山西省太原市2025-2026学年高二上学期期末学业诊断数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省太原市2025-2026学年高二上学期期末学业诊断数学试卷（Word版附解析），文件包含天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测化学pdf、天壹名校联盟2026届高三年级4月质量检测化学答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
（考试时间：上午）
说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 抛物线的准线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：因为抛物线，所以，
因为准线方程为，所以准线方程为，
故选：D.
2. 双曲线的焦点坐标为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：因为，，所以，得，
焦点在轴上，
所以焦点坐标为.
故选：A
3. 以椭圆的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：椭圆中心是原点，右顶点是，
它是抛物线的焦点，则，，
所以抛物线标准方程是．
故选：D．
4. 已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：方程表示焦点在轴上的双曲线，
由题意可得，
解得.
故选：C
5. 已知双曲线以圆的圆心为右焦点，其渐近线方程为，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
解析：由圆的方程得，
所以圆心为，即为双曲线的右焦点，故，
设双曲线的标准方程为，
又因为渐近线方程为，所以，即；
由得，
故双曲线的标准方程为.
故选：
6. 已知抛物线的焦点为，过抛物线上的点作其准线的垂线，垂足为，若，且，则（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
解析：由抛物线的定义知，抛物线上任一点到焦点的距离等于到准线的距离，
故 ，又因为，所以为边长为6的正三角形，
过作于，则平行于准线，则，
所以.
故选：C
7. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，的准线与相交于、，若是等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：如图，作出符合题意的图形，
由题意可知，抛物线的准线过双曲线的左焦点，则，
因为为等腰直角三角形，易知、关于轴对称，故为的中点，
所以，又因为，故为等腰直角三角形，
所以，，
由双曲线的定义可得，即，
故双曲线的离心率为，
故选：C.
8. 已知、，是圆（为坐标原点）上任意一点，是圆外一点，若，且，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：如下图所示：
当点在轴右侧时，连接，延长交直线于点，
因为，，故为线段的中点，
所以为等边三角形，所以，
又因为为的中点，所以，
此时；
当点在轴左侧时，同理可得，
所以，
故点的轨迹是以点、为焦点，且实轴长为的双曲线，
由题意可得，则，，所以，
因此点的轨迹方程为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．
9. 已知抛物线：与：，则下列结论正确的是（ ）
A. 与焦点相同B. 与的离心率相同
C. 与的准线相同D. 与的焦点到准线的距离相同
【答案】BD
解析：抛物线焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1.
抛物线的焦点为，准线为，焦点到准线的距离为，离心率为1.
故选：BD.
10. 已知直线，抛物线，则下列结论正确的有（ ）
A. 当时，直线与抛物线没有公共点
B. 若直线与抛物线有唯一公共点，则
C. 当时，直线与抛物线有两个公共点
D. 若直线经过抛物线的焦点，则
【答案】ACD
解析：联立消去，
得（*），
当时，（*）式只有一个解，
此时直线与只有一个公共点，此时直线平行于轴，
当时，（*）式是一个一元二次方程，
，
①当，即，且时，
直线与有两个公共点，此时直线与相交，C正确；
②当，即时，直线与有一个公共点，此时直线与相切；
③当，即时，直线与没有公共点，此时直线与相离．
综上所述，当或时，直线与有一个公共点；
当，且时，直线与有两个公共点；
当时，直线与没有公共点．
综上所述，B错误，AC正确；
又抛物线的焦点，直线过点，
则，故D正确.
故选：ACD
11. 双曲线具有丰富的光学性质．例如，从双曲线的一个焦点处发出的光线，经过双曲线在点处反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点，且双曲线在点处的切线平分．如图，已知等轴双曲线经过点，其左、右焦点分别为．若从发出的光线经双曲线右支上一点反射后的光线为，双曲线在点处的切线交轴于点，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为
B. 过点且垂直于的直线平分
C. 若，则
D. 若，则的面积为
【答案】BCD
解析：对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为，
所以，解得，得到双曲线的方程为，A错误；
对于B，如图，由题知，，所以，
若，所以，B正确；
对于C，记，
所以，
又，得到，又，
所以，又，
由，得，C正确；
对于D，因为，，
由，得，
所以，D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分）
12. 双曲线的渐近线方程为________.
