上海市古美高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷（含答案解析）

这是一份上海市古美高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 两条异面直线所成角的范围是________．
2. 直线的倾斜角为______．
3. 已知球的表面积为,则该球的体积为______.
4. 若直线：与直线：互相垂直，则______．
5. 已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________.
6. 一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为0.1，第二道工序的次品率为0.2，则该产品的正品率______．
7. 现利用随机数表法从编号为00，01，02，…，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6支水笔的编号为______．
95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623
92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925
8. 已知正方形ABCD的边长是1，将沿对角线AC折到的位置，使（折叠后）A、、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大，则此三棱锥的表面积为______．
9. 已知点在直线上，则的最小值为________．
10. 空间直角坐标系中有一条线段，这条线段在平面，平面，平面上的射影长分别为，则这条线段的长为__________.
11. 某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）

12. 空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、满足：，，且存在实数，使得成立，则由构成的空间几何体的体积是______.
二、单选题
13. 已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的（ ）条件.
14. 某运动员8次射击比赛的成绩为：、、、、、、、；已知这组数据的第百分位为，若从这组数据中任取一个数，这个数比大的概率为，则的取值不可能是（ ）
15. 掷两颗骰子，观察掷得的点数；设事件A为：至少一个点数是奇数；事件B为：点数之和是偶数；事件A的概率为，事件B的概率为；则是下列哪个事件的概率（ ）
16. 在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为
三、解答题
17. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．
(1)若第一次抽取1张卡片，放回后再抽取1张卡片，事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”，求；
(2)若一次抽取2张卡片，事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”，事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”．判断事件C与D是否独立，并证明．
18. 如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面，是中点，已知．
(1)证明：；
(2)求二面角的大小．
19. 为培养学生的社会责任感，某校开展了为期一学期的“温暖社区，青春奉献”志愿服务活动．活动结束后，学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长（单位：小时），统计结果用茎叶图记录如图所示（十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”）．已知甲组有9名学生的数据，乙组有10名学生的数据．
(1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数；
(2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人，求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率；
(3)记甲组志愿服务时长的方差为；在甲组中增加一名学生得到“新甲组”，若的志愿服务时长为27，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；若的志愿服务时长为20，则记“新甲组”志愿服务时长的方差为；通过计算比较的大小（结果精确到0.1），并从数学角度解释这一现象．
20. 如图，在直三棱柱中，，，是边的中点，.
(1)求直三棱柱的体积；
(2)求证：面；
(3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点，求小虫爬行的最短距离.
21. 已知直线恒过点，且与轴，轴分别交于 两点，为坐标原点.
(1)求点的坐标；
(2)当点到直线的距离最大时，求直线的方程；
(3)当取得最小值时，求的面积.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分非必要
B．必要非充分
C．充分必要
D．既非充分又非必要条件
A．65
B．70
C．75
D．80
A．两个点数都是偶数
B．至多有一个点数是偶数
C．两个点数都是奇数
D．至多有一个点数是奇数
A．
B．
C．
D．