2025-2026学年下学期_江苏苏州高一数学2026年4月期中调研试卷含答案

这是一份2025-2026学年下学期_江苏苏州高一数学2026年4月期中调研试卷含答案，文件包含十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类教师版docx、十年2015-2024高考语文真题分类汇编全国通用专题16语言文字运用病句类学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
注意事项
学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1. 本卷共 4 页，包含单项选择题(第 1 题~第 8 题)、多项选择题(第 9 题~第 11 题)、填空题(第 12 题二第 14 题)、解答题 (第 15 题～第 19 题). 本卷满分 150 分, 答题时间为 120 分钟。答题结束后，请将答题卡交回。
2. 答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置。
3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效、作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 2sinπ6csπ6 的值为
A. 12 B. 22 C. 32 D. 1
2. 在 △ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c ,若 b=3,c=2,csA=34 ,则 a=
A. 2 B. 3 C. 23 D. 22
3. 已知 sinα=45,α 为第二象限角,则 sinα−π3 的值为
A. −4−3310 B. 4+3310 C. −4+3310 D. 4−3310
4. 设 a,b 是两个非零向量，则下列说法正确的是
A. 若 a>b ，且 a 与 b 同向，则 a>b
B. 若 a⋅b=a⋅c ，则 b=c
C. 若 a,b 是两个单位向量，则 a⋅b=1
D. 若 a+b=a−b ，则 a⊥b
5. 在 △ABC 中,点 D 是 BC 中点,记 AB=m,AD=n ,则 AC=
A. −m+2n B. m−2n C. −2m+n D. 2m−n
6. 已知 csα+β=15,tanαtanβ=12 ,则 csα−β=
A. 15 B. 25 c. 35 D. 45
7. 飞行器飞行中的地速 GS 是指飞行器相对于地面的实际速度，它由飞行器相对于周围空气的空速(TAS)向量加减风速(WS)向量得出，其中风速顺风为加，逆风为减. 已知某飞行器逆风飞行，在某时刻测得风速对应向量为 45,25 ，地速对应的向量为 315,245 ， 则飞行器在该时刻的空速大小约为 单位:km/h
A. 400 B. 450 C. 560 D. 630
8. 已知函数 fx=1,x>0,0,x=0,−1,x0 ， 且 fx 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 π2 .
(1)求 ω 的值，并直接写出 fx 在 0,π 上的单调增区间；
(2)若 fα2+π3=35,csβ=−7102 ，且 α,β∈0,π ，求 α+β 的值.
17.(15分)
记锐角 △ABC 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 b2+c2−a2=2csA .
(1)求 bc ；
(2)若 △ABC 的面积为 34 ，求 acsB−bcsAacsB+bcsA+bc 的值.
18.(17分)
如图，在河流一侧农田里有两个灌溉点 A ， B ，它们到河岸线 l 的距离都为 3 百米. 为了铺设管道取水，计划在河岸线 l 上找一点 Q 修建抽水点，在 AB 与 l 之间修建中转接水点 P ,设计铺设三条直线管道 PA,PB,PQ ,其中 AB=23 百米, PQ⊥l , ∠APB=2π3 . 记铺设管道的总长度为 y 百米.
(1)按下列要求建立函数关系式:
(i) 设 ∠PAB=θ (rad),将 y 表示成 θ 的函数:
(ii) 设 PQ=x 百米,将 y 表示成 x 的函数:
(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，求铺设管道总长度的最小值.

第 18 题图
19.(17分)
已知 a,b,c 分别为 △ABC 三个内角 A,B,C 的对边,且 acsC+3asinC=b+c .
(1)求角 A 的大小；
(2)当 a=23 时，
(i) 设 BC,AC 边上的两条中线 AD,BE 相交于点 G ,求 GB⋅GC 的最大值;
(ii) 求 csBsinCAB+csCsinBAC 的值.
数学参考答案
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分、共 15 分.
12. 4:
13. −43 : 14. 2 .
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分.
15. 解:(1)因为向量 e1,e2 是夹角为 60∘ 的单位向量，
所以 e1⋅e2=e1e2cs60∘=12 , 2 分
所以 a2=4e12+4e1e2+e22=4+4×12+1=7 ,则 a=7 6 分
(2)因为 b2=9e12−12e1e2+4e22=9−12×12+4=7 ，则 b=7 . 8 分
a−b=−6e12+e1⋅e2+2e22=−6+12+2=−72 , 10 分
所以 cs=a⋅bab=−727×7=−12 ,又 ∈0,π ,
所以 a 与 b 的夹角为 2π3 . 13 分
16. 解: (1) fx=n⋅m−n+12=3sinωx2csωx2−cs2ωx2+12 1 分
fx=32sinωx−12csωx 3 分 =sinωx−π6 5 分
因为 fx 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 π2 ,
所以 fx 的周期 T=2πω=π ,所以 ω=2 ,故 fx=sin2x−π6 . 6 分
所以 fx 在 0,π 上的单调增区间是 0,π3,5π6,π . 8 分
(2)由(1)知 fα2+π3=sinα+π2=csα=35>0 , 10 分
且 α∈0,π ,所以 α∈0,π2 ,所以 sinα=1−cs2α=45 .
