上海市控江中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析）

这是一份上海市控江中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知抛物线，则抛物线的焦点坐标为______.
2. 已知一个圆的圆心为，且经过点，则这个圆的方程为______.
3. 已知一个圆锥的底面半径为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积为______.
4. 样本数据1，3，7，10，14，19，21，25，35，67的第70百分位数为______.
5. 若一个球的表面积是，则这个球的体积为______.
6. 已知有一个质地均匀的正方体骰子，其六个面上的数分别为1，2，3，4，5，6，抛掷这个骰子两次，则向上的点数之和是8的概率为______.
7. 是双曲线上一点，点，分别是双曲线左右焦点，若，则______.
8. 设常数，若直线与直线的夹角为，则______.
9. 如图，在四面体中，平面，，且.若为的中点，则直线与平面所成角的大小为______.

10. 已知点为抛物线的焦点，过点的直线与抛物线的准线交于点，且点在第三象限，若满足的点在抛物线上，则直线的斜率为______.
11. 如图，在长方体中，，，，点是矩形（包括边界）上的动点，点是矩形（包括边界）上的动点，若，则四面体体积的最大值为______.
12. 若直角坐标平面上存在点，过点的直线满足以下两个条件：①点、到直线的距离之和为6；②满足条件①的直线有且仅有4条，则称点具有“性质”.那么由所有具有“性质”的点构成的平面图形其面积为______.
二、单选题
13. 设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
14. 已知甲、乙两人投篮命中的概率分别为和，且事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则甲、乙两人至少有一人命中的概率为（ ）
15. 已知点、点，若点为曲线上一点，则三角形的面积（ ）
16. 用一个平面去截一个底面半径为的圆柱，得到的几何体如图所示，其截面边界为椭圆.该椭圆上所有点中离底面最近的点为，其距离为，最远的点为，其距离为，且点和点在底面的投影分别为点和点.已知点是椭圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
三、解答题
17. 如图，在正三棱柱中，，，为棱上一点且.
(1)求异面直线与所成角的大小；
(2)求二面角的大小.
18. 设常数，已知直线与双曲线交于两点.
(1)若两点分别在双曲线的左支和右支上，求的取值范围；
(2)设，求的面积.
19. 某工业安全检测系统发现，正常设备与故障设备在运行温度上有明显差异，经过长期监测统计，得到两类设备运行温度的频率分布直方图：

系统要设定一个报警阈值，当设备运行温度大于时判定为故障，发出警报，否则判定为正常.漏报率指实际设备故障但是未发出警报的概率，用表示；误报率指实际设备正常但是发出警报的概率，用表示.假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.例如当报警阈值时，漏报率为故障设备运行温度在区间上的频率，故漏报率为.
(1)求的值，并求出当报警阈值时误报率的值；
(2)现从故障设备运行温度在与两个区间段内，按分层抽样的方式抽取5台设备，再从这5台设备中随机抽取2台设备，求这2台设备的运行温度在同一个区间段内的概率；
(3)设，当时，求的解析式，并求在区间上的最小值.
20. 如图，设常数，在平面直角坐标系中，已知点，直线，曲线，直线与轴交于点，直线与曲线交于点，点分别是曲线与线段上的动点.

(1)用表示点到点的距离；
(2)设，若直线与轴垂直，且，求点的坐标；
(3)设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在曲线上？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
21. 如图，设常数，已知椭圆方程为.

(1)求离心率的值；
(2)设，椭圆上有一点，已知点为圆的圆心，过点作圆的两条切线分别交椭圆于两点，且都不与重合；
①设两条切线的斜率分别为、，求的取值范围；
②是否存在圆使得为直角三角形？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明理由.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分又非必要条件
A．0.88
B．0.48
C．0.32
D．0.12
A．有最大值，无最小值
B．无最大值，有最小值
C．既有最大值，也有最小值
D．既无最大值，也无最小值
A．
B．
C．
D．