2025-2026学年下学期四川成都树德中学高二数学2026年4月阶段性测试试卷含答案

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1. 已知等差数列 an 的首项 a1=2050 ,公差 d=−1 ,第 n 项 an=2026 ,则 n= ( )
A. 26 B. 25 C. 24 D. 23
2. 下列求导运算正确的是( )
A. sin1′=cs1 B. e−x′=e−x C. lg2x′=2x D. x′=12x
3. 已知正项数列 an 满足 Sn=an+a1an2 ，则 a2026 的值为_____1∂12625.0
A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027
4. 若直线 y=3x+4 是曲线 y=2x+ex−m 的切线，则 m= ()
A. -3 B. 3 C. -1 D. 1
5. 已知函数 fx=x24+2x−alnx+1+2b 在 x=0 处取得最小值 1,则 2a+b= ( )
A. 32 B. 72 C. 92 D. 112
6. 已知 Fc,0 为双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的右焦点,圆 x−c2+y2=a2 上的动点 P 到双曲线渐近线的距离最小值为 a ，则该双曲线的离心率为( )
A. 3 B. 5 C. 2 D. 2
7. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 2S15=S5+S10 ,且 1a5+1a10+1an=0,n∈N∗ ,则 n= ( )
A. 20 B. 15 C. 10 D. 5
8. 设 a=20262025,b=e12026,c=20272026e≈2.71828 ,则( )
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D. a>c>b
二、多选题: 本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 6 分,部分选对得部分分,有选错的得 0 分.
9. 设函数 fx=x3+4x2−3x+3 ,则( )
A. fx 在 −1,0 上单调递减 B. x∈0,3 时, fx 的值域为 3,57
C. fx 有三个零点 D. 曲线 y=fx 关于点 −43,f−43 对称
10. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 an+1=2Sn+2 ,则下列选项中,正确的有( )
A. an=3n−1 B. 数列 lg2026an 是等差数列
C. an0 的左顶点 A−2,0 ，上顶点 B0,1 .
(1)(4 分)求椭圆 E 的方程.
(2)过点 P−2,1 的直线 l 交 E 于 C,D 两个不同的点(其中，点 C 在第二象限)，直线 BC,BD 分别交 x 轴于 M,N 两个不同的点， C 点， N 点分别在线段 BM,BD 上.
(i) (8 分) 证明: M,N 的横坐标之和是定值;
(ii) (5 分) 已知当直线 l 的斜率为 k0 时, △ADB 的面积为 12026 . 求此时 △ABM 与 △ADM 的面积之和.
19. (17分)已知函数 fx=2a−xlnx ，其中 a∈R .
(1)(4 分)当 a=2 时，求 fx 在点 1,f1 处的切线方程；
(2)(6分)若函数 fx 在定义域上单调，求实数 a 的取值范围；
(3)(7分)若 a>0,b∈R ，对任意的 x>0,fx≤a+b 恒成立，求 b−5a 的最小值.
树德中学高 2024 级高二下期 4 月阶段性测试数学试题参考答案
12: 28 13: 2 14: −π2,π6−233
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤.
15. (13分)如图，在四棱锥 P−ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥ 底面 ABCD ， PD= DA,E 是 PC 的中点,作 EF⊥PB 交 PB 于点 F .

(1)(6 分)求证: PB⊥ 平面 EFD ；
(2)(7 分)求平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的正切值；
(1) ∵PD⊥ 底面 ABCD ,且 BCC⊂ 面 ABCD,∴PD⊥BC .
∵底面 ABCD 是正方形, ∴DC⊥BC ,
又 PD∩DC=D,PD、DC⊂ 面 PDC,∴BC⊥ 面 PDC ,
又 DE⊂ 面 PDC∴BC⊥DE
∵PD=DC ，且 PD⊥DC ，
∴△PDC 是等腰直角三角形,又 DE 是斜边 PC 的中线, ∴DE⊥PC ,
又 PC∩BC=C,PC、BC⊂ 面 PBC,∴DE⊥ 面 PBC ,
∵PB⊂ 面 PBC∴DE⊥PB ,
∵PB⊥EF ,又 DE∩EF=E,DE、EF⊂ 面 EFD,∴PB⊥ 平面 EFD ;
(2)由(1)可知 PB⊥DF ，
故 ∠EFD 是平面 CPB 与平面 PBD 的夹角，
∵PD=DC=2∴DE=2 ,在 △PBD 中, BD=22,PB=23,DF=263 ,
又 DE⊥ 面 PBC,∵EF⊂ 面 PBC∴DE⊥EF ，
在 Rt △EFD 中, sin∠EFD=DEDF=2263=32,∴∠EFD=π3,∴tan∠EFD=3
∴ 平面 CPB 与平面 PBD 的夹角的正切值为 3
16. (15 分)已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2an=Sn+n+2n∈N∗ .
(1)(7 分)求证数列 an+1 是等比数列,并求数列 an 的通项公式:
(2)(8 分)求数列 nan 的前 n 项和 Tn .
( 1 )由数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2an=Sn+n+2n∈N∗ ，
当 n=1 时，可得 2a1=a1+3 ，解得 a1=3 ；
当 n≥2 时,可得 an=Sn−Sn−1=2an−n−2−2an−1−n−1−2=2an−2an−1−1 ,
整理得 an=2an−1+1 ,设 an+1=bn
即 an+1=2an−1+1,∵b1=4,∴bnbn−1=2n≥2 ,
∴ 数列 bn 是首项 b1=a1+1=4 ,公比为 2 的等比数列. ∴bn=4×2n−1=2n+1,∴an=2n+1−1
(2)由(1)知 an=2n+1−1 ， ∴nan=n⋅2n+1−n ， An=k=1nk⋅2k+1
从而 An=1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n−1⋅2n+n⋅2n+1 ,
则 2An=1⋅23+2⋅24+3⋅25+⋯+n−1⋅2n+1+n⋅2n+2 ,
两式相减,可得 −An=1⋅22+23+24+⋯+2n+1−n⋅2n+2
=4+231−2n−11−2−n⋅2n+2=−4+1−n⋅2n+2,∴Tn=4+n−1⋅2n+2−n2+n2 .
17. (15分)已知函数 fx=x2−3ax,gx=a2lnx .
(1)(7分)若函数 hx=fx+gx 在 x=1 处取得极大值,求 a 的值以及 hx 的极值
(2)(8 分)已知 a>0 ，不等式 fx>2gx 恒成立，求实数 a 的取值范围.
(1) hx=fx+gx=x2−3ax+a2lnx ，定义域为 0,+∞ ，
则 h′x=2x−3a+a2x=2x2−3ax+a2x=2x−ax−ax ,
因为函数 hx=fx+gx 在 x=1 处取得极大值,所以 h′1=2−a1−a=0 ,
解得 a=1 或 2,当 a=1 时, h′x=2x−1x−1x ,
令 h′x>0 得 x>1 或 0