上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案

这是一份上海市复旦大学附属中学2025-2026学年高二上学期期中数学试卷及答案，共24页。试卷主要包含了本试卷分设试卷和答题纸等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
1. 直线的倾斜角为___________．
2. 抛物线的准线方程为______.
3. 直线与直线的夹角的大小为___________．（用反三角表示）
4. 双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______．
5. 已知点在椭圆上运动，则的最大值为___________．
6. 已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________．
7. 已知圆，过点的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______.
8. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________
9. 已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________．
10. 已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________．
11. 如图，地面上有一个篮球．
假设1：地面是水平面；
假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为．
已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________．
12. 已知线段的长为10，以为圆心，6为半径作圆是线段上一动点，以为圆心，线段的长为半径作圆．若点为圆与圆的一个交点，则面积的最大值为___________．
二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．
13. 已知直线，直线，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
14. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
15. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，对于下面两个不等式，说法正确的为（ ）
①
②
A. ①成立 ②不成立B. ①和②都成立
C ①不成立 ②成立D. ①和②都不成立
16. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（ ）．
A. 1B. 1
C. 1D. 1
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点
（1）求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）；
（2）求最小值及取得最小值时直线的方程．
18. 已知圆，直线．
（1）无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程；
（2）若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围．
19. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点．
（1）若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，若，求斜率的值．
20. 对于双曲线，将不平行于其渐近线且与该双曲线有且只有一个公共点的直线称为该双曲线的切线，这个公共点称为切点．已知双曲线的方程为
（1）若过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的方程；
（2）已知过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为.设和是双曲线的焦点，直线是双曲线的一条切线，求和到直线的距离的乘积；
（3）若点是直线上的一个动点，且过点可作双曲线的两条切线，切点分别为.过作直线的垂线，设垂足为.问：是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程．若不是，请说明理由．
21. 如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点．

（1）若是椭圆上异于一点，分别为直线的斜率，求的值；
（2）若直线平行于轴，求点的坐标；
（3）求四边形面积的最大值．
参考答案及解析：
复旦大学附属中学2025学年第一学期
高二年级数学期中考试试卷（B卷）
考生注意：
1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．
2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，请在答题纸相应编号的空格内直接写结果．
1. 直线的倾斜角为___________．
【答案】
【解析】
【分析】将一般式方程整理为斜截式方程可得直线斜率，由斜率和倾斜角关系求得倾斜角.
【详解】直线可化为，
所以直线的斜率为，故倾斜角为.
故答案为：
2. 抛物线的准线方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用抛物线的标准方程可得焦点在轴上，从而可求准线方程.
【详解】由抛物线，可得抛物线的焦点在轴上，且，所以，
所以抛物线的准线方程为.
故答案为：.
3. 直线与直线的夹角的大小为___________．（用反三角表示）
【答案】
【解析】
【分析】设直线与直线的夹角为，根据题意结合向量夹角公式可得，进而可得结果.
【详解】设直线与直线的夹角为，
由题意可知：直线的斜率，其方向向量可以为，
直线的斜率，其方向向量可以为，
则，
所以直线与直线的夹角为.
故答案为：.
4. 双曲线的离心率为3，则其渐近线方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率求出的值，即可求出渐近线方程.
【详解】双曲线的渐近线方程为，
又离心率，所以，则或（舍去），
所以双曲线的渐近线方程为.
故答案为：
5. 已知点在椭圆上运动，则的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】将问题转化为直线与椭圆有公共点求解.
【详解】设，因为点在椭圆上运动，
所以直线与椭圆有公共点，
由得，则，
解得，
所以的最大值为，即的最大值为.
故答案为：.
6. 已知圆的圆心在直线上，且点和均在圆上，则圆的标准方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】由待定系数法即可求解方程组得解.
【详解】设圆的标准方程为，，
由题意可得，解得，
故圆的标准方程为，
故答案为：
7. 已知圆，过点的直线被圆所截得的弦的长度最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
由相交弦长和圆的半径及圆心到过的直线的距离之间的勾股关系，求出弦长的最小值，即圆心到直线的距离的最大时，而当直线与垂直时最大，求出的最大值，进而求出弦长的最小值．
【详解】由圆的方程可得圆心坐标，半径；
设圆心到直线的距离为，则过的直线与圆的相交弦长，
当最大时弦长最小，当直线与所在的直线垂直时最大，
这时，
所以最小的弦长，
故答案为：2
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是通过分析得到当直线与所在的直线垂直时最大，弦长最小. 与圆有关的弦长问题的最值一般利用数形结合分析解答.
8. 已知抛物线是过其焦点的一条弦，若，则直线的斜率为___________
【答案】
【解析】
【分析】根据焦点弦长公式，即可求解.
【详解】设直线的倾斜角为，，
所以，所以，，
所以，
所以直线的斜率为.
故答案为：
9. 已知直线过定点，直线过定点与相交于点，当实数变化时，的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】求出定点的坐标，分析两直线垂直，然后利用勾股定理和基本不等式求的最大值.
【详解】易知点，
，令，则，所以，
当时，，，两直线垂直；
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为，所以.
①当P点与A点或B点重合时，；
②当P点异于点A、B时， 为直角三角形，则，
所以（当且仅当时取等号），
此时点P在线段AB的垂直平分线上，
，点，
所以，解得或.
所以当或时，取得最大值.
故答案为：
10. 已知点为双曲线上位于第二象限内的动点，是该双曲线的右顶点，，则面积的取值范围为___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，找到临界值，即可求解.
详解】由条件可知，，，即，
双曲线的过第二象限的渐近线的斜率，渐近线方程为，即，
此时渐近线与直线的距离，
，渐近线上的点与点、构成的三角形的面积为，
左顶点到直线的距离，
左顶点与点构成的三角形的面积为，
点是第二象限的点，所以面积的取值范围为.
故答案为：
11. 如图，地面上有一个篮球．
假设1：地面是水平面；
假设2：太阳光线是平行光线，光线与地面所成的角的大小为．
已知篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设篮球半径，结合图形特征得出椭圆长轴长，且，由二倍角公式化简即可求解.
【详解】
设过篮球的中心且与太阳平行光线垂直的平面为，地面所在平面为，篮球与地面的切点为，球心为，球心在地面的影子为点；
已知太阳光线与地面的夹角为；
如图，为球的一条直径，为在地面的影子，点在线段上，
篮球在地面上的影子边界是一个椭圆，且点为椭圆的焦点，线段为椭圆的长轴，
设篮球半径为，显然平面平面，连接平面，
过作交于，则，
于是椭圆长轴长，
在四边形中，，
令椭圆半焦距为，而，则，
解得，
所以该椭圆的离心率为.
故答案为：.
12. 已知线段的长为10，以为圆心，6为半径作圆是线段上一动点，以为圆心，线段的长为半径作圆．若点为圆与圆的一个交点，则面积的最大值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，先求圆的方程和圆的方程，联立方程解得点，进而利用三角形的面积和二次函数即可求解.
【详解】以点为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，则，设，圆的半径为6，圆半径为，
所以圆的方程为：，圆的方程为：，
由，解得，
由，
所以三角形的面积为：，
当时，，
故答案为：.

