CBH=∠AEF+∠GEM=180°，
∴∠CBH=∠GEM，
∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAH，
∴tan∠DCA=tan∠CAH=GMCM=12，tan∠MEG=tan∠CBH=GMEM=3，
CE=AC−AE=35−5，
∴CM=2GM,EM=13GM，
令GM=m,EM=13m,CM=2m，
∴13m+2m=35−5，
解得m=3735−5，
∴S△CGE=12CE⋅MG =1235−5×3735−5 =105−4557；
S△CDA=S△CAB =12AB⋅CH =152，
∴S四边形ADGE=S△CDA−S△CGE =152−105−4557 =905−10514；
②如图，过点A作AQ⊥BD于点Q，过D作DM⊥AB于M，
由（1）得tan∠DAB=3，设AM=k，则DM=3k，
∵AD=10，
∴k2+3k2=10
解得k=1，
∴AM=1，DM=3．
∴BM=AB−AM=4，
在Rt△DMB中，BD=DM2+BM2=5，
∵S△ABD=12AB⋅DM=152，
又∵S△ABD=12BD⋅AQ，且BD=5，
∴152=12×5×AQ
解得AQ=3，
在Rt△AQD中，DQ=AD2−AQ2=1，
∵P在BD上，
∴DP=DQ+QP=1+QP，
∴DP−AP=1+QP−AP，
在Rt△AQP中，AP2=AQ2+QP2，
∴AP2−QP2=9，
AP−QPAP+QP=9，
∴QP−AP=−9AP+QP，
∴DP−AP=1−9AP+QP，
要最小化DP−AP，需最小化9AP+QP，即最小化AP+QP．
由旋转性质得，△ABC≌△AEF，
∴S△AEF=S△ABC，
由（2）得，S△ABC=152=S△AEF，
当AP⊥EF时，AP最小，QP也最小，
此时AP是△AEF中EF边上的高，
由旋转性质得，EF=BC=10，
∴S△AEF=12⋅EF⋅AP，即152=12⋅10⋅AP，
∴15=10⋅AP，解得AP=3102，
在Rt△AQP中，QP=AP2−AQ2 =31022−32 =362，
∴DP=DQ+QP=1+362，
∴DP−AP=1+362−3102=2+36−3102．
【点睛】本题以平行四边形旋转为载体，通过构造直角三角形结合三角函数与勾股定理求解线段长，将面积与最值问题转化为方程与函数思想，体现了“化斜为直”“转化化归”的几何解题策略．
3．（2025·浙江·模拟）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AB=4点，D为BC边上的一个动点，以CD为边作等边△CDE，DE与AC相交于F，连接AE，将等边△CDE绕点C旋转．

(1)如图1，当点D在BC上，四边形ABDE是平行四边形时，求线段DF的长；
(2)如图2，当点D恰好落在AC上时，此时点D与点F重合，连接BD，若B，D，E共线，求线段AE的长；
(3)如图3，在等边△CDE在旋转的过程中，BD所在的直线与AC相交于点P，当∠DPE=150°时，若DP=2，PE=23，求线段AP的长．
【答案】(1)5
(2)4213
(3)43−14
【分析】（1）可得出CD=DE=AB=4，∠CDE=60°，∠CFD=90°，根据含30度角的直角三角形的性质，求得结果；
（2）可得出∠BCE=90°，∠CBE=30°，∠ABE=30°，勾股定理解直角三角形BCE求得BE，进而求得AE；
（3）将△DEP绕点D顺时针旋转60°至△DCG，连接FG，可得出DG=DP，∠PDG=60°，∠DGC=∠DPE=150°，CG=EP=2 3，从而得出△PDG是等边三角形，于是可求得PG=DP= 2，∠PGD=60°，从而得出∠CGP=∠DGC−∠PGD=90°，从而求得CP，进一步得出结果．
【详解】（1）解：∵∠BAC=90°，∠B=60°，
∴ ∠ACB=30°
∴BC=2AB=8，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴DE=AB=4，DE∥AB，
∴∠CFD=∠BAC=90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴CD=DE=4，∠CDE=60°，
∴DF= 12CD=2；
（2）如图1，

作AG⊥BE于G，
∴∠AGB=∠AGE=90°，
∵△CDE是等边三角形，
∴∠EDC=∠ECD=60°，CD=DE，
∵∠ABC=60°，∠BAC=90°，
∴∠ACB=30°，
∴∠DBC=∠EDC−∠ACB=60°−30°=30°，∠BCE=∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DBC，
∴BD=CD，
在Rt△BCE中，BC=8，∠CBD=30°，
∴CE= 33BC=833 ,
∴BE=2CE= 1633，
∵∠ABG=∠ABC−∠CBD=60°−30°=30°，
∴AG= 12 AB= 2，
∴EG=BE−BG= 1633−23=1033，
∴AE= AG2+GE3=22+10332=4213；
（3）如图2，

