上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷（含答案解析）

这是一份上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 抛掷3枚质地均匀的硬币，最多1枚正面朝上的概率为______.
2. 若一个球的体积是，则这个球的表面积是______．
3. 管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼，拖网打捞出1000条鱼，在鱼身处打上一个不会掉落的印记，再放回水库，一个月后再次捕捞1000条鱼，发现其中有20条有印记的鱼，问：这个水库里大概有______条鱼．
4. ，则___________.
5. 已知直线经过点，与直线的夹角为.则直线的方程__________.
6. 某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.
7. 现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第4支水笔的编号为___________（以下摘自随机数表第7行）．
39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263
8. 某学生参加两次英语高考，已知第一次超过130分的概率是0.5，第二次超过130分的概率是0.7，两次都超过130分的概率是0.3，则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_____．
9. 已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是_____．
10. 根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有3组样本①，②，③，依次计算得到结果如下：①平均数且极差小于或等于3；②平均数且标准差；③众数等于5且极差小于或等于4，则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是______.
11. 已知四棱柱底面为平行四边形，且，求异面直线与的夹角_______．
12. 数列：满足：，且，记集合.若数列满足：对任意，均有，则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_____.
二、单选题
13. 已知是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（ ）
14. 某班一次数学小测验（百分制）后，老师为了奖励同学们平时认真学习，决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后，与原始分数相比，不会发生改变的是（ ）
15. 有一四边形，对于其四边，按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币：如硬币正面朝上，则将其擦去；如硬币反面朝上，则不擦去．最后，以A为起点沿着尚未擦去的边出发，可以到达C点的概率为（ ）．
16. 已知点M为正方体内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：
：过点M有且只有一个平面与和都平行；
：过点M至少可以作两条直线与和所在的直线都相交．
则以下说法正确的是（ ）
三、解答题
17. 如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，，四棱锥的体积为，为的中点．
(1)求证：；
(2)求直线与平面所成的角的大小．（结果用反三角表示）
18. 某高中举行了一次知识竞赛．为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计．将成绩进行整理后，依次分为五组（），其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项．请根据下面的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：
(1)求a、b的值；
(2)从样本数据在两个小组内的学生中，用分层抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率；
(3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：已知这10个分数的平均数，方差，若剔除其中的95和81两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．
19. 已知一条动直线，
(1)求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．
(2)若直线与轴的正半轴分别交于两点，当取最小值时，求直线的方程．
20. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图，在三棱锥中.
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为，求点到平面的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点在棱上，直线与平面所成角的余弦值为，求的长度.
21. 我们称为向量与的向量积，现定义空间向量与的向量积：若，，则.区别于向量的数量积的结果是标量，向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中，记.
(1)若，求；
(2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题（1）的结果，猜测一个有关方向的一般结论（不必证明）.
②若，求直线与平面的所成角的大小；
(3)证明，并用表示三棱锥的体积.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．平均数
B．中位数
C．第80百分位数
D．方差
A．
B．
C．
D．
A．命题是真命题，命题是假命题
B．命题是假命题，命题是真命题
C．命题，都是真命题
D．命题，都是假命题