上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学（A卷）试题（Word版附解析）

这是一份上海市复旦大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学（A卷）试题（Word版附解析），共25页。

注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设随机变量服从二项分布，则_________.
2. 8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为，
这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:
3. 在一个列联表中，通过数据计算，则这两个变量间有关的可能性为________．
参考表格：
4. 曲线在处的切线方程是________.
5. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
6. “守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高的评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为______百万元.
7. 今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期_________.
8. 已知，则________．（用数字作答）
9. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.
10. 函数，若方程恰有3个根，则实数取值范围为______.
11. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数.设集合，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为________.
12. 现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用铅笔涂黑.
13. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数
B. 某品牌新能源汽车最大续航里程
C. 检测一批灯泡的使用寿命
D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
14. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
15. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A 若出门，则开私家车不会迟到
B. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
16. 是数列前项和，，给出以下两个命题:
命题；
命题:对任意正整数，不等式恒成立.
下列说法正确是（ ）
A. 命题都是真命题
B. 命题为真命题，命题为假命题
C. 命题为假命题，命题为真命题
D. 命题都假命题
三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，分别为线段 的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积．
18. 已知函数为常数.
（1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点;
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.
19. 本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.

（1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布列及期望.
（2）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点.
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长;
（2）当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值;
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值.
21. 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
（1）证明:数列“弱等差数列”;
（2）设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”;
（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.复旦大学附属中学2023学年第二学期
高二年级数学期中考试试卷（A）
时间:120分钟 满分:150分
注:请将试题的解答全部写在答题纸的相应位置，写在试卷上无效.
一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 设随机变量服从二项分布，则_________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项分布的方差公式计算得解.
【详解】依题意，.
故答案为：2
2. 8位选手参加射击比赛，最终的成绩(环数)分别为，
这组数据的第75百分位数是_________.参考表格:
【答案】
【解析】
【分析】先排序，再由，可取第和第个数之和的一半即可得解.
【详解】先排序可得，
由，
所以第75百分位数是.
故答案为：
3. 在一个列联表中，通过数据计算，则这两个变量间有关的可能性为________．
参考表格：
【答案】##
【解析】
【分析】根据独立性检验的知识确定正确答案.
【详解】由于，
所以两个变量之间有关系的可能性为.
故答案为：
4. 曲线在处的切线方程是________.
【答案】
【解析】
【分析】
求出函数的导函数，把代入即可得到切线的斜率，然后根据和斜率写出切线的方程即可.
【详解】解：由函数知，
把代入得到切线的斜率
则切线方程为：，即.
故答案为：
【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题．
5. 某同学在一次考试中，8道单选题中有6道有思路，2道没思路，有思路的有的可能性能做对，没思路的有的可能性做对，则他在8道题中随意选择一道题，做对的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据全概率公式求解即可.
【详解】设事件表示“考生答对”，设事件表示“考生选到有思路的题”
则小明从这道题目中随机抽取道做对的概率为：
.
故答案为：.
6. “守得住经典，当得了网红”，这是时下人们对国货最高评价，网络平台的发展让越来越多的消费者熟悉了国货品牌的优势，使得各大国货品牌都受到高度关注，销售额迅速增长，已知某国货品牌2023年8-12月在网络平台的月销售额（单位：百万元）与月份具有线性相关关系，并根据这5个月的月销售额，求得回归方程为，则该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为______百万元.
【答案】225
【解析】
【分析】根据样本中心点在回归直线上的性质，先计算出，代入回归方程求得，再用代表月平均销售额，即可算得总销售额.
【详解】依题意，，因样本中心点在回归直线上，代入得：，
所以该国货品牌2023年8-12月在网络平台的总销售额为百万元.
故答案：225.
7. 今天星期三，再过1天是星期四，那么再过天是星期_________.
【答案】天(或日)
【解析】
【分析】首先由，再利用二项展开式即可得解.
【详解】由
，
所以除余，所以再过天是星期天.
故答案为：天（或日）.
8. 已知，则________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，两边求导得到，再取，即可求出结果.
【详解】因为，
两边求导可得，
令，得到，即，
故答案为：.
9. 双曲线具有如下光学性质:从一个焦点发出的光线经双曲线反射后，反射光线的反向延长线一定经过另一个焦点.已知双曲线，如图从的一个焦点射出的光线，经过两点反射后，分别经过点和.若，则的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】作出,的反向延长线交于双曲线的左焦点,由已知可得，，设可得由勾股定理可求得进而可求C的离心率.
【详解】由双曲线的光学性质可知,的反向延长线交于双曲线的左焦点,如图所示：
由,
两边平方可得,
所以，所以，所以，
又，所以，
设则，
设，则，
根据双曲线定义，可得，
所以，解得，所以
在中，所以
所以C的离心率为.
故答案为：.
10. 函数，若方程恰有3个根，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】画出 图象,再分析与直线的交点个数即可.