【答案】
解析：双曲线的焦点在x轴上，，
所以渐近线方程为，
故答案为：
13. 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两个不同点，且，则线段中点的纵坐标为___________．
【答案】3
解析：设点，.
易得抛物线的焦点为，准线方程为.
由抛物线定义得，
所以，故，
即线段中点的纵坐标为3.
故答案为：3.
14. 希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”．后来，人们将这样的圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，点是当的阿氏圆上的动点．若点为抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，则的最小值为___________．
【答案】
解析：设，已知，，
则，化简整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆；
抛物线的焦点，准线方程为，
则，
当且仅当（两点在两点中间）四点共线时取等号，
又，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. （1）已知抛物线的焦点坐标为，求的标准方程和准线方程；
（2）已知双曲线的实轴长为，且经过点，求的标准方程和焦点坐标.
【答案】（1）标准方程，准线方程；
（2）若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标；
若焦点在轴上，标准方程，焦点坐标.
解析：（1）由抛物线焦点坐标可得，
设抛物线的标准方程为，代入，得，准线方程为，
故抛物线的标准方程为，准线方程为.
（2）由题可知，即.
若焦点在轴上，设，
将和代入方程中，得，解得，
，，
所以双曲线标准方程为，焦点坐标为；
若焦点在轴上，设，
将和代入方程中，得，
解得，此时，，
所以双曲线标准方程，焦点坐标为.
故焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为；
焦点在轴上，双曲线标准方程为，焦点坐标为.
16. 已知抛物线的焦点是直线与轴的交点．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过点的直线交于两个不同点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
（1）
根据题意，直线与轴的交点为，
所以抛物线的焦点，
则抛物线的标准方程为；
（2）
设，，
当直线的斜率不存在时为，此时，不符合题意：
故设，
联立方程组，得，
则，
根据抛物线定义，
得，所以直线的方程为或；
17. 已知点，直线与相交于点，且它们的斜率之积为3，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线与相交于两个不同点，且线段的中点坐标为，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（1）
设点，，，
根据，化简得；
（2）
设， 由已知，
联立，消去并整理得，
所以，且，所以，
因为，所以，
因为，所以，
即，所以或，
所以实数取值范围为.
18. 已知双曲线的离心率，其焦点到它的渐近线的距离为1．直线与的左、右两支分别相交于点．
（1）求双曲线的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）若是坐标原点）的面积为，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
（3）
（1）
因为双曲线的焦点在轴上，所以渐近线方程为，
由，得，
所以的方程为；
（2）
设，，
联立，化简得，
若，两点分别位于的左、右两支，则，解得
即的取值范围为；
（3）
由题得，
则
，
点到直线的距离为，
所以的面积为，
解得或，
又，所以.
19. 已知抛物线，直线与相交于、两个不同点，在轴左侧，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过抛物线焦点的直线与相交于、两个不同点（异于、两点），在轴左侧．
①若直线的斜率为，求的值；
②设直线与相交于点，证明：点在定直线上．
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析.
（1）
由题意可知，点、关于轴对称，
又因为，且在轴左侧，则，
将点的坐标代入抛物线的方程得，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）
①设点、，易知抛物线的焦点为，
因为直线的斜率为，故直线的方程为，
又因为在轴左侧，结合图形可知，
联立，消去可得，解得，，
故；
②如下图所示：
易知点、，设点、，
设直线的方程为，联立可得，
，由韦达定理可得，故，
因为与点不重合，故，即，同理可得，
，故直线的方程为①，
同理可知直线的方程为②，
由①②可得，即，
将代入上式得，解得，