二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个正确选项，请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑．
13. 已知直线，直线，则是的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行的充要条件化简即可得解.
【详解】因为或，
所以是的充分不必要条件．
故选：A．
14. 如果圆上总存在两个点到原点的距离为，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】问题可转化为圆和圆相交，解不等式即得解.
【详解】解：问题可转化为圆和圆相交，
两圆圆心距，
由得，
解得，即.
故选：D
15. 已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，对于下面两个不等式，说法正确的为（ ）
①
②
A. ①成立 ②不成立B. ①和②都成立
C. ①不成立 ②成立D. ①和②都不成立
【答案】B
【解析】
【分析】首先确定抛物线方程，设出过点B的直线的方程，并与抛物线方程联立得关于x的一元二次方程，由求出k的范围，利用韦达定理及两点间的距离公式分别求出、的范围，即可与、比较大小.
【详解】因为点在抛物线上，所以，，
抛物线方程为：，
易知过点B的直线斜率存在且设为k，则直线方程为：，
设，
，，
，
，
，，
，
因为，
所以，①成立；
因为，，
所以，
因，
所以，②成立.
故选：B
16. 古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，若点是满足的阿氏圆上的动点，点为双曲线右支上的动点，点是它的左焦点，则的最小值为（ ）．
A 1B. 1
C. 1D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】先求出点的轨迹方程，再结合阿波罗尼斯圆的定义及双曲线的定义可得，从而可得出答案.
详解】设，
则，化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心2为半径的圆，
双曲线的左焦点，右焦点为，
则
，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.

