山西太原市2025-2026学年第一学期高二期末学业诊断数学试卷（含答案解析）

这是一份山西太原市2025-2026学年第一学期高二期末学业诊断数学试卷（含答案解析），共21页。试卷主要包含了解答题，填空题，多选题，单选题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题
1. 已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧．
①若直线的斜率为，求的值；
②设直线与相交于点，证明：点在定直线上．
2. 已知双曲线的离心率，其焦点到它的渐近线的距离为1．直线与的左、右两支分别相交于点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求实数的取值范围；
(3)若是坐标原点）的面积为，求实数的值.
3. 已知点，直线与相交于点，且它们的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线与相交于两个不同点，且线段的中点坐标为，求实数的取值范围.
4. 已知抛物线的焦点是直线与轴的交点．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程.
5. （1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程；
（2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标.
二、填空题
6. 希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________．
7. 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________．
8. 双曲线的渐近线方程为________.
三、多选题
9. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
10. 已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（ ）
11. 已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（ ）
四、单选题
12. 已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（ ）
13. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线与相交于、，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
14. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为，若，且，则（ ）
15. 已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
16. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）
17. 以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
18. 双曲线的焦点坐标为（ ）
19. 抛物线的准线方程为（ ）
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．双曲线的方程为
B．过点且垂直于的直线平分
C．若，则
D．若，则的面积为
A．当时，直线与抛物线没有公共点
B．若直线与抛物线有唯一公共点，则
C．当时，直线与抛物线有两个公共点
D．若直线经过抛物线的焦点，则
A．与的焦点相同
B．与的离心率相同
C．与的准线相同
D．与的焦点到准线的距离相同
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．3
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．