2025-2026学年下学期云南师范大学附中高二数学4月期中模拟试试卷含答案

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1. 已知复数 z 满足 zi=3−i1+i ，则 z= ( )
A. −2+2i B. −2−2i C. −2+i D. −2−i
2. 假设 A,B 是两个事件，且 PA>0,PB>0 ，则下列结论一定成立的是( )
A. PAB≤PB∣A B. PAB=PAPB
3. 已知数轴上有 10 个不同的点 Xli=1,2,⋯,10,Xl 的坐标为 xl ，且满足 xk+1−xk=1k≤9,k∈N∗ ,从上述 10 个不同点中任取 4 个不同的点,则事件“存在 1≤i0,PB>0 ，则事件 A,B 相互独立与 A,B 互斥不能同时成立
C. 用独立性检验推断两个分类变量之间的关联性,如果把 2×2 的列联表中所有的数据都扩大为原来的 10 倍，在相同的检验标准下，结论不受任何影响
D. 数据 x1,x2,⋯,xm 的平均数和方差分别为 x 和 sx2 ,数据 y1,y2,⋯,yn 的平均数和方差分别为 y 和 sy2 ，且所有数据混合后总的平均数和方差分别为 z 和 sz2 ，若 z=12x+y ，则必有 sz2≥12sx2+sy2
10. 若双曲线 C:x2−y28=1 的左，右焦点分别为 F1,F2 ,过 C 的右支上一点 P 作圆 x−32+y2=1 的切线，切点为 A,B ，则下列结论正确的是( )
A. 若 PF1⋅PF2=0 ，则 △PF1F2 的面积为 9
B. 若 Q 为圆 x−32+y2=1 上的一动点，则 PF2+PQ 的最小值为 3
C. 四边形 PAF2B 面积的最小值为 3
D. PA⋅PB 的最小值为 32
11. 对于函数 fnx=sin2nx+cs2nxn∈N∗ ,下列说法正确的是 ( )
A. 曲线 y=f2x 关于直线 x=π4 对称
B. f3x≥12
C. 0≤fnx−fn+1x≤14fn−1x
D. 记 fnx 的最小值为 an ,则 i=1nln1+ai0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,过 F1 作直线 l 垂直于双曲线的一条渐近线,直线 l 与双曲线的两条渐近线分别交于 A,B 两点,若 AF1=3F1B , 则双曲线 C 的离心率 e 为_____；
14. 已知 A 盒中装有大小相同的 3 个红球和 3 个黑球, B 盒中装有大小相同的 3 个红球,从 A 盒中随机取一个球，若是红球，则放回 A 盒；若是黑球，则从 B 盒中取一红球与其替换，
这样称为 1 次操作,重复以上操作,直到 A 盒中 6 个球全是红球为止.记 n 次重复操作后, A 盒中 6 个球恰好全是红球的概率为 Pn ,则 P3−12P4= _____.
四、解答题:
15. 已知正项数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 a1=1,2Sn=an2+an,n∈N∗ .
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)若 bn=an+12n ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. 如图，多边形 ABCDE 是由一个等腰三角形 ABE 和一个菱形 BCDE 组成的，其中 AB=AE=13,BC=2,∠D=60∘ . 现将 △ABE 沿 BE 相于，点 A 翻折到点 P 的位置，得到四棱锥 P−BCDE ，如图(2)所示.

(2)
(1)求证: ∠PCD=90∘ .
(2)如图(2)，若二面角 P−BE−D 的大小为120°，点 G 为 △PBE 的重心，点 F 在线段 BC 上，且 BF=13BC .

(1)
(i) 求证: GF// 平面 PCD ;
(ii) 求平面 CGF 与平面 PCD 夹角的正弦值.
17. 国民体质是国家和社会发展的重要基础. 为贯彻落实《保健康中国 2030”规划纲要》《体育强国建设纲要》，2025 年国家体育总局开展了第六次全国国民体质监测工作，旨在提高国民体质和健康水平，促进国家经济建设和社会发展。《国民体质测定标准 (2023 年修订)》 将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级. 某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了 200 人进行问卷调查, 得到如下列联表:
(1)求 b ， c 的值，并依据小概率值 α=0.01 的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法, 从样本中抽取 6 人作进一步调查, 再从这 6 人中随机抽取 2 人线下访谈, 记这 2 人中“爱好运动”的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望.
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ，其中 n=a+b+c+d .
18. 已知函数 fx=12ax2+csx−1 .
(1)若 a=1 ，求曲线 y=fx 在点 0,f0 处的切线方程；
(2)若 ∀x∈0,π ， fx≥0 ，求 a 的取值范围；
(3)证明: ∀n∈N∗,k=1nsin1k>n+1−1 .
19. 平面解析几何中,点 x,y 绕原点逆时针旋转 θ 角后得到点 x′,y′ ,满足:
x=x′csθ+y′sinθy=−x′sinθ+y′csθ ,可将含 xy 交叉项的二次曲线方程化为标准形式,已知椭圆
C:5x2+6xy+5y2=8 ,取旋转角 θ=π4 .
(1)利用上述坐标变换公式，将其转化为不含 xy 项的标准椭圆方程；
(2)设旋转后的椭圆方程为 x′2a2+y′2b2=1 ，求 a ， b 的值，并求该椭圆的离心率；
(3)利用椭圆标准方程的面积公式，求原椭圆 C 的面积，并说明旋转变换是否改变椭圆的面积.
2027 届高二下学期期中考试模拟试卷(四)答案
3. 问题等价于从1,2,3,4,5,6,7,8,9,10中任取 4 个不同的数 a1,a2,a3,a4 , 求事件“存在 1≤i