故选：B.
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤．
17. 已知直线过点，与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点
（1）求当面积最小时直线的方程（其中为坐标原点）；
（2）求的最小值及取得最小值时直线的方程．
【答案】（1）
（2）最小值为12，直线方程为
【解析】
【分析】（1）根据直线的截距式方程，结合基本不等式即可求解，
（2）根据向量的坐标运算结合基本不等式的乘“1”法即可求解.
【小问1详解】
由题意设直线的截距式方程为，
因为直线过，所以，
所以，所以，
当且仅当即且时取等号，
的面积，
所以面积的最小值为12，此时直线l的方程为，
即直线l的方程为.
【小问2详解】
，，则
故，
由于，
当且仅当，即时取等号，故的最小值为25，
因此的最小值为12，此时直线方程为，即.
18. 已知圆，直线．
（1）无论为何值时，直线均过定点，求圆关于点对称的圆的方程；
（2）若存在实数，使得直线与圆相离，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将直线方程变形为，即可求定点，根据中点坐标公式求解对称圆的圆心即可得解，
（2）根据点在圆外，即可求解.
【小问1详解】
由可得，
故且，故，故直线恒过定点，
的圆心为，半径为，
则关于对称的点为，
故圆关于点对称的圆的方程为，
【小问2详解】
要使存在实数，使得直线与圆相离，则定点在圆外，
且，解得
19. 已知抛物线的焦点为，抛物线上一点．
（1）若的顶点都在抛物线上，且的重心恰是抛物线的焦点，求直线的方程；
（2）设斜率为的直线过点，且与抛物线交于不同的两点，若，求斜率的值．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理及重心坐标进行求解；（2）联立直线方程与抛物线方程，根据韦达定理写出、，由知，与、联立即可求出k的值.
【小问1详解】
抛物线的焦点为，
设直线BC的方程为，，
，
，，
，
因为点F为的重心，所以，
所以，解得，
所以直线BC的方程为：即.
【小问2详解】
设，直线l的方程为：，
，
且，解得且，
①，②，
因为，所以③，
联立①②③式可得或，均满足且，
所以或.
20. 对于双曲线，将不平行于其渐近线且与该双曲线有且只有一个公共点的直线称为该双曲线的切线，这个公共点称为切点．已知双曲线的方程为
（1）若过点的直线与双曲线有且只有一个公共点，求直线的方程；
（2）已知过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为.设和是双曲线的焦点，直线是双曲线的一条切线，求和到直线的距离的乘积；
（3）若点是直线上的一个动点，且过点可作双曲线的两条切线，切点分别为.过作直线的垂线，设垂足为.问：是否在一个定圆上？若是，求出该圆的方程．若不是，请说明理由．
【答案】（1）或或或
（2）4 （3）是在一个定圆上，该圆的方程为
【解析】
【分析】（1）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，根据直线与双曲线有且只有一个公共点分情况讨论即可；
（2）先求出双曲线的焦点坐标，再根据点到直线的距离求出和到直线的距离，最后计算它们的乘积即可；
（3）先设出点坐标，根据双曲线的切线方程得到切点弦的方程，可得直线过定点，结合，可得在以为直径的圆上，进而求解圆的方程即可.
【小问1详解】
直线过点，
当直线斜率不存在时，直线方程为，此时不符合题意，舍掉；
当直线斜率存在时，设出直线方程，
联立，
当，此时直线与双曲线有且只有一个公共点，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为；
当，若直线与双曲线有且只有一个公共点，
则，解得，
当时，直线的方程为；
当时，.
综上所述，直线的方程为或或或.
【小问2详解】
把双曲线的方程为化为标准方程，得，则，，双曲线的焦点坐标为，
过双曲线上一点与双曲线相切的直线的方程为，即，
到直线的距离，到直线的距离，
又，即，，
，，，则，
.
【小问3详解】
点是直线上的一个动点，设，
则过的切线方程分别为、，
又这两条切线都过，，
直线的方程为，即，
令，解得，直线过定点，
，则在以为直径的圆上，而，
则圆心为的中点，即圆心坐标为，
半径为，
该圆的方程为.
故是在一个定圆上，该圆的方程为.
21. 如图，在平面直角坐标系中，点分别为椭圆的上顶点与下顶点．为直线上的一点．直线分别交椭圆于两点．

（1）若是椭圆上异于的一点，分别为直线的斜率，求的值；
（2）若直线平行于轴，求点的坐标；
（3）求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）
（3）四边形面积的最大值为.
【解析】
【分析】（1）根据两点斜率公式即可求解，
（2）求解直线的方程，联立直线与椭圆方程求解点的坐标，即可根据纵坐标相等求解，
（3）根据点到直线的距离公式，结合面积的表达式，可得，根据对勾函数的单调性即可求解.
【小问1详解】
由题意可知,
设，则，
故，
【小问2详解】
设，
则直线，，
联立与椭圆可得，
故，或，
因此,进而，
同理可得,，
由于直线平行于轴，因此,
解得,故，
【小问3详解】
，根据对称性，不妨设
到直线的距离，
故，
同理可得，其中为到直线的距离，
因此,
设
，
令则，
故，
由于在单调递增，故当时取到最小值，
因此，当且仅当时取到等号，
故四边形面积的最大值为.