山西省太原市2025-2026学年高二上学期期末学业诊断数学试卷

这是一份山西省太原市2025-2026学年高二上学期期末学业诊断数学试卷，共11页。试卷主要包含了BD10， y  3 x， 314，………5 分，………15 分等内容，欢迎下载使用。

2025～2026 学年第一学期高二年级期末学业诊断数学试题（样卷）
26
参考答案及评分建议一．单项选择题： BADCACCA 二．多项选择题： 9.BD10.ACD11.BCD
三．填空题:12. y  3 x
3
13. 314. 3
四．解答题: 15.解：（1）由题意可设抛物线C 的标准方程为 x2  2 py( p  0) ，
C 的焦点坐标为(0,1) ， p  1， p  2 ，
2
抛物线C 的标准方程为 x2  4 y ，其准线方程为 y  1.………5 分
x2  y 2 
（2）当双曲线C 的焦点在 x 轴上时，设其标准方程为 a2
1(a
b2
0, b
0) ，
2a  2,
a  1,22

由 43

得 x  y
 1b  1,
 1，焦点坐标为 F (
2,0) .………9 分
a2b2
2
当双曲线C 的焦点在 y 轴上时，设其标准方程为 y
a2
 x2 b2
 1(a  0, b  0) ，
2a  2,
a  1,
2x2

因 34

得
 1b 
 y 
2,2
 1，焦点坐标为 F (0，3)
………13 分
a2b2
解：（1）由题意可设抛物线C : y 2  2 px( p  0) ，………2 分
直线 x  y  2  0 与 x 轴的交点为(2,0) ， F (2,0) ， p  2 ， p  4 ，
2
抛物线C 的标准方程为 y 2  8x .………6 分
（2）设 A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ，直线的l 方程为 x  my  2 ，………8 分
y2  8x,

由x  my  2
得 y2
8my16 0，y1  y2 8m，………10 分
| AB || AF |  | BF | x1  2  x2  2  m( y1  y2 )  8  8m2  8  16 ，m 1，…14 分
直线的l 方程为 x   y  2 ，即 x  y  2  0 .………15 分
y
解：（1）设 P(x, y) ，由题意得直线 PA 斜率为kPA  x 1(x  1) ，………2 分
直线 PB 斜率为kPB 
y x 1
(x 1) ，
y 
x 1
y x 1
 3，………5 分
2
化简，得曲线C 的标准方程 x2  y
3
1(x  1) .………6 分
y  kxm,
（2）设 M (x , y ), N (x , y

) ，由
2得(3k2)x2 2kmx(m2 3)  0, ………8 分
1122
 2y

x 1
3
x  x  2km  2,且3k2  0，km3k2 ，n  k  m ，k  3 ， mn3，……12 分
123k2nn
 4k2m2 4(3k2)(m2 3)  0，m2 3  k2 ，(n 3 2 3 9 ，n  3 或n  3，
n
)n2
实数 n 的取值范围为(, 3)∪( 3,).………15 分
b
解:（1）由题意双曲线C 的渐近线方程为 y  
a
x ，即 bx ay  0 ，………1 分
c
a
e   2,

由
bc

 a2  b2
 1, 得a  b 1，双曲线C 的方程为 x2  y2 1.………5 分
c2  a2  b2

设 A(x , y ), B(x , y
) ，由y  kx 1, 得(1 k2)x2  2kx 2  0，………7 分

1122

x2  y2  1
1 k 2  0,

  4k 2

 8(1 k
2
2 )  0,
1 k 1，实数 k 的取值范围为(1,1) .………11 分

x1x2   1 k 2  0,
2k2
2 1 k2 2 k2
由（1）得 x1  x2 1k2 ， x1x2 1k2 ，………13 分
1 k2
1k2 (x  x )2 4x x
12
1 2

2 k2
6
| AB|
| x1  x2 |
1
1 k2
1
，………14 分
点 O 到直线 AB 的距离 d  ，△ AOB 的面积 S 
1k2
| AB | d 
2
1 k2
，
k  
或k  
2
3
22
（舍去）.………17 分
3
解：（1）由题意可得点 A(2,1) ， B(2,1) ，(2)2  2 p ， p  2,………3 分
抛物线C 的方程为 x2  4 y .………4 分
（2）由（1）得C : x2  4 y ， F (0,1) ，设 M (x , y ) , N(x , y ) (x  0  x ) ，
112212
x2  4y
①直线l 的方程为 y  x 1，由y  x 1, 得 x2 4x4  0,………6 分

2
2
x1  2  2， x2  2  2，………8 分
 | MF | 
| NF |
y1  1 
y2  1
x1  2  3  2
x2  2
.………10 分
2
②由题意可设直线l 的方程为 y  kx 1 ，
由y  kx 1, 得 x2  4kx  4  0 ,x  x  4k, x x  4 ，………13 分

x2  4y
121 2
直线 AM 的方程为 y 1  y1 1 (x  2)  kx1 (x  2) ，即 x  2  x1  2 ，①
x1  2
x1  2
y 1kx1
直线 BN 的方程为 y 1  y2 1 (x  2)  kx2 (x  2) ，即 x  2  x2  2 ，② ………15 分
x2  2
x2  2
y 1kx2
4x  2x  22(x  x )
1 -②得 1 212  2 ， y  1，

y 1
kx1kx2kx1x2
点G 的在定直线 y  1上.………17 分
注：以上各题其它解法请酌情赋分.