【详解】画出函数的图象,如图所示：
由题意可知，
先求与相切时的情况，由图可得此时,
设切点为,则，解得, ，
此时直线，此时直线与只有两个公共点，所以，
又斜率，又当时与平行，与有三个公共点，而当，直线与有四个交点，故.
故答案为：
11. 一只蜜蜂从蜂房出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如:从蜂房只能爬到1号或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房此类推，用表示蜜蜂爬到号蜂房的方法数.设集合，集合是集合的非空子集，则中所有元素之和为奇数的概率为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到数列满足，求得在偶数项共有项，奇数项为项，得到中有的非空子集，以及中所有元素之和为奇数的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意知，该蜜蜂爬到1号蜂房的路线数为1，第2号蜂房的路线数为2，第3号蜂房的路线数为3，第4号蜂房的路线数为5，第5号蜂房的路线数为8，，
则第号蜂房的路线数为，
所以，
即数列为，其中为偶数，
所以在偶数项共有项，奇数项为项，
又由，可得中有的非空子集，
若中元素之和为奇数，则中的奇数共有奇数个，偶数可以随意，
所以满足条件的的个数为：
，
所以中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：.
12. 现有6根绳子，共有12个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这6根绳子恰好能围成一个圈的概率为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接根据圆排列及古典概型计算.
【详解】依题意，环排列有：种,总的连接方式有：种，
所以恰好能围成一个圈的概率为.
故答案为：.
二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每远4分，第15-16题每题5分，满分18分)毎题有且只有一个正确选项.考生应在答題纸的相应位置，将正确选项用铅笔涂黑.
13. 要调查下列问题，适合采用全面调查（普查）的是（ ）
A. 某城市居民3月份人均网上购物的次数
B. 某品牌新能源汽车最大续航里程
C. 检测一批灯泡的使用寿命
D. 调查一个班级学生每周的体育锻炼时间
【答案】D
【解析】
【分析】结合普查和抽查的适用条件即可求解.
【详解】A ，B选项中要调查的总体数量和工作量都较大，适合采用抽查；
C选项的检测具有毁损性，适合抽查；
D选项要调查的总体数量较小，工作量较小，适合采用普查，
故选：D.
14. 对两个变量的三组数据进行统计，得到以下散点图，关于两个变量相关系数的比较，正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据散点图中点的分布的特征，确定3个图对应的相关系数的正负以及大小关系，可得答案.
【详解】由散点图可知第1个图表示的正相关，
故；
第2，3图表示的负相关，且第2个图中的点比第3个图中的点分布更为集中，
故，且，故，
综合可得，即，
故选：C
15. 江先生每天9点上班，上班通常开私家车加步行或乘坐地铁加步行，私家车路程近一些，但路上经常拥堵，所需时间（单位：分钟）服从正态分布，从停车场步行到单位要6分钟；江先生从家到地铁站需要步行5分钟，乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需间（单位：分钟）服从正态分布，下地铁后从地铁站步行到单位要5分钟，从统计的角度出发，下列说法中合理的有（ ）
参考数据：若，则，，
A. 若出门，则开私家车不会迟到
B. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
C. 若出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大
D. 若出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由即可判断；对于BC，分别计算开私家车及乘坐地铁不迟到的概率即可判断；对于D，计算即可判断
【详解】对于A，当满足时，
江先生仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故A错误；
对于，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，
此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故B错误；
对于C，若出门，
①江先生开私家车，
当满足时，
此时江先生开私家车不会迟到；
②江先生乘坐地铁，
当满足时，此时江先生乘坐地铁不会迟到；
此时两种上班方式，显然江先生开私家车不迟到的可能性更大，故C错误；
对于D，若出门，
江先生乘坐地铁上班，
当满足时，江先生乘坐地铁不会迟到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是分别分析得江先生使用不同交通工具在路上所花时间，结合正态分布的对称性求得其对应的概率，从而得解.
16. 是数列前项和，，给出以下两个命题:
命题；
命题:对任意正整数，不等式恒成立.
下列说法正确的是（ ）
A. 命题都是真命题
B. 命题为真命题，命题为假命题
C. 命题为假命题，命题为真命题
D. 命题都是假命题
【答案】A
【解析】
【分析】由题意可求出的表达式，利用等差数列的求和公式可判断命题；证明出当时，，可得出，再结合放缩法可判断命题.
【详解】因为，
所以，
所以，数列为常数列，则，
所以；
所以，
令，则，所以数列为首项为，公差为的等差数列，
因此，
即命题正确；
设，其中，则，
当时，，单调递减，
则，即，当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
则，所以命题正确.
故选：A.
三、解答题(本大题共5题，满分78分)解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17. 如图所示，在棱长为2的正方体 中，分别为线段 的中点．
（1）求异面直线与所成的角；
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】（1）分别以 为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成的角．
（2）先求出，再由向量法求出点F到平面的距离，由此根据即可求出三棱锥的体积．
【小问1详解】
以D为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
∵在棱长为2的正方体中，分别为线段的中点，
∴ ，
∴，
设异面直线与所成的角为，
则，
∴异面直线与所成的角为．
【小问2详解】
∵在棱长为2正方体中，,
∴，
∵ ，
∴，
设平面的法向量 ，则 ，
∴，令，则可取，
∴点F到平面的距离，
∴三棱锥的体积.
