2025年上海市控江中学高一上学期期中数学试卷及答案解析

这是一份2025年上海市控江中学高一上学期期中数学试卷及答案解析，共19页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2025年11月
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题满分5分）
1. 若全集，则______．
2. 已知函数的图像过点，则实数______．
3. 若实数且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为______．
4. 若实数满足且，则______．
5. 函数的定义域为______．
6. 函数的图象的对称中心为______．
7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______．
8. 已知，为实数，关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
9. 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为______()．
10. 若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______．
11. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围为______．
12. 给定有限集，记为集合内元素的个数．对正整数（），设，，则的最大值与最小值之和为______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且仅有一个正确答案．
13. 语句“或”否定形式为（ ）
A. 或B. 或
C. D. 且
4. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
15. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ）
A. B.
C. D.
16. 以下四个命题中，正确的有（ ）个．
①存，以及，使得；
②存在，以及，使得；
③存在，以及，使得；
④存在，以及，使得．
A. 1B. 2C. 3D. 4
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）
17. （1）若，求实数取值范围；
（2）若，求实数取值范围．
18. 已知，是方程的两实根（其中），求下列两个不等式的解集:
（1）；
（2）．
19. 某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米．
（1）池底的周长最小为多少？（单位：米）
（2）假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位）
20. 距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中）
（1）设点，点，求与的值；
（2）若，点和点关于直线对称，比较与大小，并证明结论；
（3）若，给定点，设集合，，证明：．
21. 设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的．
（1）证明：区间不是加法封闭的；
（2）若区间是加法封闭的，求实数的取值范围；
（3）设，集合是函数定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围．
参考答案及解析：
控江中学2025学年度第一学期高一年级期中质量调研
数学试卷
2025年11月
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题4分，第7-12题满分5分）
1. 若全集，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用补集的定义直接求解.
【详解】全集，，所以.
故答案为：
2. 已知函数的图像过点，则实数______．
【答案】4
【解析】
【分析】代点进入函数解析式即可计算求解.
【详解】由题可得.
故答案为：4
3. 若实数且，函数的图像恒过定点，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用指数函数图象特征求出定点的坐标.
【详解】实数且，函数，当时，恒有，
所以函数的图像恒过定点.
故答案为：
4. 若实数满足且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算及指数式与对数式互化关系求解.
【详解】由，得，即，则，
因此，即，则，所以.
故答案为：
5. 函数的定义域为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用函数有意义列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，得，解得或，
所以函数的定义域为.
故答案为：
6. 函数的图象的对称中心为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用反比例函数对称中心，结合图象平移即得.
【详解】函数，
则函数的图象可由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位而得，
而函数图象的对称中心为，所以函数的图象的对称中心为.
故答案为：
7. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次型不等式恒成立列式求解.
【详解】由对任意，恒成立，
当时，恒成立，因此；
当时，，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
8. 已知，为实数，关于的不等式的解集为，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由不等式的解集得到，再将所求不等式化为二次不等式计算求解即可.
【详解】关于的不等式的解集为，所以，
则不等式.
不等式的解集为.
故答案为：
9. 聚合酶链式反应（PCR）扩增技术可以将微量的DNA片段大量复制以便仪器进行检测，常用于医学、考古、刑侦等领域，每1次扩增将DNA片段量变为扩增前的2倍．若某研究中初始DNA片段量为5，要求用于仪器检测的DNA片段量不低于，则检测前需要扩增的次数至少为______()．
【答案】31
【解析】
【分析】根据给定信息列出不等式，利用对数函数单调性求解即得.
【详解】设检测前需要扩增的次数为，则扩增后DNA片段量为，
由，得，则，即，
而，因此，
所以检测前需要扩增的次数至少为31.
故答案为：31
10. 若对任意满足的实数，都有成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用不等式的性质及基本不等式求出的最小值即可.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
由对任意满足的实数，都有成立，得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
11. 若存在实数使得成立，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】分，，，，五类情况进行讨论即可得出结论.
【详解】当时，不等式可化为，符合题意；
当时，不等式可化为，
当时 ，不等式即为，此时，所以；
当时 ，不等即为，此时，所以；
当时，不等式可化为，不存在满足题意的；
当时，不等式可化为，符合题意.
综上所述的取值范围为.
故答案为：
12. 给定有限集，记为集合内元素的个数．对正整数（），设，，则的最大值与最小值之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用集合交并运算，按除以3的余数情况分类，求出的范围，再确定最大值与最小值即可.
【详解】依题意，，
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
因此当为3的正整数倍时，取得最大值，当时，取得最小值，
所以的最大值与最小值之和为.
故答案为：
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中第13-14题每题满分4分，第15-16题每题满分5分）每题有且仅有一个正确答案．
13. 语句“或”否定形式为（ ）
A. 或B. 或
C. D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】利用或命题的否定直接写出结论.
【详解】语句“或”的否定形式为且.
故选：D
14. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可．
【详解】若，则，故充分性成立，
若，则，解得或，故必要性不成立.
所以“”是“”的充分非必要条件.
故选：A
15. 设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】逐一分析各选项的指数型函数图象或对数型函数图象得到参数情况，进而得到另一个函数图象性质即可判断得解.