因为 β∈0,π ,且 csβ=−7102 ,所以 β∈π2,π ,
则 α+β∈π2,3π2,sinβ=1−cs3β=210 . 12 分
所以 sinα+β=sinαcsβ+csαsinβ=45×−7210+35×210=−22,⋯ 14 分所以 α+β=5π4 . 15 分
17. 解: (1) 因为 a2=b2+c2−2bccsA ,所以 b2+c2−a2=2bccsA=2csA , 2 分因为 △ABC 为锐角三角形，所以 csA>0 ，所以 bc=1 . 5 分
(2)因为 △ABC 的面积为 S△ABC=12bcsinA=34 ，所以 sinA=32 ， 8 分而 △ABC 为锐角三角形,所以 A=π3 . 10 分
法一: 由正弦定理可得 acsB−bcsAacsB+bcsA+bc=sinAcsB−sinBcsAsinAcsB+sinBcsA+sinBsinC 12 分
=sinπ3−Bsinπ3+B+sinBsinπ3+B=sinπ3−B+sinBsinπ3+B=32csB−12sinB+sinBsinπ3+B
=32csB+12sinBsinπ3+B=sinπ3+Bsinπ3+B=1,
故 acsB−bcsAacsB+bcsA+bc=1 . 15 分
法二: 由余弦定理可得
acsB+bcsA=a⋅a2+c2−b22ac+b⋅b2+c2−a22bc=2c22c=c, 12 分
所以 acsB−bcsAacsB+bcsA+bc=acsB−12bc+bc=acsB+12bc=acsB+bcsAc=1 ,
故 acsB−bcsAacsB+bcsA+bc=1 . 15 分
18. 解: (1) (i) 因为 ∠PAB=θ,AB=23 ，
所以由正弦定理得 PBsinθ=PAsinπ3−θ=ABsin2π3=2332=4 ,
所以 PB=4sinθ,PA=4sinπ3−θ . 2 分
点 P 到 AB 的距离为 PAsinθ=4sinπ3−θsinθ ,
所以 PQ=3−4sinπ3−θsinθ . 4 分
所以 y=PA+PB+PQ=4sinθ+4sinπ3−θ−4sinπ3−θsinθ+3,θ∈0,π3 . 5 分
(ii) 由余弦定理得 AB2=PA2+PB2−2PA⋅PB⋅cs∠APB ,
则 PA2+PB2+PA⋅PB=12 . ① 6 分
因为点 P 到 AB 的距离为 3−x ，所以 12PA⋅PB⋅sin2π3=123−x⋅AB ，
所以 32PA⋅PB=233−x ,即 PA⋅PB=43−x . ②
由①②得 PA+PB2=24−4x ， 9 分
所以 PA+PB=26−x,x∈[2,3) ,
所以 y=PA+PB+PQ=26−x+x,x∈[2,3) . 10 分
(2)若选用(i)， y=4sinθ+4sinπ3−θ−4sinπ3−θsinθ+3 =2sinθ+23csθ−23sinθcsθ+2sin2θ+3 =4sinθ+π3−2sin2θ+π6+4 =4sinθ+π3+2cs2θ+π3+4 13 分
因为 θ+π3∈π3,2π3 ,令 t=sinθ+π3∈32,1 ,
则 y=4t+21−2t2+4=−4t−122+7 , 15 分
当 t=1 即 θ=π6 时, ymin=6 .
所以三条取水管道的总长度最小值为 6 百米. 17 分
若选用 (ii)，令 μ=6−x∈(3,2] ，则 x=6−μ2 . 13 分
所以 y=2μ+6−μ2=−μ−12+7 . 15 分
当 μ=2 即 x=2 时, ymin=6 .
所以三条取水管道的总长度最小值为 6 百米. 17 分
19. 解: (1) 因为 acsC+3asinC=b+c ,由正弦定理得,
sinAcsC+3sinAsinC=sinB+sinC, 1 分
因为 sinB+sinC=sinA+C+sinC=sinAcsC+sinCcsA+sinC ,
所以 3sinAsinC=sinCcsA+sinC ,又 0