2024-2025学年上海市控江中学高一（上）数学期末试卷+答案

这是一份2024-2025学年上海市控江中学高一（上）数学期末试卷+答案，共9页。试卷主要包含了01，； 2，； 9，B； 14，设常数，．等内容，欢迎下载使用。
一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分
1．设全集，集合，则________．
2．已知，则使得无意义的的值为________．
3．陈述句“或”的否定形式为________．
4．已知扇形的圆心角为，且面积为，则该扇形的半径为________．
5．已知关于的方程的两根分别为，，则的值为________．
6．已知，，若用，表示，则________．
7．函数的定义域是________．
8．已知，，则________．
9．已知，，则满足要求的有________个．
10．设常数，设，若函数恰有三个零点，则的取值范围是________．
11．已知定义在上的函数满足，若函数的图像与函数的图像的公共点为，，，…，，则________．
12．设常数存在实数，使得对于任意，关于的不等式恒成立，则的最大值为________．
二、选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）
13．已知，，且满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）．
A． B． C． D．
14．在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
15．已知函数的定义域为，那么“函数的图像关于原点对称”是“对任意，都存在，使得成立”的（ ）．
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
16．定义在上的函数的图像是连续曲线，其值域为，且是严格减函数，存在实数，，，其中，满足．若实数是函数的零点，则下列结论总成立的是（ ）．
A． B． C． D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题
17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设常数，集合，集合．
（1）设，求；
（2）若，求的取值范围．
18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
设常数，，关于的方程的两个实数根是，．
（1）若，，分别求和的值；
（2）若，，分别求和的值．
19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
某公司为了节约成本，新设了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似表示为
，每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若项目不获利，政府将给予补贴。
（1）设，判断该项目是否获利，如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府至少补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设常数，．
（1）根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设，．
①写出的表达式；
例若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，，当，总有，给出一个区间，并证明结论；
（3）当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值．
21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分4分，第3小题满分8分．
对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．
（1）分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由；
①，；
②，；
（2）设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围；
（3）设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．
参考答案
一、填空题
1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.；
8.； 9.； 10.； 11.； 12.；
二、选择题
13.B； 14.B； 15.A； 16.C
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）不获利，政府至少补贴5000元才能使该项目不亏损
（2）该项目月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
20.设常数，．
（1）根据的值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；
（2）设，．
①写出的表达式；
②若对于区间上的任意给定的两个自变量的值，，当，总有，给出一个区间，并证明结论；
（3）当为正整数时，如果对于任意，总有成立，求的值．
【答案】（1）见解析 （2），见解析 （3）
【解析】（1）定义域为，当时，，且，
此时既不是奇函数也不是偶函数．
（2）①．
②所取，例如：等等．．由于，
所以（由幂函数的单调性），，
（由二次函数的单调性），即．
（3）当时，，
所以在上是严格增函数，由得恒成立。
当时，即恒成立，化简，得恒成立，由于的取值范围为，所以。
由于为正整数，所以或．
若，当时，．
当时，，不成立，舍去．
若，当时，恒成立．
综上，．
21.对于定义在的两个函数和，若函数满足：①是严格减函数；②其函数值恒大于零，则称函数和为“在上的函数对”．
（1）分别判断下列各组中两个函数是否为“在上的函数对”，并说明理由；
①，；
②，；
（2）设常数，若和为“在上的函数对”，求的取值范围；
（3）设常数，若和为“在上的函数对”，求证：的值有且仅有一个．
【解析】（1）①不是．，取，不成立．
②是．在上是严格减函数．时，，此时的函数值恒大于零，
所以这两个函数是＂在上的函数对＂．
（2），在上是严格减函数．
因为恒成立，有恒成立．
由于的取值范围为．因此，
所以的取值范围为．
（3）当时，函数和是＂在上的函数对＂．
证明如下：当时，，
由函数在上是严格增函数，
得在上是严格减函数，且对任意，恒成立。
当时，．
取，得，不成立
此时函数和不是＂在上的函数对＂．
当时，由题可得存在最大值，最大值为1，
当时取得．
取，得，不成立．
此时函数和不是＂在上的函数对＂．
因此，的值有且仅有一个