18. 已知函数为常数.
（1）若在处有极值，求的值并判断是极大值点还是极小值点;
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；是的极小值点
（2）实数的取值范围为
【解析】
【分析】（1）先根据函数在处有极值求出的值，将值代入原函数求导进行判断函数在左右的导函数正负号即可得到结果；
（2）在上是增函数，转化成在恒成立，进而分离参数转化成在恒成立进行求解即可得到结果.
【小问1详解】
的定义域为，
则；
由题意，在处有极值，即，
即；
∴；
∴，
∴当时，，为增函数；
当时，，为减函数；
∴是的极小值点.
【小问2详解】
∵在上是增函数，
∴在恒成立，即有，
在恒成立，只需求；
，
，
；
，
∴的取值范围为.
19. 本市某区对全区高中生的身高(单位：厘米)进行统计，得到如下的频率分布直方图.

（1）若数据分布均匀，记随机变量为各区间中点所代表的身高，写出的分布列及期望.
（2）现从身高在区间的高中生中分层抽样抽取一个160人的样本.若身高在区间中样本的均值为176厘米，方差为10；身高在区间中样本的均值为184厘米，方差为16，试求这160人身高的方差.
【答案】（1）分布列见详解，期望为171.7
（2）27.25
【解析】
【分析】（1）依据分布列和期望的定义即可求得的分布列及期望；
（2）依据方差的定义去求这160人的方差.
【小问1详解】
由，解得，
所以分布列为：
.
【小问2详解】
由于身高在区间，的人数之比为，
所以分层抽样抽取160人，区间，内抽取的人数分别为100人与60人.
在区间中抽取的100个样本的均值为176，方差为10，即，，
在区间中抽取的60个样本的均值为184，方差为16，即，，
所以这160人身高的均值为，
从而这160人身高的方差为
，
因此这160人身高的方差为27.25.
20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点(点在点的上方)，与轴交于点.
（1）当时，点为椭圆上除顶点外任一点，求的周长;
（2）当且直线过点时，设，求证:为定值，并求出该值;
（3）若椭圆的离心率为，当为何值时，恒为定值;并求此时面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据椭圆定义求解三角形周长；
（2）联立与，得到两根之和两根之积，由得到，结合两根之和，两根之积求出答案；
（3）先由离心率得到椭圆方程，联立直线方程，得到两根之和，两根之积，表达出，结合为定值得到，并求出此时，和点到直线的距离，利用基本不等式得到.
【小问1详解】
当时，椭圆方程为，故且，
由椭圆定义可得，的周长为；
【小问2详解】
时，椭圆方程为，
故联立与可得，
设，则，
因为直线过点，所以，即，
所以
因为，设，所以，，
，，又因为，
所以，所以，，
所以
，所以为定值.
【小问3详解】
由题意得，解得，
椭圆方程，联立，
消元得，
当，即时，
设，则，，
又因为、在椭圆上，则，，
则
当为定值时，即与无关，故，得，
此时，
又点到直线的距离，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
因为，经检验，此时成立，所以面积的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
21. 对于有穷数列，若存在等差数列，使得，则称数列是一个长为的“弱等差数列”.
（1）证明:数列是“弱等差数列”;
（2）设函数，在内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明： 是“弱等差数列”;
（3）证明:存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）找到一个符合条件的数列即可证明；
（2）令得到极值点符合的等式关系，即为和图象交点的横坐标，再结合二者图象的特点找到交点的位置，确定数列即可证明；
（3）先构造一个等比数列，其通项公式为，证明存在一个正整数，使其为长为2024的“弱等差数列”即可.
【小问1详解】
存在数列是等差数列，且，所以数列是“弱等差数列”.
【小问2详解】
，令得，
所以极值点即为和图象交点的横坐标，
由和在内的图象可知，在每个周期都有一个交点，
所以令，则，所以是“弱等差数列”.
【小问3详解】
构造正整数等比数列，，其中是待定正整数，
下面证明：存在正整数，使得等比数列是长为2024的“弱等差数列”.
取若存在这样的正整数使得
成立，
所以，
由，得
，
于是，
又因为，所以当时，，
而，
所以，
最后说明存在正整数使得，
由，
上式对于充分大的成立，即总存在满足条件的正整数.
所以，存在长为2024的“弱等差数列”，且是等比数列.
【点睛】思路点睛：新定义题目解题策略：
（1）依据新定义取特殊值证明其成立；
（2）如果有多个条件，先假设符合其中一个条件，再证明其余的条件也符合.
155
165
175
185
195
205
0.22
0.27
0.25
0.15
0.1
0.01