上海市金山区2025-2026学年高二第一学期质量监控数学试题（含答案解析）

这是一份上海市金山区2025-2026学年高二第一学期质量监控数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 将一枚质地均匀的正方体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数等于3”的概率是______．
2. 已知向量和，若，则______．
3. 某新闻栏目在当地开展对“键盘侠”的认可程度调查，随机抽取的50人中，有14人持认可态度，其余持反对态度．若该地区有7600人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有______人．
4. 抽样统计某位射击运动员10次的训练成绩分别为86，85，88，86，91，89，88，87，85，92，则该运动员这10次成绩的分位数为___________．
5. 已知、是相互独立事件，且，，则______．
6. 如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为_____.
7. 已知一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，用经过圆锥的轴的平面截此圆锥，则截面三角形的顶角大小为______．
8. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形，得到的直观图是矩形（如图所示），其中，，则原图形的面积是______．
9. 如图，在四面体ABCD中，E是BC的中点，设，，，请用，，的线性组合表示______．
10. 甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，若，就称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为__________.
11. 要给1000个相同规格的螺杆镀锌（表面涂上一层锌），螺杆的尺寸如图所示（图中单位：毫米），螺杆下部是实心的正六棱柱，上部是实心的圆柱．如果电镀这批螺杆每平方米要用锌0.11千克，则需要用锌的总量为______克．（精确到0.1）

12. 如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧．若顶点到平面的距离分别为，则该正方体的棱长为_____．
二、单选题
13. 已知平面与平面，都相交，则这三个平面可能的交线有( )
14. 已知是空间三条不同的直线，则下面命题正确的是（ ）
15. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
16. 正方体透明容器的棱长为2，点是棱上任意一点，对于以下两个命题，下列判断正确的是（ ）．
①；
②将容器的一个顶点放置于水平桌面上，使得正方体的12条棱所在的直线与桌面所成的角都相等，再向容器中注水，则注水过程中，容器内水面的最大面积为．
三、解答题
17. 一个盒子中装有标号为1，2，3，5的4张标签，依次随机选取两张标签，用数组表示可能的结果，其中表示第一次取出的标签上的数字，表示第二次取出的标签上的数字．
(1)若标签的选取是不放回的，写出样本空间，并求的概率；
(2)若标签的选取是有放回的，求的概率．
18. 如图，在正方体中，点，分别为棱，的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与直线所成的角的大小.
19. 宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm，
(1)求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度）
(2)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度）
20. 如图，在平行四边形中，，，，沿将翻折至的位置，使得平面平面是线段所在直线上的动点（与点不重合），是的中点．
(1)证明：直线与是异面直线；
(2)证明：平面；
(3)求点到平面距离的最大值．
21. 在晶体学研究中，某晶体的基本晶格为平行六面体结构，如图，已知从顶点出发的三条棱、、的长度分别为2、2、3，且两两夹角都为．若建立空间直角坐标系来计算晶格中某两个原子间距等问题，需将棱分解为正交分量，运算过程繁琐且易出错．为此，我们引入空间斜坐标系：以为原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，、、分别为斜坐标系下、、轴正方向上的单位向量，若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作．
(1)求向量的斜坐标；
(2)我们知道，在空间直角坐标系中，设，，则，在本题建立的空间斜坐标系中，该数量积公式仍然成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请给出正确的公式，并应用公式计算；
(3)在线段上是否存在一点，使得直线与平面的夹角为，若存在，请求出的斜坐标；若不存在，请说明理由．
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．条或条
B．条或条
C．条或条
D．条或条或条
A．若且，则
B．若且，则
C．若且，则共面
D．若共点，则共面
A．平均数为3，中位数为2
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为2.4
D．中位数为3，方差为2.8
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题
D．①②都是假命题