【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方，
所以且，
所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误；
对B，函数单调递增，且图象过原点，
所以且，
所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确；
对C，函数单调递减，且图象过原点，
所以且，
所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误；
对D，函数单调递减，且图象过原点，
所以且，
所以函数单调递减，故D错误.
故选：B
16. 以下四个命题中，正确的有（ ）个．
①存在，以及，使得；
②存在，以及，使得；
③存在，以及，使得；
④存在，以及，使得．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由对数运算性质即可判断①；举特例即可判断②③④.
【详解】对于①，对，以及，恒成立，①正确；
对于②，当，以及时，
此时，，
故，②正确；
对于③，当，以及时，此时，
故，③正确；
对于④，当，以及时，此时，
故，④正确.
故选：D
三、解答题（本大题共有5题，满分78分，其中第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）
17. （1）若，求实数取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】由幂函数的性质即可计算求解；
【详解】（1）因为为R上的增函数，
所以若，则，
所以满足题意的实数的取值范围为.
（2）因为函数为上的增函数，且定义域为R，
且，即为偶函数，
所以函数为上的减函数，
所以若，则或.
所以满足题意的实数的取值范围为.
18. 已知，是方程的两实根（其中），求下列两个不等式的解集:
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据韦达定理求出，再利用对数函数单调性解不等式即可；
（2）首先判断与1的大小关系，再利用指数函数单调性解不等式即可.
【小问1详解】
由题意，所以不等式即为，即，
所以，所以不等式的解集为.
【小问2详解】
因，所以，所以原不等式可化为，
即，所以，所以不等式的解集为.
19. 某工厂计划建设一个容积为1000立方米的长方体露天蓄水池，并为其底部和侧壁铺设瓷砖．施工公司给出的铺设池底的报价是每平方米24元，铺设池壁的报价是每平方米20元．由于生产需要，要求蓄水池深度不得超过10米，底部长与宽均不得超过20米．
（1）池底的周长最小为多少？（单位：米）
（2）假设将蓄水池深度限定为5米，则应如何设计池底的长与宽，可以使得铺设的成本最小？最小成本又是多少元?（成本精确到小数点后2位）
【答案】（1）40 （2）长：米，宽：米，最小成本：10456.85元
【解析】
【分析】（1）根据容积得到，写出池底周长的表达式，然后根据基本不等式即可求解；
（2）写出总成本的表达式，然后根据基本不等式即可求解.
【小问1详解】
设蓄水池的长为米，宽为米，高为米，其中，
则容积立方米，，代入，
得，即，池底的周长，
当且仅当，且，即时取得，所以池底的周长最小为40米.
【小问2详解】
当深度米时，则平方米，则总成本元.
当且仅当时取得等号，所以最小成本为元 .
20. 距离的度量是机器学习算法的重要基础，对平面直角坐标系中的两点，（可重合），定义它们的阶闵可夫斯基距离为：（其中）
（1）设点，点，求与的值；
（2）若，点和点关于直线对称，比较与的大小，并证明结论；
（3）若，给定点，设集合，，证明：．
【答案】（1），.
（2），且等号成立当且仅当 . （3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据新定义计算；
（2）根据新定义，利用对称的条件先化简，然后利用指数函数的单调性比较大小；
（3）先利用指数函数的性质，利用分类讨论思想和作商比较大小方法证明对任意两点 和 ，当 时且时，必有.然后利用集合的包含关系的定义即可以证明．
【小问1详解】
给定点 和 .
它们的阶闵可夫斯基距离公式为：，其中.
当 时：.
当 时：.
因此，，.
【小问2详解】
已知 ，且点 和点 关于直线 对称.
设，则 （由对称性）.
它们的阶闵可夫斯基距离为：.
令 .
若（即 )，则
若（即)，由于，有.
函数单调递增，因此
于是：.
综上，当 时，，且等号成立当且仅当 .
【小问3详解】
证明 ：已知 ，给定点 ，集合定义为：，.
需证 ，即若 ，则
首先，证明对任意两点 和 ，
当 时且时，必有.
令 ，.
令 ，，，则.
则：，.
因为，所以，
又因为，所以.
①当时，，满足.
②当至少有一个不为零时，，所以，即.
考虑比值：
令 ，，，则， ，，，且至少有一个不为零.
则：.
由于 且 ，有 ，，因此：.
于是：.
由 则 ，，所以，所以
所以 ，所以
现在，若，则 .
由上述不等式：.
因此 ，所以
这样就证明了成立.
21. 设是一个非空集合，如果对于任意的，，有，则称是加法封闭的；而如果对于任意的，，有，则称是乘法封闭的．
（1）证明：区间不是加法封闭的；
（2）若区间是加法封闭的，求实数的取值范围；
（3）设，集合是函数的定义域，若是乘法封闭的，求实数的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）由加法封闭定义结合即可证明；
（2）由题意得到即可求解；
（3）先求出集合B，进而得到列出关于参数a的不等式组即可计算求解；
【小问1详解】
：取，，但，
所以不满足对于任意的，，有，
所以区间不是加法封闭的；
【小问2详解】
因为区间是加法封闭的，对于任意的，，都有，
所以，
所以满足题意的实数的取值范围是；
【小问3详解】
要使函数有意义，
则，
所以函数的定义域为集合，
因为是乘法封闭的，
所以对于任意的，，有，
所以，
所以满足题意的实数的取值范围是.