将△DEP绕点D顺时针旋转60°至△DCG，连接FG，
∴DG=DP，∠PDG=60°，CG=EP=2 3，
∴△PDG是等边三角形，
∴PG=DP= 2，∠PGD=60°，
∴∠CGP=∠DGC−∠PGD=150°−60°=90°，
∴CP= PG2+CG2=22+232=14，
∵AC= 3AB=43，
∴AP=AC−CP= 43−14．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形等知识，解题关键是利用旋转作辅助线．
题型3三角形综合问题
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图，在三角形ABCD中，AB=4，BC=8，点E是边AD上的动点，连结CE，以CE为边作三角形CEFG（点D、G在CE的同侧），且CE=2EF，连结BF．
(1)如图1，当点E在AD的中点时，点B、E、F在同一直线上，求BF的长；
(2)如图2，当∠BCE=30°时，求证：线段BF被CE平分．
【答案】(1)BF=62
(2)见解析
【分析】（1）由勾股定理求出BE=42，求出EF=22，则可得出答案；
（2）过点B作BH⊥CE于点H，CE与BF交于点O，证明△BHO≌△FEOAAS，得出OB=OF，则可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形ABCD是三角形，
∴∠A=90°，BC=AD=8，
∵E为AD的中点，
∴AE=12AD=4，
∴BE=AB2+AE2=42+42=42，
∵四边形CEFG为三角形，
∴∠CEF=∠BEC=90°，
∴CE=BC2−BE2=42，
∵CE=2EF，
∴EF=22，
∴BF=BE+EF=42+22=62．
（2）证明：过点B作BH⊥CE于点H，CE与BF交于点O，
∵∠BCE=30°，
∴BH=12BC＝4，
∵AB=4，
∴AB=BH，
∴∠AEB=∠BEH，
∵AD∥BC，
∴∠BCE=∠DEC=30°，
∴∠BEC=75°，
∴∠EBC=180°−∠BEC−∠BCE=75°，
∴∠BEC=∠EBC，
∴BC=CE，
∵CE=2EF，
∴BH=EF，
∵∠BOH=∠EOF，∠BHO=∠OEF，
∴△BHO≌△FEOAAS，
∴OB=OF，
即线段BF被CE平分．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
2．（2026·浙江·模拟预测）如图，三角形ABCD中，AB=3，AD=4．

(1)点E是边BC上一点，将△ABE沿直线AE翻元，得到△AFE．
①如图1，当AF平分∠EAD时，求BE的长；
②如图2，连接DF，当BE=1时，求△ADF的面积；
(2)点E为射线BC上一动点，将三角形ABCD沿直线AE进行翻元，点C的对应点为C'，当点E，C'，D三点共线时，求BE的长．
【答案】(1)①BE =3；②△ADF的面积=245
(2)BE的长为4+7或4−7
【分析】（1）①根据元叠的性质以及F平分∠EAD，得出∠BAE=30°，根据勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，得出BE=33AB，即可求解；②延长EF交AD的延长线于点G，根据元叠的性质以及三角形的性质得出FG=GA，进而在Rt△AFG中，勾股定理求得DG的长，等面积法求得AD边上的高，进而根据三角形的面积公式即可求解；
（2）分两种情况，①当E在BC的延长线上时，证明△CDE≌△B'AD，②当E在线段BC上时，分别讨论即可求解．
【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是三角形，
∴∠BAD=90°，
∵将△ABE沿直线AE翻元，得到△AFE，
∴∠BAE=∠FAE，
∵AF平分∠EAD，
∴∠DAF=∠FAE，
∴∠BAE=∠DAF=∠FAE=13∠BAD=13×90°=30°，
∴2BE=AE，AB=AE2−BE2=3BE
∴BE=33AB=33×3=3；
②如图所示，延长EF交AD的延长线于点G，

∵四边形ABCD是三角形，
∴AD∥BC，
∴∠GAE=∠AEB，
∵将△ABE沿直线AE翻元，得到△AFE，
∴AF=AB=3，BE=EF=1，∠AEB=∠AEF，
∴∠GAE=∠AEG，
∴AG=GE，
∵AD=4，
∴AG=AD+DG=4+DG=FG+EF=FG+1，
∴FG=DG+3，
在Rt△AFG中，AF2+FG2=AG2，
即32+DG+32=DG+42，
解得：DG=1，
∴FG=DG+3=4，AG=4+1=5，
设△ADF中AG边上的高为h，则12AG×ℎ=12AF×FG，
∴ℎ=AF×FGAG=125，
∴△ADF的面积=12AD×ℎ=12×4×125=245；
（2）当点E、C'、D三点共线时，分两种情况：
①当E在BC的延长线上时，

∵四边形ABCD是三角形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AD=BC=4，CD=AB=3，AD∥BC，
∴∠DCE=90°，∠CED=90°−∠CDE=∠B'DA，
由元叠的性质得：AB'=AB=3，∠B'=∠ABC=90°，
∴∠DCE=∠B'，DC=AB'，
∴△CDE≌△B'ADAAS，
∴DE=AD=4，
∴CE=DE2−CD2=42−32=7，
∴BE=BC+CE=4+7；
②当E在线段BC上时，

由元叠的性质得：∠AEC'=∠AEC，
∵∠BEC'=∠DEC，
∴∠AEB=∠AED，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE=DE2−CD2=42−32=7，
∴BE=BC−CE=4−7；
综上所述，BE的长为4+7或4−7．
【点睛】本题主要考查了三角形的性质、元叠的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握三角形的性质和元叠的性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·一模）如图1，在三角形ABCD中，AB=4，∠ACB=30°．P，Q分别是AC，CD上的动点，且满足DQCP=35，E是射线AD上一点，AP=EP，设DQ=x，AP=y．
(1)求y关于x的函数表达式．
(2)当△PQE中有一条边与AC垂直时，求DQ的长．
(3)如图2，当点Q运动到点C时，点P运动到点F．连结FQ，以FQ，PQ为边作平行四边形PQFG．
①当GF所在直线经过点D时，求平行四边形PQFG的面积；
②当点G在△ABC的内部（不含边界）时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)y=53x+8
(2)1213或2
(3)①1033；②411