上海市金山中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析）

这是一份上海市金山中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（含答案解析），共16页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1. 已知集合，则___________．
2. 已知，则z＝________．
3. 已知向量，，若，则_____．
4. 已知双曲线的渐近线和圆相切，则__________.
5. 若数列的前项和是（为正整数），则数列的通项公式是_____．
6. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则四边形的面积为_______
7. 若函数在上严格减，则的取值范围是__________.
8. 已知是实常数，设关于的不等式的解集为，若与区间的交集非空，则的取值范围为_____．
9. 下图是正三棱柱和正四棱台的组合体.已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为_____.
10. 如图，已知圆柱的斜截面是一个椭圆，该椭圆的长轴为圆柱的轴截面对角线，短轴长等于圆柱的底面直径.将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的正弦曲线.若该段正弦曲线是函数图象的一部分，则其对应的椭圆的离心率为____________.
11. 如图，椭圆有如下光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，其中法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于点，，过点作的切线，点关于的对称点为，若，，则_______．
12. 空间中，向量满足：，且的两两夹角都是，对于向量，若，则的最小值是___________．
二、单选题
13. 已知空间向量，则（ ）
14. 若函数在上存在零点，则的取值范围为（ ）
15. 已知数列满足，某同学将其前20项中某一项正负号写错，得到其前20项和为82，则写错之前这个数为（ ）
16. 如图，在等腰梯形中，为线段上的一点，以为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（ ）
三、解答题
17. 如图，在正四棱柱中，点在上，且，．
(1)证明：平面；
(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
18. 在中，角､､所对的边分别为､､，，.
(1)求函数的最大值及对应的值；
(2)若，，，求的周长.
19. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，且经过点．
(1)求的方程；
(2)直线与有且只有一个公共点，求的值；
(3)直线与交于两点，是坐标原点．若的面积为，求的值．
20. 在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（为非零的正实数）代替得到曲线的方程，则称曲线、关于原点“伸缩”，变换称为“伸缩变换”，称为伸缩比.
(1)已知的方程为，伸缩比，求关于原点“伸缩变换”所得曲线的方程；
(2)射线的方程，如果双曲线经“伸缩变换”后得到双曲线，若射线与双曲线、分别交于两点、，且，求双曲线的方程；
(3)对抛物线，作变换，得抛物线；对作变换得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得，若，，求数列的通项公式.
21. 2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的截口曲线是圆；当圆锥的轴与截面所成的角不同时，还可以截得截口曲线为椭圆、双曲线、抛物线；数学家Germinal Dandelin用双球模型进行了证明，并得出如下结论：当圆锥轴截面的顶角为，截面与圆锥的轴所成角为时，则截口曲线的离心率，当截面为椭圆且垂直于轴截面时，截面与轴截面相交所得线段为长轴.（轴截面是过圆锥的轴的平面与圆锥截得的等腰三角形）已知母线长为6的圆锥，轴截面为等边三角形，.

(1)当过的截面截圆锥得到截口曲线是圆时，求圆锥的底面与截面圆之间的部分的体积；
(2)过的平面截圆锥得到一个椭圆，截面与交于点，与交于点，为椭圆上一点，与垂直且与圆锥底面平行，.
①判断是否为椭圆的长轴，并说明理由；
②判断是否为椭圆的焦点，并说明理由.
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．15
B．
C．17
D．
A．
B．
C．
D．
A．64
B．
C．100
D．
A．1.7
B．2.1
C．2.5
D．2.9